函数的奇偶性与周期性知识点与题型归纳docx.docx
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●高考明方向
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
★备考知考情
1.对函数奇偶性的考查,主要涉及函数奇偶性的判断,利
用奇偶函数图象的特点解决相关问题,利用函数奇偶性求函数值,根据函数奇偶性求参数值等.
2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题.
3.多以选择题、填空题的形式出现.
一、知识梳理《名师一号》P18
注意:
研究函数奇偶性必须先求函数的定义域
知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征
1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,
都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
1
3.奇函数的图象关于原点对称;
偶函数的图象关于y轴对称.
知识点二奇函数、偶函数的性质
1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
2.
若f(x)是奇函数,且在x=0
处有定义,则f(0)0.
3.
若f(x)为偶函数,则f(x)
f(x)f(|x|).
《名师一号》P19问题探究问题1
奇函数与偶函数的定义域有什么特点?
(1)判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
(2)判断函数f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个x,均有f(-x)=-f(x)、f(-x)=f(x),
而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0)、f(-x0)=f(x0).
(补充)
1、若奇函数f(x)的定义域包含0,则f(0)0.
f(0)0是f(x)为奇函数的
既不充分也不必要条件
2.判断函数的奇偶性的方法
(1)定义法:
1)首先要研究函数的定义域,
2
2)其次要考虑
f
x
与f
x
的关系,
也可以用定义的等价形式:
f(x)
f(
x)
0(对数型函数用),
f(x)
1(指数型函数用).
f(x)
3)分段函数应分段讨论
(2)图象法:
利用奇偶函数图象的对称性来判断.
(3)复合函数奇偶性的判断
若复合函数由若干个函数复合而成,则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定,概括为“同奇为奇,一偶则偶”.
注意:
证明函数的奇偶性的方法只有定义法
知识点三函数的周期性
1.周期函数:
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称非零常数T为这个函数的周期.
2.最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
并不是任何周期函数都有最小正周期,
如常量函数f(x)a(xR);
3
3.几个重要的推论
(1)《名师一号》P19问题探究
问题3
若函数f(x)恒满足f(x
a)
f(x)(a0),
则f(x)是周期函数,
2a
是它的一个周期;
若函数f(x)恒满足f(x
a)
1
(a0),
f(x)
则f(x)是周期函数,
2a是它的一个周期;
若函数f(x)恒满足f(x
a)
1
(a0),
f(x)
则f(x)是周期函数,
2a是它的一个周期;
(补充)若函数f(x)恒满足f(x
a)
f(xb),
则f(x)是周期函数,ab是它的一个周期;
(2)(补充)注意区分:
若f(a
x)f(a
x)(或f(x)f(2a
x))
则函数
f(x)关于x
a对称。
若f(x)
f(2a
x)
则函数f(x)关于点
a,0
对称。
推广:
若函数f(x)恒满足f(a
x)
f(b
x)
则f(x)图象的对称轴为
a
b
x
2
。
4
(3)(补充)
已知奇函数fx的图象关于直线xa对称,
则fx是周期函数,且4a为其中的一个周期若偶函数fx的图象关于直线xa对称,
则fx是周期函数,且2a为其中的一个周期
二、例题分析:
(一)证明(判断)函数的奇偶性
例1.(补充)
判断下列函数的奇偶性.
2+x
(1)f(x)=(2-x)2-x.
x+2x<-1
(2)f(x)=0|x|≤1.
-x+2
x>1
1
1
(a>0且a≠1)
(3)f(x)=ax-1+2
解析:
2+x
(1)由2-x≥0得定义域为[-2,2),关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数.
5
(2)x<-1时,-x>1,∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).
x>1时,-x<-1,f(-x)=-x+2=f(x).
-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1,f(-x)=0=f(x).
∴对定义域内的每个x都有f(-x)=f(x).
因此f(x)是偶函数.
(3)∵f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},
其定义域关于原点对称,并且有
f(-x)=
1
1
1
1
ax
1
-x-1+
2=
1
+2=
-x+2
a
ax-1
1
a
-x
-
1
1
a
1=-1+
1
x+1
=-
x
+
1-a
2
1-a
2
1
1
=-ax-1+
2
=-f(x).
即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
9
x2
(
)
(4)(补充)函数y
的图象关于
|x4|
|x3|
A.x轴对称
B.y轴对称
C.原点对称
D.直线xy0对称
答案:
B
6
注意:
(补充)
1.如何判断函数奇偶性:
第一,求函数定义域,看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称,则该函数为非奇非偶函数.
第二,若定义域关于原点对称,函数表达式能化简的,则对函数进行适当的化简,以便于判断,化简时要保持定义域不改变;
第三,利用定义进行等价变形判断.
