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第八章第5讲椭圆
第5讲 椭 圆
[学生用书P167])
1.椭圆的定义
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1,F2
M点的
轨迹为
椭圆
F1、F2为椭圆的焦点
|MF1|+|MF2|=2a
|F1F2|为椭圆的焦距
2a>|F1F2|
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
图形
性质
范围
-a≤x≤a
-b≤y≤b
-b≤x≤b
-a≤y≤a
对称性
对称轴:
x轴、y轴
对称中心:
(0,0)
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e=,e∈(0,1)
a,b,c
的关系
c2=a2-b2
1.辨明两个易误点
(1)椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件,当2a=|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2,当2a<|F1F2|时,不存在轨迹.
(2)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置,而直接设方程为+=1(a>b>0).
2.求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法:
根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)待定系数法:
若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a、b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
1.椭圆C:
+=1的左右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆C于A、B两点,则△F1AB的周长为( )
A.12 B.16
C.20D.24
C [解析]△F1AB的周长为
|F1A|+|F1B|+|AB|
=|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|
=2a+2a=4a.
在椭圆+=1中,a2=25,a=5,
所以△F1AB的周长为4a=20,故选C.
2.若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为( )
A.+y2=1
B.+=1
C.+y2=1或+=1
D.以上答案都不对
C [解析]直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0),
由题意知当焦点在x轴上时,c=2,b=1,
所以a2=5,所求椭圆的标准方程为+y2=1.
当焦点在y轴上时,b=2,c=1,
所以a2=5,所求椭圆的标准方程为+=1.故选C.
3.(2016·高考全国卷乙)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C.D.
B [解析]不妨设直线l过椭圆的上顶点(0,b)和左焦点(-c,0),b>0,c>0,则直线l的方程为bx-cy+bc=0,由已知得=×2b,解得b2=3c2,又b2=a2-c2,所以=,即e2=,所以e=(e=-舍去),故选B.
4.若方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是________.
[解析]由已知得解得3 [答案](3,4)∪(4,5) 5.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过点P(-5,4),则椭圆的标准方程为________. [解析]由e=可得a2=5c2,所以b2=4c2,故椭圆的方程为+=1,将P(-5,4)代入可得c2=9,故椭圆的方程为+=1. [答案]+=1 椭圆的定义及应用[学生用书P168] [典例引领] (1)设F1,F2分别是椭圆E: x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|=( ) A. B.1 C.D. (2)(2017·徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C: +=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面积为9,则b=________. 【解析】 (1)设椭圆E: +=1(0 因为|AF1|+|AF2|=2a=2,|BF1|+|BF2|=2a=2, 两式相加得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4, 所以|AF2|+|BF2|=4-(|AF1|+|BF1|)=4-|AB|. 因为|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列, 所以2|AB|=|AF2|+|BF2|, 于是2|AB|=4-|AB|, 所以|AB|=. (2)设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则 所以2r1r2=(r1+r2)2-(r+r)=4a2-4c2=4b2, 所以S△PF1F2=r1r2=b2=9, 所以b=3. 【答案】 (1)C (2)3 本例 (2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”,其他条件不变,求该椭圆的方程. [解]由原题得b2=a2-c2=9,又2a+2c=18,所以a-c=1,解得a=5,故椭圆的方程为+=1. (1)椭圆定义的应用范围 ①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆. ②解决与焦点有关的距离问题. (2)焦点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|;通过整体代入可求其面积等. [通关练习] 1.