全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全.docx
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全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全
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高考二轮复习专项:
圆锥曲线大题集
1.如图,直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A,点B、D在直线l1上
(B、D位于点A右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M是该平面上的一个动点,M在l1上的射影
点是N,且|BN|=2|DM|.
(Ⅰ)建立适当的坐标系,求动点M的轨迹C的方程.
(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C于E、F两点;另外平面上的点G、
H满足:
AGAD(R);GEGF
2GH;GHEF0.
求点G的横坐标的取值X围.
l2
e
3
M
2
2.
设椭圆的中心是坐标原点,焦点在
x轴上,离心率
,点P(0,3)到这个椭圆
上的点的最远距离是
4,求这个椭圆的方程.
B
D
N
B
l1
A
x2
y2
1(a
b
0)
x
25,
3.
C1:
b2
椭圆
a2
的一条准线方程是
4
其左、右顶点分别
是A、B;双曲线C2
x2
y2
:
a2
b2
1
的一条渐近线方程为3x-5y=0.
〔Ⅰ〕求椭圆
C1的方程及双曲线
C2的离心率;
〔Ⅱ〕在第一象限内取双曲线
C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆
1
于点N,假设AM
MP.
求证:
MN
AB0.
C
4.
椭圆的中心在坐标原点
O,右焦点F〔c,0〕到相应准线的距离为
1,倾斜角为45°的直线
交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为
a.
〔1〕用半焦距c表示椭圆的方程及
tan;
〔2〕假设2 <3,求椭圆率心率 e的取值X围. x 2 y2 6 5.椭圆a 2 b2 e 〔a>b>0〕的离心率 3,过点A〔0,-b〕和B〔a,0〕的直线 3 与原点的距离为2 〔1〕求椭圆的方程 〔2〕定点E〔-1,0〕,假设直线y=kx+2〔k≠0〕与椭圆交于CD两点问: 是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点? 请说明理由 6.在直角坐标平面中,ABC的两个顶点A,B的坐标分别为A(1,0),B(1,0),平面内 两点G,M同时满足以下条件: ①GAGBGC0 MAMB MC ;② ;③GM∥AB Word资料 . 〔1〕求ABC的顶点C的轨迹方程; 〔2〕过点 P(3,0)的直线l与〔1〕中轨迹交于 E,F两点,求PEPF的取值X围 7. 设x,y R,i,j 为直角坐标平面内x轴.y轴正方向上的单位向量,假设 a xi(y2)j,bxi (y2)j,且|a||b|8 〔Ⅰ〕求动点 M(x,y)的轨迹C的方程; 〔Ⅱ〕设曲线 C上两点A.B,满足 (1) 直线AB过点〔0,3〕, (2)假设OP OAOB,那么OAPB 为矩形,试求 AB方程. 8. 抛物线 C: y2 m(xn),(m 0,n 0)的焦点为原点,C的准线与直线 l: kxy2k 0(k 0)的交点M在x轴上,l与C交于不同的两点A、B,线段AB的垂直 平分线交x轴于点N〔p,0〕. 〔Ⅰ〕求抛物线 C的方程; 〔Ⅱ〕XX数 p的取值X围; 〔Ⅲ〕假设C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线,试求Q的短轴的端点的轨迹方程. 9. 如图,椭圆的中心在原点,长轴 AA1在x轴上.