第四,分段函数应分段讨论,要注意据x的范围取相应的函数表达式或利用图象判断.
2.分段函数
(2)判断奇偶性画图判断更方便直观.
(3)验证f(-x)+f(x)=0更方便些.
温故知新P13知识辨析2
(1)
(2)
(1)
f(x)
log2
x
x2
1
既不是奇函数也不是偶函数(
)
(2)
f(x)
x1
1
x
是偶函数(
)
1
x
答案:
(1)奇函数
(2)非奇非偶
注意:
1、关注定义域
2、利用函数奇偶性定义的等价形式:
7
f(x)f(x)0(对数型函数用),
f(x)
1(指数型函数用)
f(x)
练习:
(补充)判断下列函数的奇偶性.
lg1x2
(1)f(x)
x
2
2
(2)
f(x)
x2
x
x
0
x2
x
x
0
(3)
f(x)
3
x2
x2
3
(4)
f(x)
x2
x
a
2
(5)
f(x)
2x
1
2x
1
答案:
(1)奇
(2)偶
(3)既奇又偶
(4)a0
偶;a
0非奇非偶
f(a)
fa
f(a)
f
a
0
注意:
否定函数奇偶性:
只须说明在定义域D中,
x0D,使f(x0)fx0
(5)证明:
函数fx的定义域为R,
8
且f(x)
2x
1
2
,所以
2x
1
2x
1
1
f(x)
f(x)(1
2
)(1
2
2
2
)
x
x
)2(
2
x
1
2
x
2
1
2
1
1
2(
2
2
2x
2(2x
1)
x
1
2
x
)2
2
x
220.
2
1
1
即f(x)f(x),所以f(x)是奇函数.
(二)函数奇偶性的应用
1、已知函数奇偶性,求值
例1.
(1)《名师一号》P19对点自测4
(2)
1
已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2
+x
,
则f(-1)=-2.(
)
例1.
(2)(补充)已知函数f(x)
lg1
x,
1
x
若f(a)
1,则f(
a)等于(
)
.1
1
2
A
B.
C.2
D.
2
2
2
9
答案:
B
注意:
(补充)
(1)一般关于f(a)与f(a)的值或关系的问题
首先考虑奇偶性。
(2)已知函数的奇偶性注意利用
f
x与f
x
的关系
温故知新P23第3题
(2013辽宁)已知函数f(x)log2
19x2
3x1,
则f(lg2)
f(lg1)
2
《名师一号》P19变式思考1
(2)
f(x)
x2
x1,若fa
2,则f
a
x2
1
3
练习:
(补充)
已知f(x)
ax7
bx5
cx3
dx
5,其中a,b,c,d为常数,
若f(7)
7
,则
f(7)
_______
答案:
17
10
2、已知函数奇偶性,求参数的值或取值范围
例1.《名师一号》P19
对点自测3
已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,
那么a+b的值是(
)
1
1
1
1
A.-3
B.3
C.2
D.-
2
解析依题意b=0,且2a=-(a-1),
∴b=0且
1
a=3,则
1
a+b=3.
例2.《名师一号》P20
特色专题
典例
(1)
k-2x
若函数f(x)=1+k·2x在定义域上为奇函数,则实数k=___.
【规范解答】
∵f(-x)=
k-2-x
k·2x-1
-x=
x
+k
,
1+k·2
2
∴f(-x)+f(x)
k-2x
2x+k+
k·2x-1
·1+k·2x
=
1+k·2x
2x+k
11
k2-122x+1
=1+k·2x2x+k.
由f(-x)+f(x)=0可得k2=1,∴k=±1.
注意:
本例易忽视函数f(x)的定义域,
直接通过计算f(0)=0得k=1.
注意:
1、利用函数奇偶性的定义:
fx
与f
x的关系,
也可以用定义的等价形式:
f(x)
f(x)0(对数型函数用),
f(x)
f(
1(指数型函数用)
x)
2、利用特殊值f(a)与f(a)的关系
得到关于待求参数的方程(组)求得参数再利用奇偶性的定义证明
切记:
若奇函数f(x)的定义域包含0,则f(0)0.
f(0)0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件
练习:
(补充)
1、已知f(x)ax2bx3ab是偶函数,定义域为
12
[a1,2a].则a,b
解:
函数是偶函数,所以定义域关于原点对称.
∴a1
2aa
1,b0
3
、设函数
x+1
x+a为奇函数,则a=__
2
f(x)=
x
分析:
∵f(x)为奇函数,定义域为{x|x∈R且x≠0},故对?
x∈R且x≠0有f(-x)=-f(x),从而可取某个特殊值(例如x=1)求解
解析:
∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f
(1),
∴a=-1.
须检验!
