中考数学矩形归类复习.docx
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中考数学矩形归类复习
等腰三角形专题训练
亲爱的老师,给学生设计题目一定要注意归类训练,抓住重点题型要训练透彻
亲爱的老师,亲爱的同学们,做题一定要注意反思总结:
这个题用了什么知识点,给我们什么启示,以后遇到此类问题怎么办?
一、角平分线遇到平行线出现等腰三角形及综合知识应用
1.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,且∠BAD、∠ADC的角平分线
AE、DF分别交BC于点E、F.若EF=2,AB=5,求AD的长
2.如图,△ABC中,D、E分别是BC、AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,若BC=8,求DF的长
3.如图,∠B、∠C的平分线相交于F,过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,
求证:
①△BDF、△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周长为AB+AC;
4.如图,∠ABC=50°,BD平分∠ABC,过D作DE∥AB交BC于点E,若点F在AB上,且满足DF=DE,求∠DFB的度数
二、等腰三角形三线合一(有前两线必有第三线)及综合知识应用
5.如图,在△ABC中,∠BAC<90°,AB=AC,AF⊥BC于点F,D为CA延长线上一点,DE⊥BC于E,交AB边于点G,则图中与∠D相等的角的个数为( )
6.如图△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BF平分∠ABC,E是AF的中点,DE⊥AC交AB于D,连接DC交BF于P,求∠DPB的度数
7.如图,△ABC中,AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是△BAD的角平分线,DF∥AB交AE延长线于F,求DF的长
8.如图,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC的中点,连结EF交CD于点M,连接AM.若∠BAC=45°,AM=4,DM=3,
求BC的长
9.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点G作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点G作GD⊥AC于D,
求证:
①点G到△ABC各边的距离相等;
②设GD=m,AE+AF=n,则S△AEF=
nm.
10.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,∠ABC的平分线BE交AD于点F,AG平分∠DAC.
求证:
①∠BAD=∠C;②AE=AF;③FG∥AC.
11.如图,已知AG⊥BD,AF⊥CE,BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,若BF=2,ED=3,GC=4,求△ABC的周长.
12.如图,在△ABC中,N是三条角平分线的交点,EF⊥BN于点N,EF分别交AB、BC于点E、F,∠BAN=20°,∠ENA=30°,求∠FNC的度数.
等边三角形专题训练
注意用好三边相等和60度角30度角
13.如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,求DE的长
14.已知:
如图,△ABC和△DEC都是等边三角形,D是BC延长线上一点,AD与BE相交于点P,AC、BE相交于点M,AD、CE相交于点N,
求证:
①AD=BE;②∠BMC=∠ANC;③∠APM=60°;④AN=BM;⑤△CMN是等边三角形.
15.如图,已知等边△ABC,点D在AC的外侧,将BD绕点B顺时针旋转60°至BF,点F与点D相对应,连接AF,AD,AD=2,∠CBD=15°,∠AFB=30°,求AF的长.
16.如图:
在△ABC中,AB=BC=AC,AE=CD,AD与BE相交于点P,BQ⊥AD于Q.
求证:
①△ADC≌△BEA;②BP=2PQ.
17.等边三角形ABC中,AD是高,AD=3,∠ABC的平分线交AD于点O,E是AC边上的运动点,连结OE且以OE为边长的等边△OEF,当F点落在BC边上时,请你证明△CEF是等边三角形.
答案及解析
1.(2015秋?
武昌区期中)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,且∠BAD、∠ADC的角平分线
AE、DF分别交BC于点E、F.若EF=2,AB=5,则AD的长为( )
A.7 B.6 C.8 D.9
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC,由DF平分∠ADC,得到∠ADF=∠CDF,等量代换得到∠DFC=∠FDC,根据等腰三角形的判定得到CF=CD,同理BE=AB,根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的性质得到AB=CD,AD=BC,即可得到结论.
【解答】解:
∵AD∥BC,
∴∠ADF=∠DFC,
∵DF平分∠ADC,
∴∠ADF=∠CDF,
∴∠DFC=∠FDC,
∴CF=CD,
同理BE=AB,
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,
∴AB=BE=CF=CD=5,
∴BC=BE+CF﹣EF=8,
∴AD=BC=8.
故选C.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质,平行线的性质,平行四边形的性质,解答本题的关键是判断出BA=BE=CF=CD.
3.(2014秋?
江津区期末)如图,△ABC中,D、E分别是BC、AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,若BC=8,则DF的长是( )
A.2 B.3 C.
