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数学宝典训练答案
数学宝典训练答案
【篇一:
初中数学二次函数技巧试题答案超级全】
下关系:
y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向下,iai还可以决定开口大小,iai越大开口就越小,iai越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
iii.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
iv.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点p。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
v.二次函数与一元二次方程特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2;+bx+c,当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax^2;+bx+c=0此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
画抛物线y=ax2时,应先列表,再描点,最后连线。
列表选取自变量x值时常以0为中心,选取便于计算、描点的整数值,描点连线时一定要用光滑曲线连接,并注意变化趋势。
二次函数解析式的几种形式
(1)一般式:
y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
(2)顶点式:
y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0).(3)两根式:
y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,a≠0.
说明:
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h=0时,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时,抛物线y=ax2的顶点在原点如果图像经过原点,并且对称轴是y轴,则设y=ax^
2;如果对称轴是y轴,但不过原点,则设y=ax^2+k定义与定义表达式一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向下。
iai还可以决定开口大小,iai越大开口就越小,iai越小开口就越大。
)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量,y是x的函数二次函数的三种表达式
①一般式:
y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
②顶点式[抛物线的顶点p(h,k)]:
y=a(x-h)^2+k
③交点式[仅限于与x轴有交点a(x1,0)和b(x2,0)的抛物线]:
y=a(x-x1)(x-x2)以上3种形式可进行如下转化:
①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即h=-b/2a=(x1+x2)/2k=(4ac-b^2)/4a
中考数学精选例题解析:
一次函数
(1)
知识考点:
掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律;会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。
精典例题:
【例1】二次函数y?
ax2?
bx?
c的图像如图所示,那么
abc、b2?
4ac、2a?
b、
4a?
2b?
c这四个代数式中,值为正的有()
a、4个b、3个c、2个d、1个
b
<12a
∴2a?
b>0
解析:
∵x?
答案:
a
评注:
由抛物线开口方向判定a的符号,由对称轴的位置判
2
例1图
定b的符号,由抛物线与y
轴交点位置判定c的符号。
由抛物线与x轴的交点个数判定b?
4ac的符号,若x轴标出了1和-1,则结合函数值可判定2a?
b、a?
b?
c、a?
b?
c的符号。
【例2】已知a?
b?
c?
0,a≠0,把抛物线y?
ax2?
bx?
c向下平移1个单位,再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式。
分析:
①由a?
b?
c?
0可知:
原抛物线的图像经过点(1,0);②新抛物线向右平移5个单位,再向上平移1个单位即得原抛物线。
点(1,0)
2
∴0?
a(1?
2?
5)?
1,解得a?
?
14
∴原抛物线的解析式为:
y?
?
1
(x?
3)2?
14
评注:
解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系,以及所对应的解析式间的联系,并注意逆向思维的应用。
另外,还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动,常见的几种变动方式有:
①开口反向(或旋转1800),此时顶点坐标不变,只是a反号;②两抛物线关于x轴对称,此时顶点关于x轴对称,a反号;③两抛物线关于y轴对称,此时顶点关于y轴对称;探索与创新:
【问题】已知,抛物线y?
a(x?
t?
1)?
t(a、t是常数且不等于零)的顶点是a,如图所示,抛物线
2
2
y?
x2?
2x?
1的顶点是b。
(1)判断点a是否在抛物线y?
x?
2x?
1上,为什么?
(2)如果抛物线y?
a(x?
t?
1)?
t经过点b,①求a的值;②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点a能否构成直角三角形?
若能,求出它的值;若不能,请说明理由。
解析:
(1)抛物线y?
a(x?
t?
1)?
t的顶点a(t?
1,
2
2
2
22
t2),而x?
t?
1当时,
物线y?
x?
2x?
1上。
2
y?
x2?
2x?
1?
(x?
1)2?
(x?
1?
1)2=t2,所以点a在抛
问题图
(2)①顶点b(1,0),a(1?
t?
1)2?
t2?
0,∵t?
0,∴a?
?
1;②设抛物线y?
a(x?
t?
1)2?
t2与x轴的另一交点为c,∴b(1,0),c(2t?
1,0),由抛物线的对称性可知,△abc为等腰直角三角形,过a作ad⊥x轴于d,则ad=bd。
当点c在点b的左边时,t2?
