45机械能守恒动能定理知识点例题详解.docx

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45机械能守恒动能定理知识点例题详解

第七章机械能翰林汇翰林汇翰林汇翰林汇diliu机械

大纲要求：

1．功、功率Ⅱ

2．动能、做功与动能改变的关系Ⅱ

3．重力势能、重力做功与重力势能改变的关系Ⅱ

4．弹性势能Ⅰ

5．机械能守恒定律Ⅱ

6．动量知识和机械能知识的应用（包括碰撞、反冲、火箭）Ⅱ

7．航天技术的发展和宇宙航行Ⅰ

知识网络：

单元切块：

按照考纲的要求，本章内容可以分成四个单元，即：

功和功率；动能、势能、动能定理；机械能守恒定律及其应用；功能关系动量能量综合。

其中重点是对动能定理、机械能守恒定律的理解，能够熟练运用动能定理、机械能守恒定律分析解决力学问题。

难点是动量能量综合应用问题。

§1功和功率

知识目标

一、功的概念

1、定义：

力和力的作用点通过位移的乘积．

2.做功的两个必要因素：

力和物体在力的方向上的位移

3、公式：

W＝FScosα（α为F与s的夹角）．

说明：

恒力做功大小只与F、s、α这三个量有关．与物体是否还受其他力、物体运动的速度、加速度等其他因素无关，也与物体运动的路径无关．

4.单位：

焦耳（J）1J＝1N·m.

5.物理意义：

表示力在空间上的积累效应，是能的转化的量度

6.功是标量，没有方向，但是有正负．正功表示动力做功，负功表示阻力做功，功的正负表示能的转移方向．

①当0≤a＜900时W＞0，力对物体做正功；

②当α=900时W＝0，力对物体不做功；

③当900＜α≤1800时W＜0，力对物体做负功或说成物脚体克服这个力做功，这两种说法是从二个角度来描述同一个问题．

二、注意的几个问题

①F：

当F是恒力时，我们可用公式W＝Fscosθ运算；当F大小不变而方向变化时，分段求力做的功；当F的方向不变而大小变化时，不能用W＝Fscosθ公式运算（因数学知识的原因），我们只能用动能定理求力做的功．

②S：

是力的作用点通过的位移，用物体通过的位移来表述时，在许多问题上学生往往会产生一些错觉，在后面的练习中会认识到这一点，另外位移S应当弄清是相对哪一个参照物的位移

③功是过程量：

即做功必定对应一个过程（位移），应明确是哪个力在哪一过程中的功．

④什么力做功：

在研究问题时，必须弄明白是什么力做的功．如图所示，在力F作用下物体匀速通过位移S则力做功FScosθ，重力做功为零，支持力做功为零，摩擦力做功－Fscosθ，合外力做功为零．

【例1】如图所示，在恒力F的作用下，物体通过的位移为S，则力F做的功为

解析：

力F做功W＝2Fs．此情况物体虽然通过位移为S．但力的作用点通过的位移为2S，所以力做功为2FS．答案：

2Fs

【例2】如图所示，质量为m的物体，静止在倾角为α的粗糙的斜面体上，当两者一起向右匀速直线运动，位移为S时，斜面对物体m的弹力做的功是多少？

物体m所受重力做的功是多少？

摩擦力做功多少？

斜面对物体m做功多少？

解析：

物体m受力如图所示，m有沿斜面下滑的趋势，f为静摩擦力，位移S的方向同速度v的方向．弹力N对m做的功W1＝N·scos（900＋α）＝－mgscosαsinα，重力G对m做的功W2＝G·scos900=0．摩擦力f对m做的功W3=fscosα=mgscosαsinα．斜面对m的作用力即N和f的合力，方向竖直向上，大小等于mg（m处于平衡状态），则：

w＝F合scos900＝mgscos900＝o

答案：

－mgscosαsinα，0，mgscosαsinα，0

点评：

求功，必须清楚地知道是哪个力的功，应正确地画出力、位移，再求力的功．

【例3】如图所示，把A、B两球由图示位置同时由静止释放（绳开始时拉直），则在两球向左下摆动时．下列说法正确的是

A、绳子OA对A球做正功

B、绳子AB对B球不做功

C、绳子AB对A球做负功

D、绳子AB对B球做正功

解析：

由于O点不动，A球绕O点做圆周运动，OA对球A不做功。

对于AB段，我们可以想象，当摆角较小时．可以看成两个摆长不等的单摆，由单摆的周期公式就可以看出，A摆将先回到平衡位置．B摆将落后于A摆，AB绳对A球做负功，对B球做正功。

