滕州市西岗中学 杨秋莉第六章《回顾与思考》.docx

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滕州市西岗中学杨秋莉第六章《回顾与思考》

回顾与思考

课题：

回顾与思考

课型：

复习

授课人：

杨秋莉

授课时间：

2013年6月14日

教学目标

1.证明的必要性，了解证明的书写格式，了解定义、命题、公理和定理的含义.

2.通过回顾与思考，进一步理解掌握平行线的性质定理和判定定理，并会灵活应用.

3.通过回顾与思考，进一步理解掌握三角形内角和定理及推论，并会灵活应用.

教学重点

1.平行线的性质定理和判定定理的应用.

2.三角形内角和定理及其推论的应用.

3.证明的步骤及书写格式.

教学难点

证明过程的书写.

教学方法

自学，小组讨论法.

教具准备

多媒体课件实物投影

教学过程

一、巧设问题情境，引入课题

师：

前面几节课我们探讨了第六章“证明”，在教学中为什么要证明？

如何证明呢？

今天我们就来对此进行回顾与思考.

二、回顾与思考

师：

同学们先独立思考下列问题，然后以小组为单位进行讨论，共同回顾本章的内容.

1.直观是重要的，但它有时也会欺骗人，你还能找到这样的例子吗？

2.请你用自己的语言说一说什么叫定义、命题、公理和定理.

3.什么条件下两条直线平行？

两条直线平行又会怎样？

这两类命题的条件和结论有什么关系？

你会证明它们吗？

4.三角形内角和定理怎样证明？

三角形的外角与内角有什么关系？

5.请你用自己的语言说一说证明的基本步骤.

（学生通过讨论、归纳、举例、一个一个问题解决）

生1：

如：

两棵一样高的树，但相距很远，当你站在其中一棵树旁边时，显得它很高，而另一棵较低.

图1

生2：

又如图1：

直观看，图1

（1）长，图1

（2）短，实际上是一样长的.……

（学生举出了许多生活中的实例，说明直观有时也会发生错误）

生3：

定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定.

命题呢，就是判断一件事情的句子.

公理：

是人们在长期的实践中总结出来的，正确的命题.即公认的真命题.

定理是经过推理的过程得到的真命题.

生4：

在同位角相等的情况下，两直线平行；在内错角相等或同旁内角互补的情况下，两直线平行.

如果两条直线平行时，则同位角相等，内错角也相等，同旁内角是互补的.这两类命题的条件和结论正好相反.

生5：

两条直线平行的判定定理的条件是两条直线平行的性质定理的结论，它的结论又正好是两直线平行的性质定理的条件.公理也是.

师：

同学们讨论得很好，这两类命题的关系如下图（课件展示）

师：

你们会证明它们吗？

生：

会.主要利用平行线的性质公理证明其性质.利用平行线的判定公理证明判定定理.

师：

很好.接下来看问题4、5.

生1：

证明三角形内角和定理的思路是将原三角形中的三个角“凑”到一起组成一个平角.一般需要作辅助线.既可以作平行线，也可以作一个角等于三角形中的一个角.

生2：

三角形的外角与它相邻的内角是互为补角.

与它不相邻的内角关系是：

（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

生3：

证明一个命题是真命题的基本步骤是：

（1）根据题意，画出图形.

（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.

生4：

在证明时需注意：

（1）在一般情况下，分析的过程不要求写出来.

（2）证明中的每一步推理都要有根据.

师：

同学们讨论得真棒，通过分组活动，解决了具有能反映本章内容的一串问题.现在来梳理一下本章的知识结构图.（课件展示）

师：

好，下面我们通过练习来进一步熟悉掌握本章内容.

设计意图：

教师展示问题，由学生小组讨论交流，回顾本章基础知识，使学生对平行线的性质定理与判定定理、三角形内角和定理及三角形外角的性质有一个更深层次的认识，为下一步的简易的逻辑推理做好知识准备.

二、基础演练

课件展示

1.下列语句是命题的有（）

（1）两点之间线段最短；

（2）太阳从东方升起；

（3）对顶角相等；（4）明天会下雨；

（5）对应角相等的两个三角形全等

生：

抢答.

（1）

（2）（3）（4）（5）都是命题.

师:

大家看一下下一组练习

2.下列命题中哪些是真命题?

哪些是假命题?

是真命题的请写出条件与结论,若是假命题,请举出反例.

（1）同角的余角相等；

（2）同位角相等,两直线平行；

（3）若∣a∣=∣b∣,则a=b.

生1：

命题1是真命题.条件是:

两个角为同一个角的余角；结论是:

这两个角相等

生2：

（2）也是真命题.条件是:

同位角相等；结论是：

两直线平行

生3:

（3）假命题.如果a=2、b=-2，满足∣a∣=∣b∣，但2≠-2

图3.

