与名师对话理等比数列及其前n项和.docx
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与名师对话理等比数列及其前n项和
第三节 等比数列及其前n项和
高考概览:
1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式及前n项和公式;2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题;3.了解等比数列与指数函数的关系.
[知识梳理]
1.等比数列的有关概念
(1)等比数列的有关概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q(q≠0)表示.即=q(q≠0).
(2)等比中项
如果三个数a,G,b成等比数列,则G叫做a和b的等比中项,那么=,即G2=ab.
2.等比数列的有关公式
(1)等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,q≠0,则它的通项公式an=a1·qn-1.
(2)等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==.
3.等比数列的性质
(1)通项公式的推广:
an=am·qn-m(q≠0,n,m∈N*).
(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.
(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{a},{an·an},仍是等比数列.
(4)q≠-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.
当q=-1且n为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不是等比数列.
[辨识巧记]
1.两种必会方法
(1)定义法:
若=q(q为非零常数,n∈N*)或=q(q为非零常数,n≥2,n∈N*),则{an}为等比数列.
(2)等比中项法:
若a=an-1an+1(n≥2,n∈N*),则数列{an}为等比数列.
2.两个注意问题
(1)在等比数列{an}中,an≠0.
(2)在等比数列求和时,要注意q=1和q≠1的讨论.
[双基自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)等比数列公比q是一个常数,它可以是任意实数.( )
(2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.( )
(3)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.( )
(4)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.( )
[答案]
(1)×
(2)× (3)× (4)×
2.已知等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于( )
A.4B.8C.16D.32
[解析] 易知a2·a6=a=16.故选C.
[答案] C
3.已知数列{an}是等比数列,且a1=,a4=-1,则{an}的公比q为( )
A.2B.-C.-2D.
[解析] 由=q3=-8得q=-2,故选C.
[答案] C
4.(必修5P68B组T1
(1)改编)等比数列{an}各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=( )
A.12B.10C.8D.2+log35
[解析] ∵数列{an}为等比数列,
∴a5a6+a4a7=2a1a10=18,a1a10=9,
∴log3a1+log3a2+…+log3a10
=log3(a1a2…a10)=log3(a1a10)5
=5log39=10.故选B.
[答案] B
5.(必修5P62B组T2改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则=________.
[解析] ∵数列{an}为等比数列,
∴S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,
∴(S6-S3)2=S3(S9-S6)
∵S6=S3,
∴S=S3(S9-S3),
得S9=S3,即=.
[答案]
考点一 等比数列的基本运算
【例1】 (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.
[解]
(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.
由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.
若an=2n-1,则Sn=2n-1.
由Sm=63得2m=64,解得m=6.
综上,m=6.
等比数列基本运算的解题技巧
(1)求等比数列的基本量问题,一般是“知三求二”问题,其核心思想是解方程(组),一般步骤是:
①由已知条件列出首项和公比的方程(组);②求出首项和公比;③求出项数或前n项和等其余量.
(2)运用整体思想,达到设而不求的目的;运用等比定理,即q===…==达到化简目的;运用分类讨论思想,讨论q=1和q≠1等问题.
[对点训练]
1.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是( )
A.2B.4C.4D.8
[解析] 解法一:
设等比数列{an}的公比为q(q>0),由a2=1,a8=a6+2a4,得
即解得
则a6=a1q5=a1q·q4=4.故选B.
解法二:
设等比数列{an}的公比为q(q>0),
因为a2=1,a8=a6+2a4,所以a2q6=a2q4+2a2q2.
又an>0,所以q4-q2-2=0,解得q2=2(负值舍去),故a6=a2q4=1×22=4.故选B.
[答案] B
2.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于( )
A.B.C.D.
[解析] 设数列{an}的公比为q,且q>0,
由题意得,
解得a1=4,q=.
∴S5===.故选B.
[答案] B
考点二 等比数列的性质
等比数列的性质是高考中的常考内容,多以选择题或填空题的形式出现,难度适中,属中档题.
常见的命题角度有:
(1)等比数列项的性质;
(2)等比数列前n项和的性质.
角度1:
等比数列项的性质
【例2-1】
(1)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20等于( )
A.50B.25C.75D.100
(2)数列{an}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,则a+a+a+…+a等于( )
A.(3n-1)2B.(9n-1)
C.9n-1D.(3n-1)
[解析]
(1)∵{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,
∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,
∴lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11)10
=ln(e5)10=lne50=50.故选A.