1?
(t?
1),解得t?
?
1或t?
0(舍);当点c在点b的右边时,。
故t?
?
1。
t2?
(t?
1)?
1,解得t?
1或t?
0(舍)
评注:
若抛物线的顶点与x轴两交点构成的三角形是直角三角形时,它必是等腰直角三角形,常用其“斜边上的中线(高)等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。
跟踪训练:
一、选择题:
1、二次函数y?
ax2?
bx?
c的图像如图所示,oa=①abc<0;②4ac?
b;③ac?
b?
?
1;④2a?
b?
0;
2
oc,则下列结论:
c
⑤oa?
ob?
?
;
a
⑥4a?
2b?
c?
0。
其中正确的有()
a、2个b、3个c、4个d、5个
2、二次函数y?
x2?
bx?
c的图像向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到函数图像的解析式为y?
x2?
2x?
1,则b与c分别等于()
a、6、4b、-8、14
c、4、6d、-8、-14
3、如图,已知△abc中,bc=8,bc边上的高h?
4,d为交ac于f(ef不过a、b),设e到bc的距离为x,△def数图像大致是()
a
e
bdc
bc上一点,ef∥bc交ab于e,
的面积为y,那么y关于x的函
第3题图
abcd
3题图2
4、若抛物线y?
ax与四条直线x?
1,x?
2,y?
1,y?
2围成的正方形有公共点,则a的取值范围是()
a、
1111
≤a≤1b、≤a≤2c、≤a≤1d、≤a≤24224
2
5、如图,一次函数y?
kx?
b与二次函数y?
ax?
bx?
c的大致图像是()
3题图题图a3b3cd
3题图题图
1、若抛物线y?
(m?
1)x2?
2mx?
3m?
2的最低点在x轴上,则m的值为。
2、二次函数y?
4x2?
mx?
5,当x?
?
2时,y随x的增大而减小;当x?
?
2时,y随x的增大而增大。
则当x?
?
1时,y的值是。
3、已知二次函数的图像过点(0,3),图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴,向下平移1个单位后与x轴只有一个交点,则此二次函数的解析式为。
4、已知抛物线y?
(m2?
2)x2?
4mx?
n的对称轴是x?
2,且它的最高点在直线y?
为,n=。
三、解答题:
1、已知函数y?
x2?
(m?
2)x?
m的图像过点(-1,15),设其图像与x轴交于点a、b,点c在图像上,且
1
x?
1上,则它的顶点2
s?
abc?
1,求点c的坐标。
2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程。
下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)。
根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3
2
o12
3、抛物线y?
x,y?
?
x和直线x?
a(a>0)分别交于a、b两点,已知∠aob=900。
2
(1)求过原点o,把△aob面积两等分的直线解析式;
(2)为使直线y?
o
2x?
b与线段ab相交,那么b值应是怎样的范围才适合?
2
4、如图,抛物线y?
ax?
4ax?
t与x轴的一个交点为a(-1,0)。
(1)求抛物线与x轴的另一个交点b的坐标;
(2)d是抛物线与y轴的交点,c是抛物线上的一点,且以ab为一底的梯形abcd的面积为9,求此抛物线的解析式;
(3)e是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点,如果点e在
(2)中的抛物线上,且它与点a在此抛物线对称轴的同侧。
问:
在抛物线的对称轴上是否存在点p,使△ape的周长最小?
若存在,求出点p的坐标;若不存在,请说明理由。
参考答案
一、选择题:
bcddc
1、2;2、-7;3、y?
三、解答题:
1、c(3?
2、
(1)s?
、(3,-1)2,1)或(3?
2,1)
1
(x?
2)2?
1;4、(2,2),n?
?
2;2
12
t?
2t;
(2)10月;(3)5.5万元2
3、
(1)y?
2
(2)-3≤b≤0x;4
4、
(1)b(-3,0);
(2)y?
x2?
4x?
3或y?
?
x2?
4x?
