初中数学千题解——全等100题(学生版).docx
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第一部分全等100题
1.如图1.1所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.
(1)如图(a)所示,连接EC,求证:
△EBC为正三角形.
(2)如图(a)所示,点M是线段CD上一点(与点C、D不重合),以为BM一边,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE的延长线于点G,求证:
AD=DM+DG.
(3)如图(c)所示,点M是线段AD上的一点(与点A、D不重合),以BM为一边,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE的延长线于点G,求证:
探究DM、DG和AD之间的数量关系,并说明理由.
图1.1
2.如图1.2所示,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,点E为线段AD上一点,点F为线段BD上一点,满足CE=BF,且BE平分∠ABD.
求证:
∠EBC=∠BEF=45°.
图1.2
3.如图1.3所示,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,M为对角线AC上异于A、C的一点,以AM为边,作等边△AMN,线段MN与AD交于点G,连接NC、DM,Q为线段NC的中点,连接DQ、MQ.求证:
(1)DM=2DQ;
(2)DQ⊥MQ.
图1.3
4.如图1.4所示,凸四边形ABCD中,AB>AD,AC平分∠BAD,过点C作DE⊥AB于点E,并且AE=(AB+AD).
求证:
∠ABC与∠ADC互补.
图1.4
5.如图1.5所示,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E是AC上一点,连接BE,点D是线段BE延长线上一点,过点A作AF⊥BD于点F,连接CD、CF.
当AF=DF时,求证:
DC=BC.
图1.5
6.如图1.6所示,在等腰Rt△ABC中,AD为斜边上的中线,以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于点E、F,连接EF与AD相交于点G.求证:
∠AED=∠AGF.
7.如图1.7所示,AD是△ABC的中线,点E、F分别在AB、AC上,且DE⊥DF,求证:
BE+CF>EF.
8.如图1.8所示,已知正方形ABCD,点E为边AB上异于点A、B的一动点,EF∥AC,交BC于点F,点G为DA延长线上一定点,满足AG=AD,GE的延长线与DF交于点H,连接BH.
探究:
∠EHB是否为定值?
如果是定值,请说明理由,并求出该定值;如果不是定值,请说明理由.
9.如图1.9所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是线段AC上一点,BC=CD,过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E.
(1)如图(a)所示,若BC=3,AE=,求AB.
(2)如图(b)所示,点F是AB的中点,连接FC、FE,探究CF、EF的位置关系与数量关系.
(3)如图(c)所示,EF与AC交于点H,若AD=BD,求.
(a) (b) (c)
10.如图1.10所示,已知矩形ABCD中,点E为AB上一点,连接CE,在CE上找一点F,连接AF,使得∠FAC=∠ECB,且∠DCA=∠DAF.求证:
CF=2EB.
11.如图1.11所示,点E是正方形ABCC边CD上一动点,BE的垂直平分线交对角线AC于点G,垂足为点H,连接BG,并延长交AC于点F,连接EF;若AC=2a,探究:
△CFE的周长L是否为定值?
如果是定值,求出这个值;如果不是,请说明理由
12.如图1.12所示,AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AC于点A,点E为MN上一动点,且不与A重合,若△ABC的周长记为PA,△EBC的周长记为PB,探究PA、PB的大小关系
13.如图1.13所示,在△ABC中,∠BAC=120°,AD为中线,将AD绕点A顺时针旋转120°得到AE,点F为AC上一点,连接BF,∠ABE=∠AFB,若AF=6,BE=7;求CF
14.如图1.14所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,DG垂直平分BC于点G,DE⊥AB于点E,连接CD,若AB=a,AC=b(a>b),求BE(用含a、b的代数式表示)
15.如图1.15所示,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E是斜边AB(不包括点A、B)上的两点,且∠DCE=45°;求证:
DE2=AD2+BE2
16.如图1.16所示,在△ABD中,∠ABD=60°,点C为△ABD外部一点,满足AB=AC,连接DC、BC,DE⊥AD交BC于点E,且DE平分∠BDC,若=n(n>1),求.