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△PF1F2的面积为( ) A.4 B.6 C.2D.4 A [解析]因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=6,又因为|PF1|∶|PF2|=2∶1,所以|PF1|=4,|PF2|=2,又易知|F1F2|=2,显然|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,故△PF1F2为直角三角形,所以△PF1F2的面积为×2×4=4.故选A. 2.已知两圆C1: (x-4)2+y2=169,C2: (x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________. [解析]设动圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,又|C1C2|=8<16,所以动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,则a=8,c=4,所以b2=48,又焦点C1、C2在x轴上,故所求的轨迹方程为+=1. [答案]+=1 椭圆的标准方程[学生用书P168] [典例引领] (1)(2017·湖南省东部六校联考)已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则此椭圆方程为( ) A.+=1 B.+=1 C.+y2=1D.+y2=1 (2)设F1,F2分别是椭圆E: x2+=1(0 【解析】 (1)依题意,可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由已知可得抛物线的焦点为(-1,0),所以c=1,又离心率e==,解得a=2,b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1. (2) 不妨设点A在第一象限,如图所示.因为AF2⊥x轴,所以|AF2|=b2. 因为|AF1|=3|BF1|, 所以B. 将B点代入椭圆方程, 得+=1,所以c2+=1. 又因为b2+c2=1,所以 故所求的方程为x2+=1. 【答案】 (1)A (2)x2+=1 [通关练习] 1.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(-,-),则该椭圆的方程为________. [解析]设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n). 因为椭圆经过P1,P2两点,所以P1,P2点坐标适合椭圆方程,则 ①②两式联立,解得 所以所求椭圆方程为+=1. [答案]+=1 2.已知椭圆C1: +y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.则椭圆C2的方程为________. [解析]法一(待定系数法): 由已知可设椭圆C2的方程为+=1(a>2),其离心率为,故=, 解得a=4,故椭圆C2的方程为+=1. 法二(椭圆系法): 因椭圆C2与C1有相同的离心率,且焦点在y轴上,故设C2: +x2=k(k>0),即+=1. 又2=2×2,故k=4,故C2的方程为+=1. [答案]+=1 椭圆的几何性质(高频考点)[学生用书P169] 椭圆的几何性质是高考的热点,高考中多以小题出现,试题难度一般较大. 高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度: (1)由椭圆的方程研究其性质; (2)由椭圆的性质求参数的值或范围; (3)求离心率的值或范围. [典例引领] (1)(2016·高考全国卷丙)已知O为坐标原点,F是椭圆C: +=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( ) A. B. C.D. (2)(2017·合肥质检)如图,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则·的最大值为________. 【解析】 (1)设E(0,m),则直线AE的方程为-+=1,由题意可知M,和B(a,0)三点共线,则=, 化简得a=3c, 则C的离心率e==. (2)设P点坐标为(x0,y0).由题意知a=2, 因为e==,所以c=1,b2=a2-c2=3. 故所求椭圆方程为+=1. 所以-2≤x0≤2,-≤y0≤. 因为F(-1,0),A(2,0), =(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0), 所以·=x-x0-2+y=x-x0+1=(x0-2)2. 即当x0=-2时,·取得最大值4. 【答案】 (1)A (2)4 (1)求椭圆离心率的方法 ①直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解. ②列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解. (2)利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系. [题点通关] 角度一 由椭圆的方程研究其性质 1.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为( ) A.(-3,0) B.(-4,0) C.(-10,0)D.(-5,0) D [解析]因为圆的标准方程为(x-3)2+y2=1, 所以圆心坐标为(3,0),所以c=3.又b=4, 所以a==5. 因为椭圆的焦点在x轴上, 所以椭圆的左顶点为(-5,0). 角度二 由椭圆的性质求参数的值或范围 2.已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为,则实数m等于( ) A.2 B.2或 C.2或6D.2或8 D [解析]显然m>0且m≠4,当0 角度三 求离心率的值或范围 3.(2017·新余模拟)椭圆C的两个焦点分别是F1,F2,若C上的点P满足|PF1|=|F1F2|,则椭圆C的离心率e的取值范围是( ) A.e≤ B.e≥ C.≤e≤D.0 C [解析]因为椭圆C上的点P满足|PF1|=|F1F2|,所以|PF1|=×2c=3c. 由a-c≤|PF1|≤a+c,解得≤≤. 所以椭圆C的离心率e的取值范围是. 