与圆有关的位置关系.docx

与圆有关的位置关系.docx

《与圆有关的位置关系.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《与圆有关的位置关系.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

与圆有关的位置关系

与圆有关的位置关系

主讲：

黄冈中学高级教师　余国琴

一周强化

一、一周知识概述

1、点和圆的位置关系

　　如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系．

（1）d＞r

点在圆外；

（2）d=r

点在圆上；

　　（3）d＜r

点在圆内．

2、确定圆的条件

　　不在同一直线上的三个点确定一个圆．

3、三角形的外接圆

（1）定义：

经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．

　　三角形的外心：

外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

　　注意：

①要弄清“接”是指三角形各顶点在圆上，“外”是指三角形外，“内”是指圆内．

　　②三角形的外接圆和圆的内接三角形是针对上述同一个图形，从不同角度的两种说法．

（2）三角形外心的性质：

　　①三角形的外心是外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等．

　　②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是惟一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．

4、反证法

（1）定义：

从命题结论的反面出发，经过推理论证，得出矛盾，从而证明命题成立，这种方法叫做反证法．

（2）反证法证明命题的一般步骤

　　①反设：

作出与结论相反的假设；

　　②归谬：

由假设出发，利用学过的公理、定理推出矛盾；

　　③作结论：

由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

5、直线和圆的位置关系的定义及有关概念

（1）直线与圆的位置关系有关概念

　　①相交与割线：

直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．

　　②切线与切点：

直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．

　　③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

（2）用数量关系判断直线与圆的位置关系

　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

（1）直线l和⊙O相交

d＜r（如图

（1）所示）；

（2）直线l和⊙O相切

d=r（如图

（2）所示）；

　　（3）直线l和⊙O相离

d＞r（如图（3）所示）．

6、切线

（1）切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（2）切线的性质：

圆的切线垂直于过切点的半径．

　　（3）切线长：

圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．

　　（4）切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．

7、三角形的内切圆与三角形的内心

　　①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．

　　②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等．

8、圆和圆的位置关系

（1）图示定义法（交点数）

　　①相离：

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，如上图

（1）、（5）、（6）所示，其中

（1）又叫做外离，（5）（6）叫做内含；

　　②相切：

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图

（2）、（3）所示，其中

（2）叫外切，（3）叫内切；

　　③相交：

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图（4）所示．

　　注意：

圆与圆的位置关系按公共点的个数可分为0，1，2三大类即：

　　（Ⅰ）没有公共点：

　　（Ⅱ）有惟一公共点：

　　（Ⅲ）有两个公共点：

相交

（2）用数量关系判断两圆的位置关系

　　当两圆的半径一定时，两圆的位置关系与两圆圆心的距离（圆心距）的大小有关，设两圆半径分别为R和r（R＞r），圆心距为d，则：

（1）两圆外离

d＞R＋r；

（2）两圆外切

d=R＋r；

　　（3）两圆相交

R－r＜d＜R＋r；

　　（4）两圆内切

d=R－r；

　　（5）两圆内含

d＜R－r．

二、重难点知识归纳

与圆有关的位置关系的判断是重点，切线的判定和性质是重点也是难点．

三、典型例题剖析

例1、如图，已知矩形ABCD中，AB=3cm

AD=4cm．若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆外，且至少有一点在圆内，求⊙A的半径r的取值范围．

解：

　　∵矩形ABCD中，∠B=90°，AB=3cm，BC=AD=4cm，

　　∴AC=5cm，

　　其中点B到点A的距离最小，点C到点A的距离最大．若以AB为半径作圆，则没有点在⊙A内；若以AC为半径作圆，则没有点在⊙A外．

　　故⊙A的半径r的取值范围是3cm＜r＜5cm．

点拨：

　　这里是由点与圆的位置确定半径r的大小．本例还要注意“至少”一词的理解．

例2、阅读下列文字：

在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，则AC≠BC．

证明：

假设AC=BC．

　　∵∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B．

　　∴AC≠BC，这与题设矛盾，∴AC≠BC．

　　上面的证明有没有错误，若没有错误，指出其证明方法是什么？

若有错误，请给予指正．

解：

有错误．改正如下：

　　假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°，

　　∴∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾．∴AC=BC不成立．

　　∴AC≠BC．

点拨：

　　运用反证法证题应从“假设”出发，即把假设当作已知条件，一步步有根据地推出与定义、定理、公理或已知矛盾的结论，从而判定“假设”不成立，进一步肯定命题的结论．

例3、如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？

解：

以AB为直径的圆与CD是相切关系．理由如下：

　　如图，过E作EF⊥CD，垂足为F．

　　∵∠A=∠B=90°，∴EA⊥AD，EB⊥BC.　