D.4
【分析】首先根据条件D、E分别是BC、AC的中点可得DE∥AB,再求出∠BFD=∠DBF,根据等角对等边可得到DB=DF.
【解答】解:
∵△ABC中,D、E分别是BC、AC的中点,
∴DE∥AB,BD=
BC=4,
∴∠ABF=∠BFD,
∵BF平分∠ABC,
∴∠FBC=∠ABF,
∴∠BFD=∠DBF,
∴DB=DF=4,
故选D.
【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理的应用,解题的关键是证明DE∥AB,可得到∠BFD=∠DBF.
4.(2014秋?
巢湖期末)如图,∠B、∠C的平分线相交于F,过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的是
①△BDF、△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周长为AB+AC;④BD=CE.( )
A.③④ B.①② C.①②③ D.②③④
【分析】由平行线得到角相等,由角平分线得角相等,根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质.
【解答】解:
∵DE∥BC,
∴∠DFB=∠FBC,∠EFC=∠FCB,
∵BF是∠ABC的平分线,CF是∠ACB的平分线,
∴∠FBC=∠DFB,∠FCE=∠FCB,
∵∠DBF=∠DFB,∠EFC=∠ECF,
∴△DFB,△FEC都是等腰三角形.
∴DF=DB,FE=EC,即有DE=DF+FE=DB+EC,
∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC.
故选C.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质;题目利用了两直线平行,内错角相等,及等角对等边来判定等腰三角形的;等量代换的利用是解答本题的关键.
5.(2014秋?
淮南期末)如图,∠ABC=50°,BD平分∠ABC,过D作DE∥AB交BC于点E,若点F在AB上,且满足DF=DE,则∠DFB的度数为( )
A.25° B.130° C.50°或130° D.25°或130°
【分析】如图,证明∠DFB=∠DEB,此为解决问题的关键性结论;求出∠DEB=130°,即可解决问题.
【解答】解:
如图,DF=DF′=DE;
∵BD平分∠ABC,由图形的对称性可知:
△BDE≌△BDF,
∴∠DFB=∠DEB;
∵DE∥AB,∠ABC=50°,
∴∠DEB=180°﹣50°=130°;
∴∠DFB=130°;
当点F位于点F′处时,
∵DF=DF′,
∴∠DF′B=∠DFF′=50°,
故选C.
【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质定理的应用问题;灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是解题的关键.
6.(2014秋?
下城区期末)如图,在△ABC中,∠BAC<90°,AB=AC,AF⊥BC于点F,D为CA延长线上一点,DE⊥BC于E,交AB边于点G,则图中与∠D相等的角的个数为( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【分析】证明∠BAF=∠CAF;∠BGE=∠AGD=∠BAF,∠CAF=∠D,即可解决问题.
【解答】解:
如图,∵AB=AC,AF⊥BC,
∴∠BAF=∠CAF;
∵DE⊥BC,
∴DE∥AF,
∴∠BGE=∠AGD=∠BAF,∠CAF=∠D,
∴图中与∠D相等的角共有4个,
故选B.
【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质的应用问题;解题的关键是灵活运用平行线的性质等几何知识点来分析、判断、解答.
7.(2014秋?
凉山州期末)如图△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BF平分∠ABC,E是AF的中点,DE⊥AC交AB于D,连接DC交BF于P,∠DPB的度数是( )
A.36° B.54° C.72° D.90°
【分析】由AB=AC,∠A=36°,根据等边对等角,得到∠ABC=∠ACB,根据BF平分∠ABC,得到∠ABF=FBC=36°,∠BFC=∠BCF=72°,因为AE=EF,DE⊥AF,得到AD=DF,∠DFE=36°,∠DFP=72°,证得△BDF≌△CBF,得到BD=BC,因为BF平分∠ABC,BP⊥CD,根据“三线和一”得到∠BPD=90°.
【解答】解:
连接DF,∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°,
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=FBC=36°,
∴∠BFC=∠BCF=72°,
∵AE=EF,DE⊥AF,
∴AD=DF,
∴∠DFE=36°,
∴∠DFP=72°,
∴∠DFB=∠CFB,
在△DBF与△CBF中,
,
∴△BDF≌△CBF(ASA),
∴BD=BC,
∵BF平分∠ABC,
∴BP⊥CD,
∴∠BPD=90°
故选D.
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,线段的垂直平分线的性质,关键是正确的作出辅助线.
8.(2014秋?
五常市校级期中)如图,△ABC中,AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是△BAD的角平分线,DF∥AB交AE延长线于F,则DF的长为( )
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