直线与椭圆的位置关系[学生用书P169] [典例引领] (2016·高考全国卷甲改编)已知A是椭圆E: +=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA. (1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,证明: 4k3-6k2+3k-8=0. 【解】 (1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0. 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为. 又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2. 将x=y-2代入+=1,得7y2-12y=0. 解得y=0或y=,所以y1=. 因此△AMN的面积S△AMN=2×××=. (2)证明: 将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入+=1,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0. 由x1·(-2)=,得x1=, 故|AM|=|x1+2|=. 由题设,直线AN的方程为y=-(x+2),故同理可得|AN|=. 由2|AM|=|AN|,得=, 即4k3-6k2+3k-8=0. (1)直线与椭圆位置关系判断的步骤 ①联立直线方程与椭圆方程; ②消元得出关于x(或y)的一元二次方程; ③当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ<0时,直线与椭圆相离. (2)直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 |AB|= =(k为直线斜率,k≠0). (2017·河北省三市第二次联考)已知离心率为的椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F,过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A、B两点,|AB|=. (1)求此椭圆的方程; (2)已知直线y=kx+2与椭圆交于C、D两点,若以线段CD为直径的圆过点E(-1,0),求k的值. [解] (1)设焦距为2c, 因为e==,a2=b2+c2,所以=, 因为=, 所以b=1,a=, 所以椭圆方程为+y2=1. (2)将y=kx+2代入椭圆方程,得(1+3k2)x2+12kx+9=0,又直线与椭圆有两个交点,所以Δ=(12k)2-36(1+3k2)>0,解得k2>1. 设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,若以CD为直径的圆过E点,则·=0,即(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,而y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,则(x1+1)(x2+1)+y1y2=(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=-+5=0, 解得k=,满足k2>1.所以k=. [学生用书P170] ——数形结合思想在椭圆求值中的应用 (经典考题)已知椭圆C: +=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________. 【解析】 椭圆+=1中,a=3. 如图,设MN的中点为D, 则|DF1|+|DF2|=2a=6. 因为D,F1,F2分别为MN,AM,BM的中点, 所以|BN|=2|DF2|,|AN|=2|DF1|, 所以|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12. 【答案】 12 (1)本题利用了数形结合的思想,把DF1和DF2分别看作△MAN和△MNB的中位线,再结合椭圆定义即可求解. (2)在求解有关圆锥曲线焦点问题时,结合图形,注意动点到两焦点距离的转化. 1.过椭圆+=1的中心任意作一条直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PQF周长的最小值是( ) A.14 B.16 C.18D.20 C [解析]如图,设F1为椭圆的左焦点,右焦点为F2,根据椭圆的对称性可知|F1Q|=|PF2|,|OP|=|OQ|,所以△PQF1的周长为|PF1|+|F1Q|+|PQ|=|PF1|+|PF2|+2|PO|=2a+2|PO|=10+2|PO|,易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长,即点P,Q为椭圆的上下顶点时,△PQF1即△PQF的周长取得最小值为10+2×4=18. 2.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为________. [解析]如图, |PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知点M在椭圆外,连接MF2并延长交椭圆于P点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1|的最大值为10+|MF2|=10+=15. [答案]15 [学生用书P366(独立成册)] 1.(2017·江西五市八校二模)已知正数m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的焦点坐标为( ) A.(±,0) B.(0,±) C.(±,0)或(±,0)D.(0,±)或(±,0) B [解析]因为正数m是2和8的等比中项,所以m2=16,即m=4,所以椭圆x2+=1的焦点坐标为(0,±),故选B. 2.(2017·洛阳统考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(,0),直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2,则椭圆方程为( ) A.+y2=1 B.x2+=1 C.+=1D.+=1 C [解析]依题意,设椭圆方程为+=1(a>b>0),则有 ,由此解得a2=20,b2=5,因此所求的椭圆方程是+=1. 3.椭圆的焦点为F1,F2,过F1的最短弦PQ的长为10,△PF2Q的周长为36,则此椭圆的离心率为( ) A. B. C.D. C [解析]PQ为过F1垂直于x轴的弦, 则Q,△PF2Q的周长为36. 