高三数学一轮复习知识点归纳与总结数学归纳法.docx
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高三数学一轮复习知识点归纳与总结数学归纳法
[备考方向要明了]
考什么
怎么考
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
1.与数列等知识相结合,以解答题的形式考查等式、不等式的证明,如x年xT21等.
2.以解答题的形式考查“观察—归纳—猜想—证明”的问题,如x年湖北T22等.
[归纳·知识整合]
1.数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n取x个值n0(n0∈N*)时命题成立;
(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
[探究] 1.数学归纳法证题的基本原理是什么?
提示:
数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法,它的表述严格而且规范,两个步骤缺一不可.x步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”.
2.用数学归纳法证明问题应该注意什么?
提示:
(1)x步验证n=n0时命题成立,这里的n0并不一定是1,它是使命题成立的最小正整数.
(2)第二步证明的关键是合理运用归纳假设,特别要弄清由k到k+1时命题的变化情况.(3)由假设n=k时命题成立,证明n=k+1命题也成立时,要充分利用归纳假设,即要恰当地“凑”出目标.
2.数学归纳法的框图表示
[自测·牛刀小试]
1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时,x步检验n等于( )
A.1 B.2
C.3D.0
解析:
选C ∵n≥3,∴x步应检验n=3.
2.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( )
A.k2+1
B.(k+1)2
C.
D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2
解析:
选D ∵当n=k时,左侧=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,
左侧=1+2+3+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2,
∴当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上
(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.
3.利用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1),n∈N*”时,从“n=k”变到“n=k+1”时,左边应增乘的因式是( )
A.2k+1B.2(2k+1)
C.D.
解析:
选B 当n=k(k∈N*)时,
左式为(k+1)(k+2)…(k+k);
当n=k+1时,左式为(k+1+1)·(k+1+2)·…·(k+1+k-1)·(k+1+k)·(k+1+k+1),
则左边应增乘的式子是=2(2k+1).
4.(教材习题改编)用数学归纳法证明1+++…+
解析:
当n=2时,左边=1++=1++,
右边=2,故填1++<2.
答案:
1++<2
5.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+________.
解析:
由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形.
答案:
π
用数学归纳法证明等式
[例1] n∈N*,求证:
1-+-+…+-=++…+.
[自主解答]
(1)当n=1时,左边=1-=,
右边==.左边=右边.
(2)假设n=k时等式成立,即1-+-+…+-=++…+,
则当n=k+1时,
+
=+
=++…++.
即当n=k+1时,等式也成立.
综合
(1),
(2)可知,对一切n∈N*,等式成立.
———————————————————
用数学归纳法证明等式应注意的问题
(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型,其关键点在于弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,以及初始值n0的值.
(2)由n=k到n=k+1时,除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n=k时的式子,即充分利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.
1.求证:
x+22+…+n2=.
证明:
(1)当n=1时,左边=1,右边==1,左边=右边,等式成立;
(2)假设n=k(k∈N*,且k≥1)时,等式成立,
即x+22+…+k2=,
则当n=k+1时,x+22+…+k2+(k+1)2
=+(k+1)2
=,
所以当n=k+1时,等式仍然成立.
由
(1)、
(2)可知,对于∀n∈N*等式恒成立.
用数学归纳法证明不等式
[例2] 已知数列{an},an≥0,a1=0,a+an+1-1=a.