3已知，如图3，直线a,b被直线c所截，a∥b.

求证：

∠1+∠2=180°

生4：

（板演）证明：

∵a∥b（已知）

∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵∠3=∠2（对顶角相等）

∴∠1+∠2=180°（等量代换）

图4

4.已知，如图4，∠1+∠2=180°,

求证：

∠3=∠4.

生5：

（板演）证明：

∵∠2=∠5（对顶角相等）

∠1+∠2=180°（已知）

∴∠1+∠5=180°（等量代换）

∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）

∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）

师:

大家看下面几个题如何解决？

5.回答下列问题

（1）三角形的一个内角一定小于180°吗？

一定小于90°吗？

（2）一个三角形中最多有几个直角？

最多有几个钝角？

（3）一个三角形的最大角不会小于60°，为什么？

最小角不会大于多少度？

生1：

三角形的内角一定小于180°，但不一定小于90°.

生2:

一个三角形最多有一个直角,也最多只有一个钝角.

生3:

如果一个三角形的最大角小于60°，则这个三角形的三个内角的和将小于180°，所以一个三角形的最大角不会小于60°.最小角不会大于60°.

师:

为什么最大角不会小于60°?

生4:

如果最大的角小于60°,那么三个角都会小于60°,那么三个角相加就不会等于180°,与三角形内角和定理矛盾.

设计意图:

通过前面的回顾,教师初步了解学生对知识点的掌握程度,掌握以上基础习题,使学生对本章的一些基本知识,如:

定义、命题、平行线的性质定理与判定定理、三角形的内角和定理及三角形外角的性质等概念有一个更清楚的认识，利用难度不大的习题让学生练习，便于发现学生基础知识的不足之处，根据学生的掌握情况教师可再出现部分类似的练习提供学生练习.

三、例题解析能力提升

例：

已知，如图，在△ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G，求证：

∠EGH>∠ADE.

证明：

∵DE∥BC（已知）

∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等）

∵∠EGH是△FBG的一个外角（已知）

∴∠EGH>∠B（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∴∠EGH>∠ADE（等量代换）

巩固训练

已知：

如图，在△ABC中，AB>AC,E、F是边AB、AC上的点，且∠AEF=∠AFE

线段EF的延长线与BC的延长线相交于D点.

求证:

∠D=

（∠ACB-∠B）

生:

以小组为单位,讨论分析.

生:

板书证明过程.

∵∠ACB是△FCD的一个外角（已知）

∴∠ACB=∠D+∠DFC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

∴∠DFC=∠ACB﹣∠D

∵∠DFC=∠AFE（对顶角相等）

∴∠AFE=∠ACB﹣∠D（等量代换）

又∵∠AEF是△ABC的一个外角（已知）

∴∠AEF=∠D+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

又∵∠AEF=∠AFE（已知）

∴∠D+∠B=∠ACB﹣∠D（等量代换）

∴∠D=

（∠ACB-∠B）

设计意图：

通过对此题的分析和证明，让学生体会某些不等关系的递推与论证过程，加深对三角形内角和定理的推论的理解与应用.

例2已知，如图5，直线AB∥ED.

求证：

∠ABC+∠CDE=∠BCD.

（1）

（2）

图5

师:

引导学生利用多种证法解决本题.

生:

板书

证法一：

（如图6－75

（1））过点C作CF∥AB.

∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥ED（已知）

∴ED∥CF（两直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行）

∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等）

∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC（等式性质）

即：

∠BCD=∠ABC+∠CDE

教师引导学生利用其他方法证明.（课件展示）

证法二：

（如图6－75

（2）），延长BC交DE于F点

∵AB∥DE（已知）

∴∠ABC=∠CFD（两直线平行，内错角相等）

∵∠BCD是△CDF的一个外角（已知）

∴∠BCD=∠CFD+∠CDE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）

∴∠BCD=∠ABC+∠CDE（等量代换）

生:

实物展示第三种证法过程

连结BD（如下图）

∵AB∥ED（已知）

∴∠EDB+∠ABD=180°（两直线平行，同旁内角互补）

又∵∠ABD=∠ABC+∠CBD

∠EDB=∠EDC+∠CDB

∴∠EDB+∠ABD=∠EDC+∠CDB+∠ABC+∠CBD=180°（等量代换）

即：

∠EDC+∠CDB+∠ABC+∠CBD=180°

∴∠EDC+∠ABC=180°-（∠CDB+∠CBD）（等式性质）

又在△ABC中，∠C+∠CDB+∠CBD=180°（三角形内角和等于180°）

∴∠C=180°-（∠CDB+∠CBD）（等式性质）

∴∠C=∠EDC+∠ABC（等量代换）

设计意图：

学生在进行了一些必要的知识准备之后，有必要对学生简单的几何证明题的训练，从而培养学生的逻辑思维能力和推理能力，此题辅助线的添加让题目“柳暗花明”，而添加不同的辅助线展示了学生不同的思考方法，可以很好地培养学生多方位、多角度的解决问题的能力.

