7-3加乘原理综合应用.学生版.doc

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加乘原理综合运用

知识框架图

7计数综合

7-3加乘原理综合运用

7-3-1简单加乘原理综合运用

7-3-2加乘原理与数字问题

7-3-3加乘原理与图论

教学目标

1.复习乘法原理和加法原理；

2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力．

3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题．

在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：

数论类问题、染色问题、图形组合．

知识要点

一、加乘原理概念

生活中常有这样的情况：

在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．

还有这样的一种情况：

就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．

二、加乘原理应用

应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：

⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．

⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．

⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．

加法原理运用的范围：

完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：

“加法分类，类类独立”．

乘法原理运用的范围：

这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：

“乘法分步，步步相关”．

例题精讲

模块一、简单加乘原理综合应用

【例1】商店里有2种巧克力糖：

牛奶味、榛仁味；有2种水果糖：

苹果味、梨味、橙味．小明想买一些糖送给他的小朋友．

⑴如果小明只买一种糖，他有几种选法？

⑵如果小明想买水果糖、巧克力糖各种，他有几种选法？

（2级）

【例2】从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉作停留，已知北京到上海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车．问，从北京到广州一共有多少种交通方式供选择？

（2级）

【例3】从学而思学校到王明家有3条路可走，从王明家到张老师家有2条路可走，从学而思学校到张老师家有3条路可走，那么从学而思学校到张老师家共有多少种走法？

（2级）

【巩固】如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？

（2级）

【巩固】王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京．他从重庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机，如图．那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢？

（2级）

【例4】如下图，八面体有12条棱，6个顶点．一只蚂蚁从顶点出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次．问共有多少种不同的走法？

（6级）

【例5】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？

（4级）

【例6】某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？

（6级）

【例7】某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成．现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会．从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？

（6级）

【例8】某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号．每次可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号．一共可以表示出多少种不同的信号？

（6级）

【巩固】五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：

共可以表示多少种不同的信号？

（6级）

【例9】五种颜色不同的信号旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表示一种信号，问：

共可以表示多少种不同的信号？

（6级）

【巩固】红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：

共可以表示多少种不同的信号？

如果白旗不能打头又有多少种？

（6级）

【例10】（2008年清华附中考题）小红和小明举行象棋比赛，按比赛规定，谁先胜头两局谁赢，如果没有胜头两局，谁先胜三局谁赢．共有种可能的情况．（6级）

【例11】（2009年“数学解题能力展示”中年级复赛试题）过年了，妈妈买了7件不同的礼物，要送给亲朋好友的5个孩子每人一件．其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件．那么，妈妈送出这5件礼物共有　　　　　种方法．（6级）

【例12】有3所学校共订300份中国少年报，每所学校订了至少98份，至多102份．问：

一共有多少种不同的订法？

（6级）

【例13】玩具厂生产一种玩具棒，共节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色．这家厂共可生产________种颜色不同的玩具棒．（8级）

【例14】奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由个字母、、、、组成，并且所有的单词都有着如下的规律，⑴字母不打头，⑵单词中每个字母后边必然紧跟着字母，⑶和不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的单词一共有多少种？

（8级）

【例15】从6名运动员中选出4人参加接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种：

⑴甲不能跑第一棒和第四棒；

⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒（6级）

模块二、加乘原理与数字问题

【例16】由数字1，2，3可以组成多少个没有重复数字的数？

（4级）

【例17】由数字0，1，3，9可以组成多少个无重复数字的自然数？

（6级）

【巩固】用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的自然数？

（6级）

【巩固】用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？

（6级）

【例18】用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数．（6级）

【巩固】用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？

（6级）

【例19】在2000到2999这1000个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？

（6级）

【例20】在1000至1999这些自然数中个位数大于百位数的有多少个?

（6级）

【例21】某人忘记了自己的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9．为确保打开保险柜至少要试多少次？

（6级）

【例22】从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?

（6级）

【巩固】从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?

（6级）

【巩固】从1到300的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个?

（6级）

【例23】由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008排在第个．【2008年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛】（8级）

【巩固】从分别写有2、4、6、8的四张卡片中任取两张，做两个一位数乘法.如果其中的6可以看成9，那么共有多少种不同的乘积？

（6级）

【例24】自然数8336，8545，8782有一些共同特征，每个数都是以8开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同．这样的数共有多少个？

（6级）

【巩固】在1000到1999这1000个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？

（6级）

【例25】如果一个三位数满足，，那么把这个三位数称为“凹数”，求所有“凹数”的个数．（8级）

【例26】用数字1，2组成一个八位数，其中至少连续四位都是1的有多少个？

（6级）

【例27】七位数的各位数字之和为60，这样的七位数一共有多少个？

（6级）

【例28】从自然数1~40中任意选取两个数，使得所选取的两个数的和能被4整除，有多少种取法？

（6级）

【例29】在的自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有多少种不同的取法？

（6级）

【巩固】在1~10这10个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取法？

（6级）

【巩固】在这10个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3的倍数有多少种不同的取法？

（6级）

【巩固】从7，8，9，，76，77这71个数中，选取两个不同的数，使其和为3的倍数的选法总数是多少?

（6级）

【巩固】从这些数中选取两个数，使其和被3除余1的选取方法有多少种？

被3除余2的选取方法有多少种？

（6级）

【例30】1到60这60个自然数中，选取两个数，使它们的乘积是被5除余2的偶数，问，一共有多少种选法？

（6级）

【例31】一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数．问：

从一位到六位的回文数一共有多少个?

其中的第1996个数是多少?

（6级）

【例32】如图，将1，2，3，4，5分别填入图中的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有种不同的填法．【走进美妙数学花园少年数学邀请赛】（6级）

【巩固】在如图所示1×5的格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中的五个数，要求填入的数各不相同，并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有种不同的填法．（6级）

【例33】从1～12中选出7个自然数，要求选出的数中不存在某个自然数是另一个自然数的2倍，那么一共有种选法．（6级）

【例34】从到这个自然数中有个数的各位数字之和能被4整除．（6级）

【巩固】从10到4999这4990个自然数中，其数字和能被4整除的数有多少个？

（6级）

【巩固】从1到3998这3998个自然数中，又多少个数的各位数字之和能被4整除？

（6级）

【例35】（2001年第十届日本小学数学奥林匹克决赛）表中第1行是把的整数依次全部排列出来，然后从第2行起是根据规律一直排到最后的第100行.请问：

这个表中一共有多少个数能被77整除？

【例36】有两个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？

（6级）

【巩固】有两个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放