以A、A1为焦点的双曲线交椭圆于 C、D、 1 AE 2 3 D1、C1四点,且|CD|= 2|AA1|.椭圆的一条弦 AC交双曲线于E,设EC ,当3 4 时,求双曲线的离心率 e的取值X围. Word资料 . 10. 三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x2 5y2 80上,且点A是椭圆短轴的一个端 点〔点A在y轴正半轴上〕. 假设三角形ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线 BC的方程; 假设角A为900 ,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程. 11. 如图,过抛物线x2 4y的对称轴上任一点 P(0,m)(m 0)作直线与抛物线交于A,B 两点,点Q是点P关于原点的对称点. (1) 设点P分有向线段 AB所成的比为 ,证明: QP(QAQB); (2) 设直线AB的方程是x 2y 12 0,过A,B两点的圆C与抛物线在点 A处有共同的 切线,求圆C的方程. p2 p 12. 动点P〔p,-1〕,Q〔p, 1 2〕,过Q作斜率为2 的直线l,PQ中点M的轨迹 为曲线C. 〔1〕证明: l经过一个定点而且与曲线 C一定有两个公共点; 〔2〕假设〔1〕中的其中一个公共点为 A,证明: AP是曲线C的切线; 〔3〕设直线AP的倾斜角为 ,AP与l的夹角为 ,证明: 或 是定值. Word资料 . 13.在平面直角坐标系内有两个定点 F1、F2和动点 P,F1、F2坐标分别为F1( 1,0)、 |PF1| 2 F2(1,0),动点P满足|PF2 | 2 ,动点P的轨迹为曲线C,曲线C关于直线y x的对 称曲线为曲线C',直线y x m 3与曲线C'交于A、B两点,O是坐标原点,△ABO的面 积为7, 〔1〕求曲线C的方程;〔2〕求m的值。 x2 y 2 1(a 0,b0) 14.双曲线a2 b2 的左右两个焦点分别为F1、F2,点P在双曲线右支 上. 3 41 16 ( 5 ) PF1PF2,求双曲线的方程; 〔Ⅰ〕假设当点P的坐标为 5 时, 〔Ⅱ〕假设|PF1|3|PF2 |,求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. x2 y 2 1 a b 15.假设F1、F2为双曲线 的左右焦点,O为坐标原点,P在双曲线的左支上,点 F1O OF1 OM 0) PM,OP( )( M在右准线上,且满足; OF1 OM1 . 〔1〕求该双曲线的离心率; 〔2〕假设该双曲线过 N〔2, 3〕,求双曲线的方程; 〔3〕假设过N〔2, 3〕的双曲线的虚轴端点分别为 B1、B2〔B1在y轴正半轴上〕,点A、B 在双曲线上,且B2 A B2B,求B1A B1B时,直线AB的方程. 16.以O为原点,OF所在直线为x轴,建立如 所示的坐标系。 设 OFFG1,点F的 坐标为(t,0),t[3, ),点G的坐标为(x0,y0)。 〔1〕求x0关于t的函数x0 f(t)的表达式,判断函数 f(t)的单调性,并证明你的判断; (2〕设OFG的面积最小值时椭圆的方程; S 31t G,求当|OG|取 6,假设以O为中心,F为焦点的椭圆经过点 Word资料 . (0,9) PD (1), 〔3〕在〔2〕的条件下,假设点P的坐标为 2,C、D是椭圆上的两点,且PC XX数 的取值X围。 Word资料 . 17.点C为圆(x1)2y28的圆心,点A〔1,0〕,P是圆上的动点,点Q在圆的 半径CP上,且MQ AP 0,AP 2AM. 〔Ⅰ〕当点P在圆上运动时,求点 Q的轨迹方程; 〔Ⅱ〕假设直线y kx k2 1与〔Ⅰ〕中所求点 Q 的轨迹交于不同两点 F,H,O是坐标原点, 2 3 OFOH 4,求△FOH的面积的取值X围。 且3 18.如下图,O是线段AB的中点,|AB|=2c,以点A为圆心,2a为半径作一圆,其中a c。 