届高考数学理科一轮复习考纲解读学案第2章 函数导数及其应用 第4讲.docx
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届高考数学理科一轮复习考纲解读学案第2章函数导数及其应用第4讲
第4讲 二次函数与幂函数
[考纲解读] 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质,能利用二次函数、二次方程与二次不等式之间的关系解决简单问题.(重点、难点)
2.掌握幂函数的图象和性质,结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的图象,了解它们的变化情况.(重点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是高考中的一个热点内容.预测2020年高考对二次函数可能会直接考查,也可能会与其他知识相结合进行考查,考查三个二次之间的关系、函数最值的求解、图象的判断等.在解答题中也可能会涉及二次函数.幂函数的考查常与其他知识结合,比较大小、图象及性质的应用为重点命题方向.
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式:
f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
②顶点式:
f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
③两根式:
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)=ax2+bx+c(a>0)
f(x)=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域
R
R
续表
2.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
1.概念辨析
(1)函数y=2x是幂函数.( )
(2)当α<0时,幂函数y=xα是定义域上的减函数.( )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.( )
(4)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( )
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)√
2.小题热身
(1)若a<0,则0.5a,5a,0.2a的大小关系是( )
A.0.2a<5a<0.5aB.5a<0.5a<0.2a
C.0.5a<0.2a<5aD.5a<0.2a<0.5a
答案 B
解析 因为a<0,所以函数y=xa在(0,+∞)上是减函数,又因为0.2<0.5<5,所以0.2a>0.5a>5a,即5a<0.5a<0.2a.
(2)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则函数的解析式为________.
答案 f(x)=x
解析 设f(x)=xα,因为函数f(x)的图象过点(2,),所以=2α,即2=2α,所以α=,所以f(x)=x.
(3)若二次函数y=-2x2-4x+t的图象的顶点在x轴上,则t的值是________.
答案 -2
解析 y=-2x2-4x+t=-2(x2+2x)+t=-2[(x+1)2-1]+t=-2(x+1)2+2+t.
因为此函数的图象的顶点(-1,2+t)在x轴上,所以2+t=0,所以t=-2.
(4)函数f(x)=-x2+2x(0≤x≤3)的值域是________.
答案 [-3,1]
解析 因为f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,所以f(x)在[0,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减,又因为f(0)=0,f
(1)=1,f(3)=-3,所以函数f(x)的值域为[-3,1].
题型 幂函数的图象与性质
1.已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则f
(2)-f
(1)=( )
A.3B.1-C.-1D.1
答案 C
解析 设f(x)=xα,因为函数f(x)的图象经过点(9,3),所以3=9α,解得α=.所以f(x)=x.所以f
(2)-f
(1)=-1.
2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是( )
A.d>c>b>aB.a>b>c>d
C.d>c>a>bD.a>b>d>c
答案 B
解析 观察图象联想y=x2,y=x,y=x-1在第一象限内的图象,可知c<0,d<0,0
由图象可知2c>2d,所以c>d.
综上知a>b>c>d.
3.若(2m+1)>(m2+m-1),则实数m的取值范围是( )
A.B.
C.(-1,2)D.
答案 D
解析 因为函数y=x在[0,+∞)是增函数,
且(2m+1)>(m2+m-1),
所以解得≤m<2.
1.求幂函数的解析式
幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.
2.幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0,1时,幂函数y=xα在第一象限内的图象特征:
α取值
α>1
0<α<1
α<0
图象
特殊点
过点(0,0),(1,1)
过点(0,0),(1,1)
过点(1,1)
凹凸性
下凸
上凸
下凸
单调性
递增
递增
递减
举例
y=x2
y=x
y=x-1,
y=x-
3.幂函数单调性的应用
在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
1.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2+m-1)·x-5m-3为减函数,则实数m的值为( )
A.-2B.1
C.1或-2D.m≠
答案 B
解析 由题意得解得m=1.