答案：

CD

扩展与研究：

一个力对物体做不做功，是正功还是负功，判断的方法是：

①看力与位移之间夹角，或者看力与速度方向之间的夹角：

为锐角时，力对物体做正功，在上例中AB的拉力与B球的速度方向就是锐角；为钝角时，力对物体做负功，上例中AB的拉力与A球的速度方向就是钝角。

为直角时，力对物体不做功，上例中OA与A球的拉力与A球速度方向就是直角。

②看物体间是否有能量转化。

若有能量转化，则必定有力做功。

此法常用于相连的物体做曲线运动的情况。

规律方法

1、功的计算方法

1.由公式W=Fscosα求解

两种处理办法：

①W等于力F乘以物体在力F方向上的分位移scosα,即将物体的位移分解为沿F方向上和垂直F方向上的两个分位移s1和s2，则F做的功W＝Fs1＝Fscosα.

②W等于力F在位移s方向上的分力Fcosα乘以物体的位移s，即将力F分解为沿s方向和垂直s方向的两个分力F1和F2，则F做功W=F1s＝Fcosαs.

注意：

这种方法只能用来计算恒力做功（轨迹可以是直线也可以是曲线）

【例】如图所示，带有光滑斜面的物体B放在水平地面上，斜面底端有一重G=2N的金属块A，斜面高

，倾角α＝600，用一水平推力F推A，在将A从底端推到顶端的过程中,A和B都做匀速运动，且B运动距离L=30cm，求此过程中力F所做的功和金属块克服斜面支持力所做的功．

解析：

此题应先求出两个力的大小，再由公式W＝Fscosa求解，如图所示．

由物体平衡条件：

F＝Gtanα＝2tan600＝

N，

斜面的水平宽度l=hcotα

由勾股定理得金属块A的位移

，

F与s的夹角设为α2，则

，α2=300

力F做功：

W1=Fscosα2=

或.W1=Fscosα2=F（l+L）

FN与s的夹角α1=900＋（α一α2）＝900＋（600一300）＝1200

故克服支持力N所做的功

WN=一FNscos1200

2、多个力的总功求解

①用平行四边形定则求出合外力，再根据w＝F合scosα计算功．注意α应是合外力与位移s间的夹角．

②分别求各个外力的功：

W1＝F1scosα1，W2=F2scosα2……再求各个外力功的代数和．

【例】物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平右的恒力Fl，经ts后撤去F1，立即再对它施一水平向左的恒力F2，又经ts后物体回到原出发点，在这一点过程中，Fl、F2分别对物体做的功W1、W2间的关系是（）

A.W1=W2；B.W2＝2W1；C.W2＝3W1；D.W2=5W1；

【解析】认为F1和F2使物体在两段物理过程中经过的位移、时间都相等，故认为W1=W2而误选A;

而认为后一段过程中多运动了一段距离而误选B。

这都反映了学生缺乏一种物理思想：

那就是如何架起两段物理过程的桥梁？

很显然，这两段物理过程的联系点是“第一段过程的末速度正是第二段过程的初速度”。

由于本题虽可求出返回时的速度，但如果不注意加速度定义式中ΔV的矢量性，必然会出现错误，错误得到其结果v2＝0，而误选A,其原因就是物体的运动有折返。

解法1：

如图,A到B作用力为F1，BCD作用力为F2,由牛顿第二定律F=ma，及匀减速直线运动的位移公式S=vot－½at2,匀加速直线运动的速度公式v0=at，设向右为正，AB=S，可得：