〔1〕假设圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离,建立适当坐标系,求动点 P A O B 的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线; 〔2〕经过点O的直线l与直线AB成60°角,当c=2,a=1时,动点P的轨迹记为E,设过点B的直线m交曲线E于M、N两点,且点M在直线AB的上方,求点M到直线l的距离d的取值X围。 Word资料 . 19.设O为坐标原点,曲线x2y22x6y10上有两点P、Q满足关于直线 xmy40对称,又以PQ为直径的圆过O点. 〔1〕求m的值; 〔2〕求直线PQ的方程. 20.在平面直角坐标系中,假设a (x 3,y),b(x3,y),且a b 4 , 〔1〕求动点Q(x,y)的轨迹C的方程; 〔2〕定点P(t,0)(t 0),假设斜率为1的直线l过点P并与轨迹C交于不同的两点A,B, 且对于轨迹C上任意一点M,都存在 [0,2],使得OMcos OA sin OB成立, 试求出满足条件的实数 t的值。 x2 y2 1 〔a>0,b>0〕的右准线l2与一条渐近线l交于两点 21.双曲线 a2 b2 P、Q,F 是双曲线的右焦点。 〔I〕求证: PF⊥l ; 〔II〕假设△PQF为等边三角形,且直线 y=x+b交双曲线于A,B两点,且AB 30,求双 曲线的方程; (III〕延长FP交双曲线左准线l1和左支分别为点M、N,假设M为PN的中点,求双曲线的离心率e。 22.又曲线在左右顶点分别是A,B,点P是其右准线上的一点,假设 点A关于点P的对称点是M,点P关于点B的对称点是N,且M、N都在此双曲线上。 〔I〕求此双曲线的方程; 〔II〕求直线MN的倾斜角。 23. 如图,在直角坐标系中, 点A〔-1,0〕,B〔1,0〕,P〔x,y〕〔y 0〕。 设AP、OP、BP 与x轴正方向的夹角分别为 α、β、γ,假设 。 〔I〕求点P的轨迹G的方程; 〔II〕设过点C〔0,-1〕的直线l与轨迹G交于不同两点 M、N。 问在x轴上是否存在 一点Ex0,0,使△MNE为正三角形。 假设存在求出 x0值;假设不存在说明理由。 x2 y2 F1 2,0 24. C: 2 b 21ab0 ,且焦点为 设椭圆a 过点M2,1 。 Word资料 . 〔1〕求椭圆C的方程; 〔2〕当过点P4,1 的动直线与椭圆C相交与两不同点 A、B时,在线段AB上取点Q, 满足APQB AQ PB,证明: 点Q总在某定直线上。 25. 平面直角坐标系中, O为坐标原点,给定两点 A〔1,0〕、B〔0,-2〕,点C满足 OC OA OB,其中 、 R,且 2 1 〔1〕求点C的轨迹方程; x2 y2 1(a 0,b 0) 〔2〕设点C的轨迹与双曲线a2 b2 交于两点M、N,且以MN为直径的圆 1 1 为定值 过原点,求证: a2 b2 . 26. 设F(1,0) ,M、P分别为x轴、y轴上的点,且 PMPF 0,动点N满足: MN 2NP. 〔1〕求动点N的轨迹E的方程; 〔2〕过定点C(c,0)(c 0)任意作一条直线 l与曲线E交与不同的两点 A、B,问在x轴 上是否存在一定点Q,使得直线 AQ、BQ的倾斜角互补? 假设存在,求出 Q点的坐标;假设 不存在,请说明理由. 3 1 27. 如图,直角梯形 ABCD中,∠DAB 90 ,AD∥BC,AB=2,AD=2,BC=2 椭圆F以A、B为焦点,且经过点 D, 〔Ⅰ〕建立适当的直角坐标系,求椭圆 F的方程; 〔Ⅱ〕是否存在直线 l与 椭圆F交于M、 MN的中点为点C ,假设存在,求直 N两点,且线段 线l的方程;假设不存在,说明理由. D 28. 如下图,B〔–c,0〕,C〔c,0〕,AH⊥BC,垂足为H,且BH3HC. A C 〔1〕假设ABAC=0,求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率; B 〔2〕D分有向线段AB的比为,A、D同在以B、C为焦点的椭圆上, 7 当―5≤≤2时,求椭圆的离心率e的取值X围. Word资料 . 29.