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级高等数学下及其详细答案
2010~2011年第二学期
《微积分》期末考试试卷(A卷)及其参考答案(985)
共8页20题考试时间:
2011.7.4上午9:
00—11:
30考试方式:
闭卷
题号
一二
三
四
五
六
总分
满分
得分
得分
评卷人
评卷人
一.填空题(每小题3分,共18分)
(将答案填在题中横线上,不填解题过程)
1.设为椭圆抛物面与柱面围成的空=间立体,它在平面上的投影区域是
解:
联立消去变量,得所以它在平面上的投影区域是:
2.旋转抛物面在点处的切平面是
解:
设,则
所以,切平面的方程为:
化简后,得:
.
3.函数,在点处,当时的全微分为
解:
当时,
4.设由直线和围成,则
解:
5.函数在点处的梯度是
解:
,,
所以
6.设为抛物线,直线相交组成的闭曲线,则
解:
由格林公式,知
二.单项选择题(每小题3,共12分)(将正确选项前的字母填入题中的括号内)
7.已知的三个特解:
,则该方程的通解为
;;
;.
解:
根据二阶常系数线性微分方程解的性质知,及均是对应的齐次方程的解,故齐次通解为;所以原非齐次方程的通解是选
注意:
如视为区域,则在实际计算时,需要将其分成两小块分别计算.
8.考虑函数在点处的以下性质:
连续;两个偏导数存在且连续;
可微分;两个偏导数存在.
则成立.
;;
;.
解:
选.
9.设满足,则对上的富里叶级数成立.
;;
;.
解:
由已知,有
这说明以为周期.
又由公式()
,所以;
同理()
,所以;
故选
10.设,,在上连续,则()
;;
;.
解:
选
得分
评卷人
评卷人
三.(每小题6分,三个小题共18分)
11.设是由方程所确定的隐函数,求和
解法一:
令
则;;
故;.
所以,12.
解法二:
两边全微分,得
即
将代入得
即
所以,
12.设函数有连续的偏导数,且由方程所确定,求
解:
由式
故
所以
(代入)
13.设,其中具有二阶连续(偏)导数.求
解:
(一);
(二)
得分
评卷人
评卷人
四.(每小题9分,两个小题共18分)
14.设由曲线组成,证明:
曲线积分
证明:
记;.
又设是由曲线围成的区域,则由格林公式,有
由对称性,,,故
15.求半径为,高为的球冠的面积.
解法一:
设球面方程为则球冠在面上的投影区域为
即
又由球面得
所以球冠的面积.
(其中)
解法二:
球冠可视为由面上的一小段圆周曲线
绕轴旋转生成.在上点处取微元.绕轴旋转所生成的那块曲面可近似看成圆柱面,面积为:
.其中,为点到轴的距离.所以,
因此
由的参数方程得
所以
五.(本大题共三小题,每小题满分为8分,共24分).
得分
评卷人
评卷人
16.计算,其中是圆柱面被平面和所截出部分的外侧.
解法一:
(直接计算)在平面上的投影区域为,
将分为,其中(取右侧);(取左侧).
故
;
(1)
在平面上的投影区域面积为零,故
(2)
故
解法二:
利用高斯公式计算
取为平面上介于圆柱面之间的那一部分的上侧;取
的下侧.则构成立体的整个封闭曲面的外侧.
因此由高斯公式:
(1)
故
(2)
又在在平面上的投影区域面积为零;而在平面上的投影区域为
,所以
又在在平面上的投影区域面积为零;而在平面上的投影区域为
,所以
所以
17.计算,其中由曲面及两平面,所围成.
解法一:
.
解法二:
柱面坐标系
18.设,其中由及曲线围成,求
解法一:
(1)
其中
;
(令)
(2)
所以
解法二:
设以,,,为顶点的正方形区域为;曲线和轴围成的半圆区域为,则
其中
;
(令)
所以
解法三:
做坐标平移变换记
则在新的直角坐标系下,积分区域变为由由及曲线围成,关于轴对称。
所以
得分
评卷人
评卷人
六.(每小题5分,两个小题共10分)
19.求函数在闭区域上的最值.
解:
(一)内部
解方程组或
得两个驻点:
算得
(二)边界上
作拉格朗日函数,
令
解之,,,,或.
由于,,所以,在闭区域上的最大值为112,最小值为-16.
20.设点,质点沿以为直径的半圆周从到按逆时针运动,所受力为,的大小等于点与原点之间的距离,其方向垂直于线段且与轴正向夹角小于求变力对质点所做的功.
解:
设按题意,变力的大小为
向径,的单位向量为
则变力的单位向量应为
所以变力
圆弧的方程为化为参数式即为
所以变力对质点所做的功为
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