一S＝v0t－½a2t2=（a1t）t－½a2t2，S=0＋½a1t2；∴－½a1t2=a1t2－½a2t2；即

∴F2=3F1

A到B过程F1做正功，BCB/过程F2的功抵消，B/到D过程F2做正功，即W1＝F1S,W2=F2S，∴W2＝3W1,

解法2：

设F2的方向为正方向，F1作用过程位移为S，F1对物体做正功，由动能定理：

F1S=½mv12。

在F2作用的过程中，F2的位移为一S，与F2同向，物体回到出发点时速度为v2，由动能定理得：

F2S=½mv22－½mv12。

由牛顿第二定律得

．∴v2＝2v1，∴W2＝3W1

拓展：

若该物体回到出发点时的动能为32J，则Fl、F2分别对物体做的功W1、W2是多少？

由动能定理得：

ΔEK=W1＋W2=32J，W1/W2=F1/F2，∴W1=8J；W2=24J。

3、变力做功问题

①W＝F·scosα是用来计算恒力的功，若是变力，求变力的功只有通过将变力转化为恒力，再用W＝Fscosα计算．

②有两类不同的力：

一类是与势能相关联的力，比如重力、弹簧的弹力以及电场力等，它们的功与路径无关，只与位移有关或者说只与始末点的位置有关；另一类是滑动摩擦力、空气阻力等，在曲线运动或往返运动时，这类力（大小不变）的功等于力和路程（不是位移）的积．

③根据功和能关系求变力的功．如根据势能的变化求对应的力做的功，根据动能定理求变力做的功，等等．

④根据功率恒定，求变力的功，W=Pt.

⑤求出变力F对位移的平均力来计算，当变力F是位移s的线性函数时，平均力

．

⑥作出变力F随位移，变化的图象，图象与位移轴所围均“面积”即为变力做的功．

【例】面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体木块，木块边长为a。

，密度为水密度的½，质量为m,开始时，木块静止，如图所示，现用力F将木块缓慢地压到水池底，不计摩擦，求：

（1）从木块刚好完全没人水中到停止在池底的过程中，池水势能的改变量．

（2）从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力F所做的功．

解析:

（1）木块刚好没入水中到到达池底的过程中,相当于有相同体积的水从池底到达水面,因木块的密度为水的冗长度的½,故相同体积的水的质量为2m,,故池水势能的改变量为ΔEP=2mg（H－a）;

（2）因水池面积很大,可忽略因木块压入而引起的水深的变化,木块刚好完全没入水中时,图中原来划线区域的水被排开,相当于这部分水平铺于水面,这部分水的质量为m,其势能的改变量为:

木块势能的改变量为:

根据动能定理,力F做的功为:

W=ΔE水+ΔE木=¼mga.

（2）又解：

从开始到木块完全没入水中的过程，力F所做的功为变力功．也可画出Fs图象，做功在数值上等于Fs图线与位移S轴所围图形的面积的数值，在压下木块过程中，力F与位移s成正比，从开始到完全没入水中，力F的位移为

，作出F-s图象如图,,据图象可求得做功

4、做功求解的典型情况

①注意力、冲量、功的区别

除了它们的物理定义、单位以及是标量还是矢量以外，从动力学观点来看：

（1）力和物体的运动状态的变化存在着瞬时因果关系，即力是产生加速度的原因，有力才有加速度，力变加速度变，它们之间的因果规律用牛顿第二定律来表达．

（2）力的冲量反映的是力持续在一段时间的作用效果的累积量．其结果是要引起物体动量的改变，它们之间的因果规律用动量定理来表达．（3）功是力持续作用在一段空间位移上的作用效果的累积量，是标量．其结果是要引起物体动能的改变，它们之间的因果规律用动能定理来表达．

【例4】如图所示，质量相等的两物体沿相同高度不同倾角的两光滑斜面由静止滑下，到达底端的过程中，两情况（）

A．重力冲量相等

B．重力做功相等

C．物体受合外力冲量相等

D．物体受合外力做功相等

解析：

A．重力冲量大小不相等，由于所用时间不同，因而不相等；B．重力做功相等，重力做功特点是只与始末位置而跟路径无关；C．物体所受合外力冲量大小相等，都为m

，由于∠θ≠∠α，所以方向不同；D．物体所受合外力做功相等，都为mgh．答案：

BD

②作用力和反作用力的做功

作用力与反作用力同时存在，作用力做功时，反作用力可能做功，也可能不做功，可能做正功，也可能做负功，不要以为作用力与反作用力大小相等、方向相反，就一定有作用力、反作用力的功数值相等，一正一负．所以作用力与反作用力做功不一定相等，但冲量的大小相等．

