简单的逻辑联结词全称量词与存在量词教学案重点.docx

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简单的逻辑联结词全称量词与存在量词教学案重点

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（重点）

适用学科

高中数学

适用年级

高中三年级

适用区域

全国新课标

课时时长（分钟）

60

知识点

1.简单的逻辑联结词2.全称量词和存在量词

3.复合命题真假的判断及应用4.全称命题与存在性命题真假的判断

5.含有一个量词的命题的否定

教学目标

一、知识与技能

使学生了解学习全称量词和存在量词的必要性，掌握命题的有关概念、能够辨别命题的真假,掌握了解命题的否定

二、过程与方法

1．教师提出问题，素材，并及时点拨，与学生进行交流，分析，抽象出数学模型。

2.设计较典型的问题，通过学生自主探究，激发学习兴趣和积极性

三、情感、态度与价值观

1.通过具体情景，让学生体会到学好数学对日常生活的重

要作用。

2.培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，进而

培养学生的实践能力。

进一步体会数形结合的重要方法，增强对事物间普遍联系规律的认识，树立辩证唯物主义思想。

教学重点

复合命题真假的判断及应用

教学难点

全称命题与存在性命题真假的判断

教学过程

一.课程导入：

在大量的数学实例的基础上，思考、探究、分析、发现，最后总结概括出相关概念和知识，是本章容的突出特色。

本章容，重在让学生通过对常用逻辑用语的学习，体会运用逻辑用语在表述和论证中的作用，能用这些逻辑用语准确地表达数学容，更好地进行交流。

为此，教科书在安排容时，就突出了让学生领会这些常用逻辑用语的含义，从而更好的运用这些常用逻辑用语的这一目的。

本章容与学生日常生活中的某些概念有一定关联，但就在数学上的运用和含义还有一定差别，因此数学中如何正确理解和运用这些常用逻辑用语，是本章的关键也是较难处理的，为此，教科书是从大量的丰富数学实例出发，来帮助学生认识数学中的这些常用逻辑用语的含义的。

例如，对“命题”概念的阐述，就是通过总结6个数学例子的基础上概括得出的；对于四种命题及其关系，也是通过对命题“若f（x）是正弦函数，则f（x）是周期函数”的条件与结论的互换及否定等具体例子的讨论，达到对四种命题及其关系的认识；逻辑联结词“或”“且”“非”含义和用法的介绍，也是通过学生熟悉的数学实例讲授的；学习完命题及命题的否定后，教科书又安排了丰富的实例，使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词（全称量词和存在量词），并通过例子说明如何对含有一个量词的命题进行正确地否定。

二、复习预习

复习时应紧扣概念，理清相似概念间的异同点，准确把握逻辑联结词的含义和用法，熟练掌握对含有量词命题的否定的方法．本讲常与其他知识结合，在知识的交汇处命题，试题难度中档偏下．　　

三、知识讲解

考点1、简单的逻辑联结词

（1）命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．

（2）简单复合命题的真值表：

p

q

p∧q

p∨q

¬p

真

真

真

真

假

假

真

假

真

真

真

假

假

真

假

假

假

假

假

真

考点2、全称量词与存在量词

（1）常见的全称量词有：

“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．

（2）常见的存在量词有：

“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．

（3）全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．

考点3、全称命题与特称命题

（1）含有全称量词的命题叫全称命题．

（2）含有存在量词的命题叫特称命题．

考点4、命题的否定

（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

（2）p或q的否定为：

非p且非q；p且q的否定为：

非p或非q.

四、例题精析

【例题1】

【题干】已知命题p1：

函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：

函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：

p1∨p2，q2：

p1∧p2，q3：

（¬p1）∨p2和q4：

p1∧（¬p2）中，真命题是（　　）．

A．q1，q3B．q2，q3

C．q1，q4D．q2，q4

【答案】C

【解析】可判断p1为真，p2为假；则q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．

【例题2】

【题干】已知命题p：

∃x0∈R，使sinx0＝

；命题q：

∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论

①命题“p∧q”是真命题；②命题“¬p∨¬q”是假命题；

③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“p∨¬q”是假命题．

其中正确的是（　　）．

A．②③B．②④

C．③④D．①②③

【答案】C

【解析】命题p是假命题，命题q是真命题，故③④正确．

【例题3】

【题干】写出下列命题的否定，并判断其真假．

（1）p：

∀x∈R，x2－x＋

≥0；

（2）q：

所有的正方形都是矩形；

（3）r：

∃x0∈R，x

＋2x0＋2≤0；

（4）s：

至少有一个实数x0，使x

＋1＝0.