3;(3)在抛物线的对称轴上存在点p(-2,
1
),使△ape的周长最小。
2
2012中考数学精选例题解析函数与一元二次方程
知识考点:
1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系;
2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式,判定抛物线与x轴的交点情况;3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。
【篇二:
小学解方程方法及练习题-非常好】
xt>方程:
含有未知数的等式叫做方程。
如4x-3=21,6x-2(2x-3)=20方程的解:
使方程成立的未知数的值叫做方程的解。
如上式解得x=6解方程:
求方程的解的过程叫做解方程。
解方程的依据:
方程就是一架天平,“=”两边是平衡的,一样重!
1.等式性质:
(1)等式两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立;
(2)等式两边同时乘以或除以同一个非零的数,等式仍然成立。
2.加减乘除法的变形:
(1)加法:
a+b=和则a=和-bb=和-a
例:
4+5=9则有:
4=9-55=9-4
(2)减法:
被减数a–减数b=差则:
被减数a=差+减数b被减数a-差=减数b
1、去括号:
(1)运用乘法分配律;
(2)括号前边是“-”,去掉括号要变号;括号前边是“+”,去掉括号不变号。
2、移项:
法1——运用等式性质,两边同加或同减,同乘或同除;法2——符号过墙魔法,越过“=”时,加减号互变,乘除号互变。
注意两点:
(1)总是移小的;
(2)带未知数的放一边,常数值放另一边。
3、合并同类项:
未知数的系数合并;常数加减计算。
4、系数化为1:
利用同乘或同除,使未知数的系数化为1。
5、写出解:
未知数放在“=”左边,数值(即解)放右边;如x=66、验算:
将原方程中的未知数换成数,检查等号两边是否相等!
注意:
(1)做题开始要写“解:
”
(2)上下“=”要始终对齐
1
【例1】
x-5=13x-5=13
法1解:
x-5+5=13+5法2解:
x=13+5x=18x=18
【例2】
3(x+5)-6=183(x+5)-6=18
【例3】
解:
3x+9-9=18-93x=18-9
3x=93x=9
2.移项:
33+9=10x-3x(注意:
移小的,如-33,3.合并同类项:
42=7x
27=27√
2
3x)
解方程练习(写出详细过程):
4+x=7x+6=94+x=7+5
4+x-2=7x-6=917-x=9
x-6=9+3
4x=16
24-x=15+2x
3(x+6)=2+5x
2(x+4)-3=2+5x
20x-50=50
9+3=17-x15=3x2+5x=18+3x2(2x-1)=3x+10100-3(2x-1)=3-4x28+6x=883
16+2x=24+x4x+2=186x-2=3x+1030-4(x-5)=2x-1630+4(x-5)=2x-2632-22x=10
4y+2=6
16+8x=40
8x-3x=105
2(x+3)+3=13
56x-50x=30
32y-29y=3
53x-90=162x+9x=1112(y-1)=24
19y+y=40
42x+28x=140
51y-y=100
65x+35=10079y+y=8090y-90=90-90y88-4x=80-2x65y-30=10045x-50=40-45x
【篇三:
七年级数学基础找规律习题汇总】
txt>1.(2010安徽省中中考)下面两个多位数1248624?
?
、6248624?
?
,都是按照如下方法得到的:
将第一位数字乘以2,若积为一位数,将其写在第2位上,若积为两位数,则将其个位数字写在第2位。
对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字?
?
,后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。
当第1位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,则这个多位数前100位的所有数字之和是?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
()
a)495b)497c)501d)503【答案】a2.(2010江苏盐城)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,m的值是
042648
644
28422
a.38b.52c.66d.74【答案】d
(2010福建晋江)如图,将一张正方形纸片剪成四个小正方形,得到4个小正方形,称为第一次操作;然后,将其中的一个正方形再剪成四个小正方形,共得到7个小正方形,称为第二次操作;再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形,共得到10个小正方形,称为第三次操作;...,根据以上操作,若要得到2011个小正方形,则需要操作的次数是().
第7题图
a.669b.670c.671d.672
【答案】b
5.(2010山东日照)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,?
,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,?
,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是
(a)15(b)25(c)55(d)1225
【答案】d9.(2010江苏淮安)观察下列各式:
1?
2?
1
?
1?
2?
3?
0?
1?
2?
31
2?
3?
?
2?
3?
4?
1?
2?
3?
31
3?
4?
?
3?
4?
5?
2?
3?
4?
3
?