巩固训练

1.已知，如图，AB∥CD，若∠ABE=130°,∠CDE=152°,则∠BED=___

_

______.

生:

独立完成

生1:

添加辅助线EF∥AB∥CD,将两平行线的三个角转化成两对互补的同旁内角,所以可得

∠ABE+∠CDE+∠BED=360°就可得出∠BED的度数.

生2:

连结BD,构造△BDE,借助三角形内角和和平行线被截出的同旁内角.

师:

引导学生板书计算过程.

（实物展示）

2.已知：

如图，AB∥CD，请你观察∠E、∠B、∠D之间有什么关系，

并证明你所得的结论．

（生独立完成）

设计意图:

通过这两个练习，巩固加深理解平行线带有折点的题，加深学生知识系统、深刻地认识.

四、拓展训练

1.在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，交于P点，已知∠A=80°，求∠P的度数.

生：

独立完成.通过计算得出结论:

∠P=130°即：

∠P=90°+

∠A

师：

可引导学生思考，如果BP、CP不是△ABC的角平分线，而是三角形内部任意的两条相交的线段，该又有什么结论？

∠P=∠A+∠ABP+∠ACP

2.如图,若CP为△ABC外角的平分线,其他条件不变,求∠P的度数.

生：

板书

∵∠PCD是△PBC的一个外角（已知）

∴∠PCD=∠P+∠PBC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

即：

∠P=∠PCD-PBC（等式的性质）

∵BP、CP分别是∠ABC、∠ACD的角平分线（已知）

∴∠PBC=

∠ABC,∠PCD=

∠ACD（角平分线的定义）

∴∠P=

∠ACD-

∠ABC=

（∠ACD-∠ABC）（等量代换）

又∵∠ACD是△ABC的一个外角（已知）

∴∠ACD=∠A+∠ABC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

∴∠A=∠ACD-ABC（等式的性质）

∴∠P=

∠A（等量代换）

3如图，.BP、CP分别是△ABC的外角平分线，其他条件不变，求∠P的度数.

生：

独立完成∠P=90°-

∠A

4.通过以上练习,你能发现∠P与∠A的关系吗?

设计意图:

本题是把课本习题进行拓展练习,把教材中只有两个内角的平分线,扩展到一个内角和一个外角以及两个外角的角平分线,让学生寻找∠P与∠A的关系.通过习题训练让学生对知识有更系统、更深刻的认识,解决道习题用到角平分线的定义与三角内角和定理及外角的性质.通过第4问,在解决问题后,把所获得结论推广到一般情况,能够培养学生对所有知识的归纳总结的能力.

五、课时小结

师：

本节课我们复习了第六章“证明

（一）”的主要内容.大家总结一下都有哪些？

生1：

掌握证明的基本步骤.

生2：

要会灵活添加辅助线，把条件和结论联系起来.

生3:

要会应用平行线的性质及判定,还有三角形的内角和定理、推论来解决一些证明、计算问题.

生4：

通过练习，知道了几个与角平分线有关的结论.

六、课后作业

（必做）课本P205复习题数学理解13、14

（选做）助学

七、达标测试

1．下列语句中，是命题的是（）

A、两点确定一条直线吗？

B、在线段AB上任取一点

C、作∠A的平分线AMD、两个锐角的和大于直角

2．下列命题中，假命题是（）

A、垂直于同一条直线的两直线平行B、已知直线a、b、c，若a⊥b,a∥c,则b⊥c,

C、同位角相等，两直线平行D、一个角的补角大于这个角

3、如图：

下列条件能说明AD∥BC的是（）.

A．∠A=∠CB.∠B=∠DC．∠B=∠CD.∠A+∠B=1800

4、如图，∠1=∠2=450，∠3=700，则∠4=（）.

A．700B．1100C．450D．1350

5、如图，直线a、b都于直线c相交，下列条件中，能判断a∥b的条件是（）.

①∠1=∠2②∠3=∠6③∠2=∠8④∠5+∠8=1800

A．①③B.①②④C.①③④D.②③④

6、如图，两直线AB、CD被直线EF所截，∠1=700，下列结论正确的是（）.