法二:
由定义求解
对?
x∈R且x≠0有f(-x)=-f(x)恒成立
答案:
-1
3.定义在(1,1)上的奇函数f(x)
x
m
2
,
x
nx1
则常数m____,n_____。
13
答案:
m
0;n0.
3、已知函数奇偶性,求解析式
例1.《名师一号》P20变式思考2
(2)
已知函数y
f(x)在R是奇函数,且当x
0时,
f(x)x2
x
,则f(x)的解析式为________
x2
x,x
0
答案:
f(x)0,x
0
x2
x,x
0
例2.(补充)
设f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,若f(x)-g(x)=12x,比较f
(1)、g(0)、g(-2)的大小________.
分析:
奇偶性讨论的就是f(-x)与f(x)的关系,如果
题目中涉及x与-x的函数值之间的关系,一般考虑用奇
14
偶性解决.如果告诉了函数的奇偶性,应从f(-x)=±f(x)入手.
解析:
∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
∴f(-x)-g(-x)=
1-x,即-f(x)-g(x)=2x.
2
2-x-2x
fx-gx=2-x
∴
fx=
,∴
2
-fx-gx=2x
2x+2-x
gx=-
2
3
17
∴f
(1)=-
4,g(0)
=-1,g(-2)=-
8
,
∴g(-2) (1). 注意: 已知函数的奇偶性注意利用fx与fx的关系 计时双基练P220培优3 (三)抽象函数奇偶性 例1.(补充)若函数f(x)是定义在R上的奇函数, 则函数F(x) f(x)f(x)的图象关于( ) A.x轴对称 B.y轴对称 C.原点对称 D.以上均不对 15 答案: B 注意: 抽象函数奇偶性应立足定义, 即从考虑fx与fx的关系入手 例2.(补充)定义在R上的函数y=f(x), 对任意实数x1、x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),判断函数y=f(x)的奇偶性,并证明. 解析: 令x1=x2=0得,f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. 令x1=x,x2=-x得,f(0)=f(x)+f(-x)∴f(-x)+f(x)=0,∴f(x)是奇函数. 注意: (补充) 抽象函数奇偶性、单调性判断(证明)均立足定义 1、抽象函数奇偶性判断(证明) 赋值法,从考虑fx与fx的关系入手 2、抽象函数的单调性判断(证明) 赋值法,在指定区间内任取x1x2, 从考虑f(x1)、f(x2)的大小关系入手 16 3、解决抽象函数时常可参照具体的模型函数来发现其性质或寻找思路,但绝对不能以具体的特殊函数来代替抽象的一般函数进行推理 抽象函数关系式相应的模型函数 f(xy)f(x)f(y) f(xy)f(x)f(y) f(xy)f(x)f(y) f(x) kx f(x) ax(a 0,a 1) f(x) loga x(a 0,a1) x f(x) f(y) f() y f(x y)f(x y) 2f(x)f(y) f(xy) f(x) f(y) f(x f(x) f(y) y) f(x)f(y) 1 f(x) logax(a0,a1) f(x) cosx f(x) xn f(x) tanx 练习: (补充) 1、已知函数f(x),当x、y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证: f(x)是奇函数; 1 (2)如果x>0时,f(x)<0,并且f (1)=-2,试求f(x)在区间[-2,6]上的最值. 17 解析: (1)证明: ∵函数定义域为R,∴在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y=-x得, ∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0. ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)解: 设x1 则f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1) =f(x2)-f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0. 即f(x)在R上单调递减. 从而f(x)在[-2,6]上为减函数.∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值. 1 ∵f (1)=-2,∴f (2)=f (1)+f (1)=-1,∴f(-2)=-f (2)=1, f(6)=2f(3)=2[f (1)+f (2)]=-3. ∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3. 2、已知函数y=f(x)对任意x、y∈R,均有 2 f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f (1)=-. 3 (1)判断并证明f(x)在R上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最值. 18 解析: (1)f(x)在R上是单调递减函数证明如下: 令x=y=0,∴f(0)=0,令y=-x可得: f(-x)=-f(x), 在R上任取x1、x2且x1 又∵x>0时,f(x)<0, ∴f(x2-x1)<0,即f(x2) 由定义可知f(x)在R上为单调递减函数. (2)∵f(x)在R上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数.∴f(-3)最大,f(3)最小.f(3)=f (2)+f (1)=f (1)+f (1)+f (1) =3×2=-2. 3 ∴f(-3)=-f(3)=2. 即f(x)在[-3,3]上最大值为2,最小值为-2. (四)函数的周期性 例1.《名师一号》P19 对点自测 5 已知定义在 R上的函数 f(x)满足 3 f(x)=-fx+2,且 f (1)=2,则 f(2014)=________. 19 3 解析∵f(x)=-f x+2 , ∴f(x+3)=f x+3 +3
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