?
(2010山东淄博)如图所示的运算程序中,若开始输入的x值为48,我们发现第一次输出的结果为24,第二次输出的结果为12,?
,则第2010次输出的结果为
(第11题)
(a)6(b)3(c)
322006
(d)
321003
?
3?
1003
【答案】b
(2010广东茂名)用棋子摆出下列一组“口”字,按照这种方法摆下去,则摆第n个“口”字需用棋子
?
?
?
?
?
?
?
第n个“口”
第1个“口”第2个“口”第3个“口”
a.4n枚b.(4n-4)枚c.(4n+4)枚d.n2枚【答案】a
14.(2010广东深圳)观察下列算式,用你所发现的规律得出2
2010
的末位数字是()
21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,?
a.2b.4c.6d.8【答案】b
(2010广东湛江)观察下列算式:
31?
1,32?
9,33?
27,34?
81,35?
243,36?
729,37?
2187,38?
6561,?
,
通过观察,用你所发现的规律确定3
2002
的个位数字是()
a.3b.9c.7d.1【答案】b
(2010四川眉山)如图,将第一个图(图①)所示的正三角形连结各边中点进行分割,得
到第二个图(图②);再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割,得到第三个图(图③);再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割,?
?
,则得到的第五个图中,共有________个正三角形.
?
?
图①图②图③
【答案】17
(2010嵊州市)如图,平面内有公共端点的六条射线oa,ob,oc,od,oe,of,从射线oa开
始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7,?
.则“17”在射线上;“2007”在射线上。
c
f
e
【答案】oe,oc
(2010浙江衢州)已知a≠0,s1?
2a,s2?
222
,s3?
,?
,s2010?
,s1s2s2009
则s2010?
用含a的代数式表示).
1
a
(2010湖南衡阳)如下图是一组有规律的图案,第1个图案由4个基础图形组成,第2个
图案由7个基础图形组成,?
?
,第n(n是正整数)个图案中由个基础图形组成.【答案】
?
?
(1)
(2)
(3)
-
【答案】3n+1
(2010山东莱)已知:
c3?
2
3?
25?
4?
36?
5?
4?
33
?
3,c5?
?
10,c64?
?
15,?
,1?
21?
2?
31?
2?
3?
4
6
观察上面的计算过程,寻找规律并计算c10?
【答案】210
(2010年贵州毕节)搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管,这样的帐篷按图②,图③的方
式串起来搭建,则串7顶这样的帐篷需要根钢管.
【答案】83.
17.(2010四川巴中)符号“f”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下:
(1)f
(1)=0,f
(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,……
(2)f1?
2,f1?
3,f1?
4,f1?
5……
()2
()3
()4
()5
利用以上规律计算:
f
(
1)2010
?
f(2010)?
【答案】1
(2010湖北荆州)用围棋子按下面的规律摆图形,则摆第n个图形需要围棋子的枚数是.
【答案】3n+2
(2010北京)右图为手的示意图,在各个手指间标记字母a,b,c,d.请你按图中箭头所
指方向(即a→b→c→d→c→b→a→b→c→?
的方式)从a开始数连续的正整数1,2,3,4,?
,当数到12时,对应的字母是;当字母c第201次出现时,恰好数到的数是;当字母c第2n+1次出现时(n为正整数),恰好数到的数是(用含n的代数式表示).
【答案】b,603,6n+3
(2010云南楚雄)如图,用火柴摆出一列正方形图案,若按这种方式摆下去,摆出第n个图案用根火柴棍(用含n的代数式表示)
①②③【答案】2n(n+1)
(2010内蒙赤峰)观察式子:
11111111111
?
(1?
),?
(?
),?
(?
),…….1?
3233?
52355?
7257
由此计算:
1111
?
?
?
…?
?
1?
33?
55?
72009?
2011_____________.
【答案】
10052011
(2011浙江省,10,3分)如图,下面是按照一定规律画出的“数形图”,经观察可以发现:
图a2比图a1多出2个“树枝”,图a3比图a2多出4个“树枝”,图a4比图a3多出8个“树枝”,?
?
,照此规律,图a6比图a2多出“树枝”()a.28b.56c.60d.124
【答案】c
.如图5所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第n(n是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是.
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