在直角坐标平面中,ABC的两个顶点A,B的坐标分别为A(1,0),B(1,0),平面内 两点G,M同时满足以下条件: ①GA MA MB MC GBGC0;② ;③GM∥AB 〔1〕求 ABC的顶点C的轨迹方程; 〔2〕过点 P(3,0)的直线l与〔1〕中轨迹交于 E,F两点,求PEPF的取值X围 答案: 1.解: (Ⅰ) 以A点为坐标原点,l1 为x轴,建立如下图的坐标系, 那么D(1,0),B(4,0), 设M〔x,y〕,那么N〔x,0〕. ∵|BN|=2|DM|, ∴|4-x|=2(x-1)2+y2, 整理得3x2+4y2=12, ∴动点M的轨迹 x2y2 方程为4+3=1. (Ⅱ)∵AG AD(R), ∴A、D、G三点共线,即点 G在x轴上;又∵GE GF2GH,∴H点为线段EF的中点; 又∵GHEF 0,∴点G是线段EF的垂直平分线 GH与x轴的交点。 设l: y=k(x-1)(k≠0),代入3x2+4y2=12得 (3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,由于l过点D(1,0)是椭圆的焦点, ∴l与椭圆必有两个交点, 设E(x1,y1),F(x2,y2),EF的中点H的坐标为〔x0,y0〕, ∴x1+x2= 8k2 ,x1x2= 4k2-12 , 3+4k2 3+4k2 x1+x2 4k2 -3k x0= = ,y0=k(x0-1)= , 2 3+4k2 3+4k2 ∴线段EF的垂直平分线为 1 y-y0=-k(x-x0),令y=0得, -3k2 4k2 k2 点G的横坐标xG=ky0+x0= + 3+4k2 = 3+4k2 3+4k2 1 3 =- , 4 4(3+4k2) ∵k≠0,∴k2>0,∴3+4k2>3,0< 1 <1 ,∴-1 <- 3 <0, (3+4k2) 3 4 4(3+4k2) Word资料 . ∴xG= 1 - 3 (0,1 〕 4 4(3+4k2) 4 ∴点G的横坐标的取值X围为 (0, 1 〕. 4 e 3 c 3a 2.解: ∵ 2 ,∴ 2 由a2 b2 c2 得 a 2b x2 y2 1 4b2 b2 0〕 ∴设椭圆的方程为 〔b 即x2 4b2 4y2〔 byb〕 设M(x,y)是椭圆上任意一点,那么 |PM|2 x2 (y3)2 3(y1)2 4b2 12 〔b yb〕 假设b 1即 b 1 b,那么当y 1时,|PM|max2 4b2 12 由有4b2 12 16,得b 1; 假设0 b 1即 1 b,那么当y b时,|PM|max2 b2 6b9 由有b2 6b 9 16,得b 7〔舍去〕. 综上所述,b 1,a 2. x2 y2 1 所以,椭圆的方程为 4 . a2 25 c 4 a 5 b 3 解之得: b 3 a 5 c 4 c2 a2 b2 3.解: 〔I〕由 x2 y2 1 x2 y2 25 9 25 1 ∴椭圆的方程为 ,双曲线的方程 9. e2 34 又C25 9 34 ∴双曲线的离心率 5 Word资料 . 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕A〔-5,0〕,B〔5,0〕 设M(x0,y0)那么由AM MP得M为AP的中点 x02 y02 1 25 9 (2x0 5) y02 1 ∴P点坐标为(2x0 5,2y0) 将M、p坐标代入 c1、c2方程得 25 9 消去y0 2 5x0 25 0 x0 5或x0 5(舍) 得2x0 解之得 2 由此可得P〔10,3 3) 当P为〔10,33) y 33(x5) y 33(x5) 时PB: 105 即 5 x2 y2 得 x2 15 x 250 x 5或 5( 舍 ) 代入25 1: 2 2 9 xN 5 xN xM 2 MN⊥x轴 即MN AB 0 a2 c1,那么a2 cc2,b2 a2 c2 c, 4.解: 〔1〕由题意可知c 所以椭圆方程为 x2 y2 4分 c2 1 设A(x1,y1),B(x2,y2),将其代入椭
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