A．若∠2=700，则AB∥CDB．若∠5=700，则AB∥CD

C．若∠3=1100，则AB∥CDD．若∠4=700，则AB∥CD

7.如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（）.

A.相等B.互余或互补

C.互补D.相等或互补

8.如右图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（）.

A.∠3=∠4B.∠1=∠2

C.∠B=∠DCED.∠D+∠DAB=180°

9．如图，将一个等腰三角形纸片△ABC,沿直线DE剪开，得到∠1与∠2，若底角∠A=50°，则∠1+∠2的大小为（）

A.130°B.230°C180°D.310°

10．如图是跷跷板的示意图，支柱0C与地面垂直，点O是横板AB的中点，AB可以绕着点O上下转动，当A端落地时，∠OAC=20°,横板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（）

A.80°B.60°C.40°D.20°

11．如图，∠1+∠2+∠3+∠4＝________度

12．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,则∠B=______

13．把“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是______________________________________

14．填写推理的依据：

已知：

如图，∠ADC=∠ABC,BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC,且∠1=∠2，

求证：

∠A=∠C.

证明：

∵BE,DF分别平分∠ABC,∠ACD（已知）

∴∠1＝∠ABC,∠3=∠ADC（）

∵∠ABC=∠ADC（已知）

∴（）

∴∠1＝∠3（）

∵∠1＝∠2（已知）

∴∠2＝∠3（）

∴（）∥（）（）

∴∠A＋∠_______＝180º,∠C＋∠______＝180º（）

∴∠A＝∠C（等量代换）

.15.如图，BE∥DF，∠B=∠D，求证：

AD∥BC.

设计意图:

设计此部分练习,使学生学有所用,为了了解学生所学知识有立竿见影的效果,通过练习,培养学生多角度、多层次思维能力的形式，鼓励学生主动探索，自主学习，使学生初步尝试成功的喜悦，同时让学生的问题及时得到纠正.

活动与探究

图6－76

1.已知，如图6－76，∠B=32°,∠D=38°,AM、CM分别平分∠BAD、∠BCD，求∠M的度数.

你能把它一般化吗？

你会证明如下结论吗？

AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD.

求证：

∠M=

（∠B+∠D）

［过程］让学生在探索的活动过程中，体会由特殊到一般的过程.培养他们分析、综合、归纳的能力.

［结果］解：

∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD.

∴∠BAM=

∠BAD，∠MCB=

∠BCD.

∵∠B+∠BAD+∠AFB=180°

∠D+∠BCD+∠DFC=180°

∠AFB=∠DFC

∴∠B+∠DAB=∠D+∠BCD

∴∠DAB－∠BCD=∠D－∠B

∵∠BEM=∠M+∠BCM，

∠BEM=∠B+∠BAM

∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM

∴∠M=∠B+∠BAM－∠BCM

=∠B+

（∠DAB－∠BCD）

=∠B+

（∠D－∠B）

=

（∠B+∠D）

∵∠B=32°∠D=38°

∴∠M=

（32°+38°）=35°

八、板书设计

回顾与思考

知识结构图

例题解析

例：

已知，如图，在△ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G，求证：

∠EGH>∠ADE.

例2已知，如图5，直线AB∥ED.

求证：

∠ABC+∠CDE=∠BCD.

九、教后反思

本节课的教学是在学生对本章知识已基本了解的基础上,把学生头脑中的知识点系统化、条理化,形成一个知识网络.因此采用先由小组讨论、交流、归纳所学知识，然后教师展示知识网络的方法，以加深印象.这样做一则可以让学生先疏通知识,培养学生独立梳理知识的能力；二则可以让学生查缺补漏,有利于对知识的巩固，接着通过不同层次的习题练习，首先达到对基础知识的巩固，然后是对重点知识的加强训练.通过练习,使学生能够很好地掌握重点知识,培养学生灵活应用所学知识解决问题的能力.

成功之处:

条理清楚,层次分明,教材挖掘详尽,主要表现在:

1.先由学生复习全章知识,讨论总结本章的知识网络,能更好地检测学生对基础知识的掌握情况,然后在配有一些基础的练习题,更能查缺补漏.

2.通过例题将本章的重点立即呈现给学生,并通过学生的板演、教师课件展示及学生实物展示证明过程等多种形式检验学生证明过程的完整性，规范证明过程,培养学生的逻辑推理能力.

3.最后难度加大,通过习题的变式练习,给学生充分的思考空间,发展学生合理的推理能力,提高全面解决问题的能力.

不足之处:

1.练习量有点大,后面的达标测试没处理完.时间安排有些前松后紧.

2.关于外角的练习,部分学生还有点困难,还需加强练习,掌握解题的关键.