【例5】以下说法正确的是（）

A．摩擦力可以对物体做正功B．摩擦力可以使物体的速度发生变化，但对物体不做功

C．作用力与反作用力做功一定相等D．一对平衡力做功之和为零

解析：

A．摩擦力可以对物体做正功，只要摩擦力的方向与物体运动方向相同，摩擦力就做正功．摩擦力可以改变物体的速度，对物体有一个冲量作用，但物体在力的方向上没有位移，因而不做功，如随圆板一起转动的物体．由此可以认识到：

力对物体有冲量，但不一定对物体做功，相反只要力对物体做功，一定会有冲量．又可进一步认识：

力使物体动量发生变化，其动能不一定变化；但力使物体动能发生变化时，其动量一定发生变化．c．作用力与反作用力做功不一定相等，如一炸弹炸成质量为m与2m的两块，根据动量守恒mv1=2mv2，则v1=2v2，作用力和反作用力做功为W1=½m（2v2）2与W2=½mv22，所以不相等。

可认识到：

作用力和反作用力产生的冲量总是大小相等，但做功可能不相等．D．一对平衡力合力为零，所以二力合力做功为零．答案：

ABD

③摩擦力的做功

A、静摩擦力做功的特点

（1）静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

（2）在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能．

（3）相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总为零。

B．滑动摩擦力做功的特点

如图所示，上面不光滑的长木板，放在光滑的水平地面上，一小木块以速度V0从木板的左端滑上木板，当木块和木板相对静止时，木板相对地面滑动了S，小木块相对木板滑动了d，则由动能定理知：

滑动摩擦力对木块所做功为：

W木块=一f（d＋S）……①

滑动摩擦力对木板所做功为：

W木板=fs……②

所以，木块动能增量为：

ΔEK木块=一f（d＋s）……③

木板动能增量为：

ΔEK木板=fs………④

由③④得：

ΔEK木块＋ΔEK木板=一fd………⑤

⑤式表明木块和木板组成的系统的机械能的减少量等于滑动摩擦力与木块相对木板的位移的乘积。

这部分减少的能量转化为内能。

故滑动摩擦力做功有以下特点：

1）滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，当然也可以不做功。

2）一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方面：

一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能。

转化为内能的量值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积。

3）滑动摩擦力、空气摩擦阻力等，在曲线运动或往返运动时等于力和路程（不是位移）的乘积

【例6】如图所示，半径为R的孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度v0在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为μ，设从开始运动的一周内小球从A到B和从B到A的过程中摩擦力对小球做功分别为W1和W2，在这一周内摩擦力做的总功为W3，则下列关系式正确的是（）

A．W1＞W2B．W1＝W2C．W3＝0D．W3＝W1＋W2

解析：

求某一力对物体所做的功值有多种思路，对于恒力（大小、方向均不变的力）做功的情况，通常由w＝Fscosα求解．对于变力（特别是方向发生变化的力）做功的情况，一般由功能转换关系求解．对于后一种思路，一定要正确判断哪些力做功，在外力做功的过程中，物体（或系统）的能量如何发生变化，变化了多少．

小球在水平弯管内运动，滑动摩擦力始终与速度方向相反，做负功，而小球在水平面内的圆周运动的向心力是由外管壁对小球的弹力N提供的，由于转动半径R始终不变，摩擦力对小球做负功，小球运动的速率逐渐减小，向心力减小即N减小，而f＝μN，滑动摩擦力f也减小，即由下列关系：