【答案】见解析

【解析】

（1）¬p：

∃x0∈R，x

－x0＋

＜0，假命题．

（2）¬q：

至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

（3）綈r：

∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题．

（4）綈s：

∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．

【例题4】

【题干】写出下列命题的否定，并判断真假．

（1）p：

∀x∈R，x不是3x－5＝0的根；

（2）q：

有些合数是偶数；

（3）r：

∃x0∈R，|x0－1|＞0.

【答案】见解析

【解析】

（1）¬p：

∃x0∈R，x0是3x－5＝0的根，真命题．

（2）¬q：

每一个合数都不是偶数，假命题．

（3）r：

∀x∈R，|x－1|≤0，假命题．

五、课堂运用

【基础】

1.已知命题p：

∀x∈R，sinx≤1，则（　　）．　　　　　　　

A．¬p：

∃x0∈R，sinx0≥1B．¬p：

∀x∈R，sinx≥1

C．¬p：

∃x0∈R，sinx0>1D．¬p：

∀x∈R，sinx>1

【答案】C

【解析】命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题．

2.若p是真命题，q是假命题，则（　　）．

A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题

C．¬p是真命题D．¬q是真命题

【答案】D

【解析】本题考查命题和逻辑联结词的基础知识，意在考查考生对逻辑联结词的理解运用能力．只有¬q是真命题．

3.命题p：

若a，b∈R，则|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必要条件．命题q：

函数y＝

的定义域是（－∞，－1]∪[3，＋∞）则（　　）．

A．“p或q”为假B．“p且q”为真

C．p真q假D．p假q真

【答案】D

【解析】根据定义

4.设p、q是两个命题，则复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是

（　　）．

A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假

C．p、q中有且只有一个为真D．p为真、q为假

【答案】C

【解析】略

【巩固】

5.命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________．

【答案】见解析

【解析】存在x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3　　

6.已知命题p：

方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q：

方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值围．

【答案】见解析

【解析】　由p得：

则m＞2.

由q得：

Δ2＝16（m－2）2－16＝16（m2－4m＋3）＜0，

则1＜m＜3.

又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p与q一真一假．

①当p真q假时，

解得m≥3；

②当p假q真时，

解得1＜m≤2.

∴m的取值围为m≥3或1＜m≤2.

7.已知a＞0，设命题p：

函数y＝ax在R上单调递增；命题q：

不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值围．

【答案】见解析

【解析】∵函数y＝ax在R上单调递增，∴p：

a＞1.

不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立，

∴a＞0且a2－4a＜0，解得0＜a＜4，∴q：

0＜a＜4.

∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，

∴p、q中必有一真一假．

①当p真q假时，

得a≥4.

②当p假q真时，

得0＜a≤1.

故a的取值围为（0,1]∪[4，＋∞）．　　

【拔高】

8.已知c＞0，且c≠1，设p：

函数y＝cx在R上单调递减；q：

函数f（x）＝x2－2cx＋1在

上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值围．

【答案】见解析

【解析】　∵函数y＝cx在R上单调递减，

∴0＜c＜1.（2分）

即p：

0＜c＜1.∵c＞0且c≠1，∴¬p：

c＞1.（3分）

又∵f（x）＝x2－2cx＋1在

上为增函数，

∴c≤

.即q：

0＜c≤

.

∵c＞0且c≠1，∴¬q：

c＞

且c≠1.（6分）

又∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p真q假或p假q真．（7分）

①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩

＝

；（9分）

②当p假，q真时，{c|c＞1}∩

＝∅.（11分）

综上所述，实数c的取值围是

.（12分）

9.设p：

方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：

方程x2＋2（m－2）x－3m＋10＝0无实根．求使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值围．

【答案】见解析

【解析】由

得m＜－1.

∴p：

m＜－1；

由Δ2＝4（m－2）2－4（－3m＋10）＜0，

知－2＜m＜3，∴q：

－2＜m＜3.

由p∨q为真，p∧q为假可知，命题p，q一真一假，

当p真q假时，

此时m≤－2；

当p假q真时，

此时－1≤m＜3.

∴m的取值围是{m|m≤－2，或－1≤m＜3}．

六、课堂小结

一个关系

逻辑联结词与集合的关系

“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．

两类否定

1．含有一个量词的命题的否定

（1）全称命题的否定是特称命题

全称命题p：

∀x∈M，p（x），它的否定¬p：

∃x0∈M，¬p（x0）．

（2）特称命题的否定是全称命题

特称命题p：

∃x0∈M，p（x0），它的否定¬p：

∀x∈M，¬p（x）．

2．复合命题的否定

（1）綈（p∧q）⇔（¬p）∨（¬q）；

（2）綈（p∨q）⇔（¬p）∧（¬q）．

三条规律

（1）对于“p∧q”命题：

一假则假；

（2）对“p∨q”命题：

一真则真；

（3）对“¬p”命题：

与“p”命题真假相反．