(2)∵a1+a2+…+an=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+an-1=3n-1-1,
∴当n≥2时,an=3n-3n-1=2·3n-1,
又n=1时,a1=2适合上式,∴an=2·3n-1,
故数列{a}是首项为4,公比为9的等比数列.
因此a+a+…+a==(9n-1).故选B.
[答案]
(1)A
(2)B
角度2:
等比数列前n项和的性质
【例2-2】
(1)(2019·云南省高三11校跨区调研考试)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12=( )
A.40B.60C.32D.50
(2)(2019·山西四校联考)若等比数列{an}的前n项和为Sn,且=5,则=________.
[思路引导] →
[解析]
(1)由等比数列的性质可知,数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即数列4,8,S9-S6,S12-S9是等比数列,因此S12=4+8+16+32=60,故选B.
(2)由等比数列的性质可知,S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列,
若设S2=a,则S4=5a,
由(S4-S2)2=S2·(S6-S4)得S6=21a,同理得S8=85a,
所以==17.
[答案]
(1)B
(2)17
利用等比数列性质解题应注意的2点
(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.
(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
[对点训练]
1.(2018·山东菏泽一模)在等比数列{an}中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,则的值为( )
A.2B.-C.D.-或
[解析] 设等比数列{an}的公比为q,由a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,可得a2a16=2,即aq16=2,即a=2,则=a9=±.故选D.
[答案] D
2.(2019·广东中山模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5=( )
A.3∶4B.2∶3C.1∶2D.1∶3
[解析] ∵等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,∴(S10-S5)∶S5=-1∶2,由等比数列的性质得(S15-S10)∶(S10-S5)∶S5=1∶(-2)∶4,∴S15∶S5=3∶4.故选A.
[答案] A
考点三 等比数列的判定与证明
【例3】 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列.
(2)在
(1)的条件下证明是等差数列,并求an.
[解]
(1)证明:
由a1=1,及Sn+1=4an+2,
有a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,
∴b1=a2-2a1=3.
由Sn+1=4an+2①
知当n≥2时,有Sn=4an-1+2②
①-②得an+1=4an-4an-1,
∴an+1-2an=2(an-2an-1)
又∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,
∴{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.
(2)由
(1)可得bn=an+1-2an=3·2n-1,
∴-=,
∴数列是首项为,
公差为的等差数列.
∴=+(n-1)×=n-,
an=(3n-1)·2n-2.
等比数列的判断与证明的常用方法
[对点训练]
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*).
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)是否存在常数λ,使得{an+λ}为等比数列?
若存在,求出λ的值和通项公式an;若不存在,请说明理由.
[解]
(1)当n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3,
当n=2时,S2=a1+a2=2a2-6,解得a2=9,
当n=3时,S3=a1+a2+a3=2a3-9,解得a3=21.
(2)假设{an+λ}是等比数列,则(a2+λ)2=(a1+λ)(a3+λ),
即(9+λ)2=(3+λ)(21+λ),解得λ=3.
下面证明{an+3}为等比数列:
∵Sn=2an-3n,∴Sn+1=2an+1-3n-3,∴an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3,即2an+3=an+1,
∴2(an+3)=an+1+3,∴=2,
∴存在λ=3,使得数列{an+3}是首项为a1+3=6,公比为2的等比数列.
∴an+3=6×2n-1,即an=3(2n-1)(n∈N*).
考点四 等比数列的综合问题
【例4】
(1)(2018·长沙市、南昌市高三第一次联考)已知等比数列{an}满足=,a5=4,记等比数列{an}的前n项积为Tn,则当Tn取最大值时,n=( )
A.4或5B.5或6
C.6或7D.7或8
(2)设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…).则q的取值范围为________.
[思路引导]
(1)→→
(2)→→
[解析]
(1)解法一:
设数列{an}的公比为q,由=,得q3=,则q=,则an=a5·qn-5=27-n,从而可得Tn=a1·a2·…·an=26+5+4+…+(7-n)=2=2(-n2+13n),所以当(-n2+13n)取最大值时,Tn取最大值,此时n=6或7,故选C.