求证:
当n∈N*时,an [自主解答] (1)当n=1时,因为a2是方程a+a2-1=0的正根,所以a1 (2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,0≤ak 则由a-a =(a+ak+2-1)-(a+ak+1-1) =(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1)>0, 得ak+1 即当n=k+1时,an 根据 (1)和 (2),可知an 把题设条件中的“an≥0”改为“当n≥2时,an<-1”,其余条件不变,求证: 当n∈N*时,an+1 证明: (1)当n=1时,∵a2是a+a2-1=0的负根, ∴a1>a2. (2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,ak+1 ∵a-a=(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1),ak+1 ∴a-a>0, 又∵ak+2+ak+1+1<-1+(-1)+1=-1, ∴ak+2-ak+1<0,∴ak+2 即当n=k+1时,命题成立. 由 (1) (2)可知,当n∈N*时,an+1 ——————————————————— 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明. 2.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上. (1)求r的值; (2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N*),证明: 对任意的n∈N*,不等式··…·>成立. 解: (1)由题意,Sn=bn+r, 当n≥2时,Sn-1=bn-1+r. 所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1). 由于b>0且b≠1, 所以n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列. 又a1=b+r,a2=b(b-1), 故=b,即=b,解得r=-1. (2)证明: 由 (1)知an=2n-1, 因此bn=2n(n∈N*), 所证不等式为··…·>. ①当n=1时,左式=,右式=, 左式>右式,所以结论成立. ②假设n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立,即 ··…·>,则当n=k+1时, ··…··>·=, 要证当n=k+1时结论成立, 只需证≥, 即证≥, 由均值不等式=≥成立, 故≥成立, 所以,当n=k+1时,结论成立. 由①②可知,n∈N*时,不等式··…·>成立. “归纳—猜想—证明”问题 [例3] 已知f(n)=1++++…+, g(n)=-,n∈N*. (1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系; (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明. [自主解答] (1)当n=1时,f (1)=1,g (1)=1,所以f (1)=g (1); 当n=2时,f (2)=,g (2)=,所以f (2) (2); 当n=3时,f(3)=,g(3)=,所以f(3) (2)由 (1),猜想f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明. ①当n=1,2,3时,不等式显然成立, ②假设当n=k(k≥3)时不等式成立,即1++++…+<-. 那么,当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+<-+. 因为-=-=<0, 所以f(k+1)<-=g(k+1). 由①②可知,对一切n∈N*,都有f(n)≤g(n)成立. ——————————————————— 归纳—猜想—证明类问题的解题步骤 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题,其基本模式是“归纳—猜想—证明”,即先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性. (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题. 3.设数列{an}满足an+1=a-nan+1,n=1,2,3,…. (1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式; (2)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,有an≥n+2. 解: (1)由a1=2,得a2=a-a1+1=3, 由a2=3,得a3=a-2a2+1=4, 由a3=4,得a4=a-3a3+1=5, 由此猜想an的一个通项公式: an=n+1(n≥1). (2)证明: 用数学归纳法证明: ①当n=1时,a1≥3=1+2,不等式成立. ②假设当n=k时不等式成立,即ak≥k+2, 那么,ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3, 也就是说,当n=k+1时,ak+1≥(k+1)+2. 根据①和②,对于所有n≥1,都有an≥n+2. 1种方法——寻找递推关系的方法 (1)在x步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对发现递推关系是有帮助的. (2)探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律,观察n处在哪个位置. (3)在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚. 4个注意点——应用数学归纳法应注意的问题 (1)数学归纳法是证明与正整数有关的命题的常用方法,特别是数列中等式、不等式的证明,在高考试题中经常出现. (2)数学归纳法证题的关键是第二步,证题时应注意: ①必须利用归纳假设作基础;②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法;③解题时要搞清从n=k到n=k+1增加了哪些项或减少了哪些项. (3)数学归纳法证题时,x个值n0不一定为1,如证明多边形内角和定理(n-2)π时,初始值n0=3. (4)解题中要注意步骤的完整性和规范性,过程中要体现数学归纳法证题的形式. 易误警示——应用数学归纳法解决证明问题的易误点 [典例] (x·九江模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,并且满足2Sn=a+n,an>0(n∈N*). (1)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明. (2)设x>0,y>0,且x+y=1,证明: +≤. [解] (1)分别令n=1,2,3,得 ∵an>0,∴a1=1,a2=2,a3=3. 猜想: an=n. 由2Sn=a+n,① 可知,当n≥2时,2Sn-1=a+(n-1).② ①-②,得2an=a-a+1, 即a=2an+a-1. (ⅰ)当n=2时,a=2a2+x-1, ∵a2>0,∴a2=2. (ⅱ)假设当n=k(k≥2)时,ak=k,那么当n=k+1时, a=2ak+1+a-1=2ak+1+k2-1 ⇒[ak+1-(k+1)][ak+1+(k-1)]=0, ∵ak+1>0,k≥2,∴ak+1+(k
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