17.如图1.17所示,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,点E在Rt△ABC外部,连接BE,以BE为直角边作等腰Rt△BED,连接AD、AE,点H是AE的中点,过点C作CF∥AD,过点D作DF∥AC,两线交于点F,连接AF,点G是AF的四等分点.
求证:
HG⊥AF.
18.如图1.18所示,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D是△ABC内一点,且∠DAC=∠DCA=15°.若BD=,求S△ABC.
19.如图1.19所示,在△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于点D,点E在AD上,CD=DE,连接BE并延长交AC于点F,延长FD到点G,连接BG.
若FG=BG,求证:
BG⊥FG.
20.如图1.20所示,在矩形ABCD中,点O为AC的中点,AO=AE=CF.若OE=4,OF=6,求AE.
21.如图1.21所示,在△ABC中,点P为BC上一动点,且不与点B、C重合,AP⊥BE于点E,AP⊥CD于点D,点F为BC的中点。
求证:
EF=DF。
22.如图1.22所示,菱形ABCD是由两个正三角形拼成的,点P是△ABD内任意一点,现把△BPD绕点B旋转到△BQC的位置。
(1)若四边形BPDQ是平行四边形,求∠BPD。
(2)若△PQD是等腰直角三角形,求∠BPD。
(3)若∠APB=1000,且△PQD是等腰三角形,求∠BPD。
23.如图1.23所示,AB=AC,∠ABC=,EC=ED,∠CED=2,点P为BD的中点,连接AE、PE。
当时,求。
24.如图1.24所示,在等边△ABC中,点F在AC的延长线上,点D在BC上,延长BF与射线DA交于点E,连接EC,且AF+CD=AD,DE=15,AF=4。
求:
(1)∠BEC;
(2);(3)。
25.如图1.25所示,在等边△ABC中,BD⊥AC于点D,BE平分∠CBD交AC于点E,在BC上取一点G,连接EG,且EG=2DE,点F是△ABC外一点,连接AF、BF、EF,满足∠FBE=∠FAB=600,连接GF交BE于点H,求证:
GF⊥BE。
26.如图1所示,在△ABC中,AB=a,AC=b,分别以AB、AC为边作正方形ABED、ACGF,连接BD,点H、I分别是BD、BC的中点,连接HI.若HI=c,求△ABC的面积.
27.如图1所示,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,在等腰Rt△EFC中,∠FEC=90°,连接AE、BF,点M为AE的中点,点N为BF的中点.探究AE与MN的位置关系和数量关系.
28.如图1所示,点P为正方形ABCD的边BC上一点,DH⊥AP,点E为AP上一点,AH=EH,∠CDE的平分线交AP的延长线于点F,连接BF,求.
29.如图1所示,在等边△ABC内,点P为任意一点,连接AP、BP、CP.
(1)求证:
以AP、BP、CP为边,一定能构成一个三角形.
(2)若∠APB=110°,∠BPC=135°,求以边AP、BP、CP所构成的三角形的三个内角的值.
(3)若∠APB=110°,问∠BPC为何值时,以边AP、BP、CP所构成的三角形为直角三角形?
30.如图1所示,在四边形ABDE中,点C是BD的中点,BD=DE=8,AB=2,∠ACE=135°,求AE的最大值.
31.如图1.31所示,△、△都是等边三角形,与交于点,连接。
(1)如图(a)所示,求证:
平分;
(2)如图(b)所示,当时,连接,于点,连接交于点,若,求。
32.在等腰△中,,如图1.32所示。
(1)如图(a)所示,点是线段上的一点,于点,于点,线段、、之间的数量关系为。
(2)如图(b)所示,点是线段上的一点,于点,于点,线段、、之间的数量关系为。
(3)如图(c)所示,点是线段延长线上的一点,其他条件不变,线段、、之间的数量关系为。
33.
(1)如图1.33(a)所示,,,以点为顶点在第四象限作等腰△,则点的
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