　　∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，

　　∴

．

　　∴以AB为直径的圆的圆心为E，且

，

　　∴以AB为直径的圆与边CD相切．

点拨：

　　在证明直线与圆的位置关系时，常过圆心向直线作垂线段，再比较垂线段与半径的大小即可．

例4、已知：

AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD（如图）．

求证：

DC是⊙O的切线．

证明：

连结OD．

．

．

　　∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°．

　　∴∠ODC=90°．∴OD⊥DC.

　　∴DC是⊙O的切线．

点拨：

　　已知点B是切点，连结OB得OB⊥BC，要证CD是切线，也要连结OD，证OD⊥CD，再沟通已知与未知的联系即可．

例5、如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，DO、AE相交于点F，CO、BE相交于点G．求证：

（1）CO⊥DO；

（2）四边形EFOG是矩形．

分析：

（1）欲证CO⊥DO，只需证明∠ODC＋∠OCD=90°．根据切线长定理，

　　得

．

　　再由切线的性质定理，不难得AD∥BC，从而∠ADC＋∠BCD=180°，

（1）获证．

（2）仍由切线长定理，可证AE⊥DO，BE⊥CO．而∠AEB=90°，

（2）获证．

证明：

（1）∵AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，

　　∴AD⊥AB，BC⊥AB．∴AD∥BC．

　　∴∠ADC＋∠BCD=180°．

　　又由切线长定理，得

．

　　∴∠ODC＋∠OCD=90°，即∠DOC=90°．故CO⊥DO．

（2）∵DA、DE与⊙O相切于点A、E，

　　∴DA=DE．∴AE⊥DO．∴∠EFO=90°．

　　同理，∠EGO=90°．又∠DOC=90°，

　　∴四边形EFOG是矩形．

点评：

　　在有关圆的问题，切线长定理与切线的性质定理的综合应用往往是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据．

例6、已知⊙O1与⊙O2的半径分别为R，r，且R≥r，r是方程x2－6x＋3=0的两根．设O1O2=d，那么：

　　①若d=7，试判定⊙O1与⊙O2的位置关系；

　　②若

，试判定⊙O1与⊙O2的位置关系；

　　③若d=5，试判定⊙O1与⊙O2的位置关系；

　　④若两圆相切，求d的值．

解：

　　∵R、r是方程x2－6x＋3=0的两根，

　　∴R＋r=6，R·r=3．

　　∴

．

（1）∵d=7，即d＞R＋r，∴两圆外离．

（2）∵

，即d＜R－r，∴两圆内含．

　　（3）∵d=5，即R－r＜d＜R＋r，∴两圆相交．

　　（4）要使⊙O1与⊙O2相切，则d=R＋r或d=R－r，

　　∴d=6或

时，两圆相切．

点拨：

　　由两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系知，应先分别求出R＋r、R－r，然后再比较d与R＋r、R－r的大小从而作出判断．

例7、已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且O2点在⊙O1上．

（1）如图

（1），AD是⊙O2的直径，连结DB，并延长交⊙O1于C．求证：

CO2⊥AD．

（2）如图

（2），如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在的直线是否与AD垂直？

证明你的结论．

证明：

（1）连结AB，则有∠AO2C=∠ABC=180°－∠ABD=90°，∴CO2⊥AD．

（2）作直径AD1交⊙O2于D1，连结D1B并延长交⊙O1于C1．

　　由第

（1）问知：

∠AO2C1=90°，∴∠AD1B＋∠BC1O2=90°．

　　在⊙O2中，∠AD1B=∠ADB；在⊙O1中，∠BC1O2=∠BCO2．

　　∴∠ADB＋∠BCO2=90°．∴CE⊥AD．

点拨：

　　解决此类问题，关键是要找出一般与特殊的关系，在图形变换中，要找出不变量．