解法二:
设数列{an}的公比为q,由=,得q3=,则q=,则an=a5·qn-5=27-n,令an=1,则n=7,又当n<7时,an>1,当n>7时,an<1,Tn=a1·a2·…·an,且an>0,所以当n=6或7时,Tn取最大值,故选C.
(2)因为{an}为等比数列,Sn>0,
可以得到a1=S1>0,q≠0,
当q=1时,Sn=na1>0;
当q≠1时,Sn=>0,
即>0(n=1,2,3,…),上式等价于不等式组(n=1,2,3,…),①
或(n=1,2,3,…).②
解①式得q>1,解②式,由于n可为奇数,可为偶数,得-1 综上,q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). [答案] (1)C (2)(-1,0)∪(0,+∞) 解决等比数列的综合问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形.注意数列与函数的不同,数列只能看作是自变量为正整数的一类函数,在解决问题时要注意这一特殊性. [对点训练] (2019·洛阳市高三第一次统一考试)等比数列{an}的首项为,公比为-,前n项和为Sn,则当n∈N*时,Sn-的最大值与最小值之和为( ) A.-B.-C.D. [解析] 依题意得Sn==1-n.当n为奇数时,Sn=1+随着n的增大而减小,1 [答案] C 创新系列交汇④——数列中的数学文化 素养解读: 新考纲要求: “增加中华优秀传统文化的考核内容,积极培养和践行社会主义核心价值观,充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.比如,在数学中增加数学文化的内容”.所以从《九章算术》、《数书九章》和《算法统宗》等中国古代数学名著中挖掘素材,考查数学文化的可能性较大. 【典例1】 《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,《算法统宗》对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“竹简容米”就是其中一首: 家有九節一莖,爲因盛米不均平;下頭三节三升九,上梢四節貯三升;唯有中間二節竹,要將米数次第盛;若是先生能算法,也教算得到天明! 大意是: 用一根9节长的竹子盛米,每节竹筒盛米的容积是不均匀的,下端3节可盛米3.9升,上端4节可盛米3升,要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米,中间2节可盛米多少升? 由以上条件,计算出中间2节的容积为( ) A.2.1升B.2.2升 C.2.3升D.2.4升 [切入点] 弄清数学文化表述的信息. [关键点] 转化为数列问题. [规范解答] 要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米,设相差的同一数量为d升,下端第一节盛米a1升,由题意得 解得a1=1.4,d=-0.1, 所以中间2节可盛米的容积为 a4+a5=(a1+3d)+(a1+4d)=2a1+7d=2.8-0.7=2.1(升).故选A. [答案] A 【典例2】 中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题: “今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰: ‘我羊食半马.’马主曰: ‘我马食半牛.’今欲衰偿之,问各出几何? ”其大意为: “今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说: ‘我的羊所吃的禾苗只有马的一半.’马主人说: ‘我的马所吃的禾苗只有牛的一半.’现打算按此比例偿还,则他们各应偿还多少? ”设牛、马、羊的主人分别应偿还m升,n升,p升,则下列判断正确的是(注: 1斗为10升)( ) A.m,n,p依次成公比为2的等比数列,且m= B.m,n,p依次成公比为2的等比数列,且p= C.m,n,p依次成公比为的等比数列,且m= D.m,n,p依次成公比为的等比数列,且p= [切入点] 理解题意. [关键点] 用数列知识进行求解. [规范解答] 由条件知m,n,p依次成公比为的等比数列,三者之和为50升,根据等比数列的前n项和公式,得p+2p+4p=50,解得p=,故选D. [答案] D 认真读题审题,从古代文化中抽出与数列相关的知识,结合等差数列与等比数列的概念和性质解决问题. [感悟体验] 1.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.fB.f C.fD.f [解析] 十三个单音的频率成等比数列,设为{an},其公比为,a1=f,所以a8=f·()7=f,故选D. [答案] D 2.南北朝时,在466~484年,张邱建写了一部算经,即《张邱建算经》,在这本算经中,张邱建对等差数列的研究有一定的贡献,例如算经中有一道题为: “今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给”,则每一等人比下一等人多得________斤金.(不作近似计算) [解析] 设第十等人得金a1斤,第九等人得金a2斤,以此类推,第一等人得金a10斤,则数列{an}构成等差数列,设公差为d,则每一等人比下一等人多得d斤金,由题意 即 解得d=,所以每一等人比下一等人多得斤金,故答案为. [答案] 课后跟踪训练(三十六) 基础巩固练 一、选择题 1.