所以4a=36,a=9. 由已知=5,即=5. 又a=9,解得c=6,解得=,即e=. 4.已知P为椭圆+=1上的一点,F1,F2为两焦点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.5 B.7 C.13D.15 B [解析]由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7. 5.(2017·湖北八校联考)设F1,F2分别为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为( ) A. B. C.D. B [解析]由题意知a=3,b=,c=2.设线段PF1的中点为M,则有OM∥PF2,因为OM⊥F1F2,所以PF2⊥F1F2,所以|PF2|==.又因为|PF1|+|PF2|=2a=6,所以|PF1|=2a-|PF2|=,所以=×=,故选B. 6.(2017·福建省毕业班质量检测)若椭圆上存在三点,使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C.D. D [解析]不妨设椭圆的方程为+=1(a>b>0),根据椭圆与正方形的对称性,可画出满足题意的图形,如图所示,因为|OB|=a,所以|OA|=a,所以点A的坐标为,又点A在椭圆上,所以+=1,所以a2=3b2,所以a2=3(a2-c2),所以3c2=2a2,所以椭圆的离心率e==,故选D. 7.(2017·贵阳模拟)若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为4,则椭圆的标准方程为________. [解析]由题意可知e==,2b=4,得b=2, 所以解得 所以椭圆的标准方程为+=1. [答案]+=1 8.(2017·安徽黄山一模)已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e=________. [解析]圆(x-2)2+y2=1经过椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点,故椭圆的一个焦点为F(1,0),一个顶点为A(3,0),所以c=1,a=3,因此椭圆的离心率为. [答案] 9.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是________. [解析]满足·=0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆,若其总在椭圆内部,则有c [答案] 10.(2017·安徽江南十校联考)椭圆C: +=1(a>b>0)的右顶点为A,经过原点O的直线l交椭圆C于P、Q两点,若|PQ|=a,AP⊥PQ,则椭圆C的离心率为________. [解析]不妨设点P在第一象限,由对称性可得|OP|==,在Rt△POA中,cos∠POA==,故∠POA=60°,易得P,代入椭圆方程得: +=1,故a2=5b2=5(a2-c2),则=,所以离心率e=. [答案] 11.分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)与椭圆+=1有相同的离心率且经过点(2,-); (2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P到两焦点的距离分别为5,3,过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点. [解] (1)由题意,设所求椭圆的方程为+=t1或+=t2(t1,t2>0),因为椭圆过点(2,-),所以t1=+=2,或t2=+=. 故所求椭圆的标准方程为+=1或+=1. (2)由于焦点的位置不确定,所以设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0), 由已知条件得 解得a=4,c=2,所以b2=12. 故椭圆方程为+=1或+=1. 12.已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率. (2)若=2,·=,求椭圆的方程. [解] (1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,e==. (2)由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,设B(x,y).由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=,y=-,即B.将B点坐标代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3c2①.又由·=(-c,-b)·=,得b2-c2=1,即有a2-2c2=1②.由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆的方程为+=1. 13.如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P点在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为( ) A.2 B.3 C.4D.5 B [解析]b2=2,c=,故|F1F2|=2,又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2a-4,由余弦定理得cos120°==-,化简得8a=24,即a=3,故选B. 14.(2017·陕西省五校联考)椭圆+=1(a为定值,且a>)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B.若△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是________. [解析]设椭圆的右焦点为F′, 如图,由椭圆定义知,|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a. 又△FAB的周长为|AF|+|BF|+|AB|≤|AF|+|BF|+|AF′|+|BF′|=
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