N=Fn=mv2/Rm，R不变，v减小，则N减小，

f＝μNN减小，则f减小

W=－fπRf减小，则W减小

所以W1＞W2

W1．W2都为负功，因此W3＝W1＋W2．答案：

AD

【例7】如图所示，PQ是固定在水平桌面上的固定挡板，质量为m的小木块N从靠近P以一定的初速度向Q运动，已知物块与桌面间的动摩擦因数为μ，P与Q相距为s，物块与Q板碰撞n次后，最后静止于PQ的中点，则整个过程摩擦力所做的功为多少？

（n为自然数）

解析：

物块与Q板碰撞n次后，最后停在PQ中点，会有两种可能，一种可能是与Q板碰后向P板运动至中点而停止，设与Q板碰撞n次，则物体运动的路程为（2n一

）s，摩擦力所做的功为Wf1=μmg（2n一

）s

第二种可能是物块与Q板碰后再与P板碰撞向Q板运动至中点而停止，在这种情况下，物体运动的路程为（2n＋

）s，摩擦力所做的功为Wf2=μmg（2n＋

）s，两种情况下，摩擦力对物体均做负功。

扩展与研究：

两类不同的力，一类是与势能相关的力，如重力、弹簧的弹力、电场力等，它们的功与路程无关系，只与位移有关。

另一类是滑动摩擦力，空气阻力等，这类力做功与物体的运动路径有关。

在上例中，滑动摩擦力是一个变力，方向在变化，可转化为恒力做功，同时滑动摩擦力做功要看物体运动的路程，这是摩擦力做功的特点，必须牢记。

点评：

求功的思路共有四条:

（1）由功的定义．恒力做功；

（2）由能量关系求解；（3）由功率的定义；（4）由动能定理求解．

§2功率

知识目标

一、功率的定义:

功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率，它表示物体做功的快慢．

二、单位：

瓦（w），千瓦（kw）；

三、标量

四、公式:

P＝W／t＝Fv

1．P＝W／t所求的是这段时间内平均功率．

2．P＝Fv当v为平均值时为平均功率，当v为即时值时为即时功率．

3．P＝Fv应用时，F、v必须同向，否则应分解F或v，使二者同向．这里的P=Fv实际上是Fvcosθ、θ为F、v夹角．

4．我们处理问题时必须清楚是哪一个力的功率，如一个机械的功率为P，这里指的是牵引力的功率，不可认为是机械所受合外力的功率．

五、发动机铭牌上的功率，是额定功率，也就是说该机正常运行时的最大输出功率，该机工作时输出功率要小于或等于此值．

规律方法

1、功率的计算方法

【例1】如图所示，质量为lkg的物体与平面间摩擦系数μ=0．l（g取10m／s2），在2N水平拉力作用下由静止开始运动了2s，求这段时间内拉力、摩擦力、重力、支持力的平均功率及2s末的即时功率各为多少？

解析：

a=

=1m／s2．s＝½at2＝2m．v＝at＝2m/s

外力F做功功率．平均值为：

p1＝W/t=Fs/t=2W2s末即时功率为：

P1/=Fv＝4W

摩擦力做功功率．平均值：

P2=fs/t=1W2s末即时功率为：

P2/=fv=2W

重力与支持力N由P=Fvcosθ知：

功率都为0．

答案：

外力F平均功率和即时功率分别为2W、4W；摩擦力平均功率和即时功率分别为1W、2W；重力和支持力功率都为0．

点评：

（1）明确是什么力做功功率；

（2）清楚是平均功率还是即时功率．

【例2】如图所示，质量为m的物体沿高为h的光滑斜面滑下到达底端时重力的即时功率为多少？

错解：

由机械能守恒定律可知到达底端速度v=

，所以此时功率P＝mgv=mg

：

提示：

这里没有注意到mg与v的夹角，应当为P=mgsinθ

点评：

做题时注意力跟速度的夹角．

【例3】一个小孩站在船头，按应当为图5—15两种情况用同样大小力拉绳，经过相同的时间t（船未碰撞），小孩所做的功W1、W2及在时间t内小孩拉绳的功率P1、P2的关系为（）