(2018·石家庄市高三二检)在等比数列{an}中,a2=2,a5=16,则a6=( ) A.14B.28C.32D.64 [解析] ∵a2=2,a5=16,∴q3==8,∴q=2,a6=a5×q=32,故选C. [答案] C 2.(2019·兰州市高三实战考试)等比数列{an}的各项均为正数,Sn是其前n项和,满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=( ) A.9B.15C.18D.30 [解析] 设数列{an}的公比为q,由2S3=8a1+3a2可得2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,得2a3=6a1+a2,即2q2-q-6=0,所以q=2,因为a4=16,所以a1×23=16,解得a1=2,所以S4==30.故选D. [答案] D 3.(2019·济南市高考模拟)已知正项等比数列{an}满足a3=1,a5与a4的等差中项为,则a1的值为( ) A.4B.2C.D. [解析] 由题意知,2×=a5+a4,即3a4+2a5=2.设数列{an}的公比为q(q>0),则由a3=1,得3q+2q2=2,解得q=或q=-2(舍去),所以a1==4.故选A. [答案] A 4.(2018·南宁统一考试)设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 等比数列{an}为递增数列的充要条件为或故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D. [答案] D 5.已知数列{an}满足log2an-1=log2an+1(n∈N*),若a1+a3+a5+…+a2n-1=2n,则log2(a2+a4+a6+…+a2n)的值是( ) A.2n+1B.2n-1 C.n+1D.n-1 [解析] 由log2an-1=log2an+1得=,所以数列{an}是等比数列,公比为,所以a2+a4+a6+…+a2n=(a1+a3+a5+…+a2n-1)=2n-1,所以log2(a2+a4+a6+…+a2n)=n-1.故选D. [答案] D 二、填空题 6.(2019·江西抚州教学质量检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),若=65,则数列{an}的公比为________. [解析] 设等比数列{an}的公比为q,显然q≠1,则=1+q3=65,解得q=4. [答案] 4 7.在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a8+a9+a10=________. [解析] 由等比数列的性质,根据a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=(a1+a2+a3)q=2,解得q=2,a8+a9+a10=(a1+a2+a3)q7=27=128. [答案] 128 8.(2019·沈阳质量监测)数列{an}是等比数列,若a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=________. [解析] 设等比数列{an}的公比为q,由a5=a2q3,得q=,所以a1=4,a2a3==a1a2,anan+1==an-1an(n≥2).设bn=anan+1,则数列{bn}是以8为首项,以为公比的等比数列,则a1a2+a2a3+…+anan+1==(1-4-n). [答案] (1-4-n) 三、解答题 9.(2019·北京朝阳区期末)已知由实数构成的等比数列{an}满足a1=2,a1+a3+a5=42. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求a2+a4+a6+…+a2n. [解] (1)由可得2(1+q2+q4)=42. 由数列{an}各项为实数,解得q2=4,q=±2. 所以数列{an}的通项公式为an=2n或an=(-1)n-12n. (2)当an=2n时,a2+a4+a6+…+a2n==(4n-1); 当an=(-1)n-12n时,a2+a4+a6+…+a2n==(1-4n). 10.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3; (2)求{an}的通项公式. [解] (1)∵a1=1,a-(2an+1-1)an-2an+1=0, ∴令n=1,有a-(2a2-1)a1-2a2=0,即 1-(2a2-1)-2a2=0,得a2=. 同理可得a-(2a3-1)a2-2a3=0,解得a3=. (2)由a-(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1). 因为{an}的各项都为正数,所以=. 故{an}是首项为1,公比为的等比数列,因此an=. 能力提升练 11.(2019·山东泰安模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中,a6=3,则a4+a8有( ) A.最小值6B.最大值6 C.最大值9D.最小值3 [解析] 设等比数列{an}的公比为q(q>0).∵a6=3, ∴a4==,a8=a6q2=3q2,∴a4+a8=+3q2≥ 2=6.当且仅当q=1时上式等号成立.故选A. [答案] A 12.(2019·广东四市期末)已知正项数列{an}中,a1=1,a2=2,2a=a+a(n≥2),则a6等于(
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