2.(2016·全国卷Ⅲ)已知a=2,b=3,c=25,则( )
A.b C.b 答案 A 解析 因为a=2=4,c=25=5,而函数y=x在(0,+∞)上单调递增,所以3<4<5,即b 题型 求二次函数的解析式 已知二次函数f(x)满足f (2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式. 解 解法一: (利用二次函数的一般式) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 故所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 解法二: (利用二次函数的顶点式) 设f(x)=a(x-m)2+n. ∵f (2)=f(-1), ∴抛物线的对称轴为x==. ∴m=,又根据题意函数有最大值8, ∴n=8, ∴y=f(x)=a2+8. ∵f (2)=-1,∴a2+8=-1, 解得a=-4, ∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7. 解法三: (利用两根式) 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值8, ∴=8. 解得a=-4或a=0(舍去), 故所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 条件探究1 将举例说明中的“f (2)=-1,f(-1)=-1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)”,其他条件不变,如何求解? 解 设f(x)=ax(x+2). 因为函数f(x)的最大值为8, 所以a<0,且f(x)max=f(-1)=-a=8,所以a=-8, 所以f(x)=-8x(x+2)=-8x2-16x. 条件探究2 将举例说明中条件变为: 二次函数f(x)的图象经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,且对∀x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),试确定f(x)的解析式. 解 因为f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立, 所以f(x)的对称轴为x=2. 又因为f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2, 所以f(x)=0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0). 又因为f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,a=1. 所以f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3), 即f(x)=x2-4x+3. 求二次函数解析式的方法 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足①不等式f(x)+2x>0的解集为{x|1 解 因为f(x)+2x>0的解集为(1,3), 设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0, 所以f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. 由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0. 因为方程有两个相等的实数根, 所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0, 解得a=1或a=-.由于a<0,舍去a=1. 所以f(x)=-x2-x-. 题型 二次函数的图象与性质 角度1 二次函数的图象 1.(2019·重庆五中模拟)一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( ) 答案 C 解析 若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A;若a<0,一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故可排除D;对于选项B,看直线可知a>0,b>0,从而-<0,而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧,故排除B,选C. 角度2 二次函数的单调性 2.(2019·河南中原名校联考)已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞,3)上是减函数,则a的取值范围是( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 因为函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞,3)上是减函数, 当a≠0时,a须满足 解得0 当a=0时,f(x)=-12x+5在(-∞,3)上是减函数. 综上知,a的取值范围是. 角度3 二次函数的最值 3.(2018·浙江杭州模拟)已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在[0,1]内的最大值为-5,则a的值为( ) A.B.1或 C.-1或D.-5或 答案 D 解析 f(x)=-42-4a,对称轴为直线x=. ①当≥1,即a≥2时,f(x)在[0,1]上递增, ∴ymax=f (1)=-4-a2.令-4-a2=-5,得a=±1(舍去). ②当0<<1,即0 ③当≤0,即a≤0时,f(x)在[0,1]上递减, ∴ymax=f(0)=-4a-a2. 令-4a-a2=-5, 解得a=-5或a=1(舍去). 综上所述,a=或-5.故选D. 角度4 与二次函数有关的恒成立问题 4. (1)(2018·武邑调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足: 当x≥0时,f(x)=x3,若不等式f(-4t)>f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,-) B.(-,0) C.(-∞,0)∪(,+∞) D.(-∞,-)∪(,+∞) (2)当x∈(1,3)时,若不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是________. 答案 (1)A (2)(-∞,-5] 解析 (1)当x<0时,f(x)=-f(-x)=x3,∴f(x)=x3(x∈R),易知f(x)在R上是增函数,结合f(-4t)>f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,知-4t>2m+mt2对任意实数t恒成立,即mt2+4t+2m<0对任意实数t恒成立,故有解得m∈(-∞,-). (2)设f(x)=x2+mx+4. 因为x∈(1,3)时,不等式x2+mx+4<0恒成立, 所以即 解得m≤-5, 所以m的取值范围是(-∞,-5]. 1.识别二次函数图象应学会“三看” 2.研究二次函数单调性的思路 (1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论. (2)若已知f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增),则A⊆,即区间A一定在函数图象对称轴的左侧(右侧).如举例说明2. 3.二次函数最值问题的解法 抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.如举例说明3. 4.与二次函数有关的不等式恒成立的条件 (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是如举例说明4 (1). (3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. (4)f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)在(m,n)上恒成立⇔如举例说明4 (2). (5)f(x)=ax2+bx+c>0(a<0)在[m,n]上恒成立⇔ 1.(2019·郑州模拟)对数函数y=logax(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是( ) 答案 A 解析 当01时,y=logax为增函数,y=(a-1)x2-x开口向上,其对称轴为x=>0,排除B.故选A. 2.(2018·四川成都七中模拟)函数f(x)=的单调递增区间是( ) A.(-∞,-2]B.(-∞,1] C.[1,+∞)D.[4,+∞) 答案 D 解析 由x2-2x-8≥0得x≥4或x≤-2, 令x2-2x-8=t,则y=为增函数, ∴t=x2-2x-8在[4,+∞)上的增区间是所求函数的单调递增区间, ∴所求函数的单调递增区间为[4,+∞). 3.(2019·陕西西安模拟)已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,-1)B.(-1,2] C.[-1,2]D.[2,5] 答案 C 解析 ∵f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4, ∴当x=2时,f (2)=4, 由f(x)=-x2+4x=-5,解得x=5或x=-1, ∴要使函数在[m,5]上的值域是[-5,4],则-1≤m≤2. 4.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为________. 答案 解析 2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立. 当x=0时,-3<0,成立; 当x≠0时,a<2-, 因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞), 当x=1时,右边取最小值,∴a<. 综上,实数a的取值范围是.
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