A．W1＞W2，P1=P2B．W1＝W2，P1＝P2

C．W1＜W2，P1＜P2D．W1＜W2，P1=P2

提示：

两种情况中拉力对人做的功一样，第二种情况拉力除对人做功外，又对另一只小船也做了功，所以W2＞W1．由于所用时间一样，所以P2＞P1．

答案：

C

点评：

应弄清哪一个力对哪一个物体做功，其功率是什么

2、两种功率

【例4】长为L的细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，开始时，细线被拉直，并处于水平位置，球处在0点等高的A位置，如图所示，现将球由静止释放，它由A运动到最低点B的过程中，重力的瞬时功率变化的情况是（）

A.一直在增大B.一直在减小C.先增大后减小D.先减小后增大

解析:

小球在A位置时速度为零，重力的瞬时功率为零，到达B位置时，速度达到最大

，方向水平向左，与重力夹角为900，PB＝0，由于两个极端位置瞬时功率均为0，故可判断C正确．

点评:

物体在恒力作用下的变速运动或在变力作用下的运动，力做功的瞬时功率一般都随时间变化，因此，在求某力在某时的瞬时功率或讨论某力做功的瞬时功率随时间的变化时，都应根据公式P=Ftcosα来进行分析和计算．

【例5】（1994年上海高考题）跳绳是一种健身运动。

设某运动员的质量是50kg，他一分钟跳绳180次。

假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的2/5，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是＿。

（g取10m/s2）

解析：

把运动员每次跳跃转换成质点做竖直上抛运动模型。

每次跳跃总时间

T＝60/180＝1/3s．每次腾空的时间t=

（l一

）=0．02s。

每次腾空高度h=½g（t/2）2=½×10×（0．02/2）2＝0．05m。

每次腾空上升时克服重力做的功W=mgh=50×10×0．05＝25J。

把每次跳跃总时间T内的触地过程、下落过程舍弃，简化成在T内就是单一竖直上升克服重力做功的过程，故可解出P＝W/T＝25／（1/3）=75W。

点评：

综上所述不难发现，灵活地转换物理模型是一种重要的物理思想方法。

学会这种方法，就会使我们在解决物理问题时变得从容自如，巧解速解物理问题，从而提高学习的效率。

【例6】随着生活水平的提高，伴随着心血管病也比以前增加了．为了提高生活质量，延长人的寿命，掌握心血管健康活动的常识就显得十分重要，心脏在人的一生之中之所以能够不停地跳动而不疲倦，其原因之一在于它的活动具有节律性，图中是心脏每跳动一次，心房和心室的舒张、收缩情况：

（1）从图分析，心脏在人的一生中不停地跳动，为什么不会疲倦？

（2）如果有人心率为75次／min，则每搏的输出量为70ml，每分钟输出量为，一般情况下，长跑运动员与正常人相比，心率较慢，但较多，所以能满足运动时的供血．

（3）如果有人的心率为75次／min，则心脏每跳动一次所需的时间是，心房、心室共同处于期，所占的时间约为

（4）若某人的心脏每分钟跳动75次，心脏收缩压为135mmHg（lmmHg＝133．322Pa）收缩一次输出血量平均为70ml，那么心脏收缩时的平均功率有多大？

解析：

（1）从图中可以看出，如果心率是75次／min，其中心房只工作（收缩）了0．1s，休息（舒张）了0．7s，心室工作了0．3s，休息了0．5s，可见心脏每跳动一次，心房、心室的舒张期比收缩期长，心脏有充分休息的时间，因此人的一生，心脏不停地跳动而不知疲倦．

（2）5250ml（每搏输出量是指心脏跳动一次，心脏收缩时向动脉输出的血量，每收缩一次输出70ml，每分输出量为70×75=5250ml）

经常参加体育锻炼的人，心肌发达，搏动有力，每搏输出量比一般人要大．

（3）0．8s舒张0．4s（心脏每分钟跳动的次数叫心率）

（4）心脏收缩一次做功：

W=P·ΔV

∵P=135mmHg＝1．8×104PaΔV＝70ml＝7×10－5m3

∴W＝1．8×104Pa×7×10－5m3＝1．26J∴每分钟，心脏做功W/=75×1．26=94．5J

∴心脏收缩时平均功率为

=94．5/60=1．6W

3、汽车起动问题分析

（1）当以恒定功率运动时，做加速度