第四章3岩石的蠕变.docx
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第四章3岩石的蠕变
五、岩石的蠕变
1、蠕变特征
①岩石蠕变的概念
在应力不变的情况下,岩石变形随时间t而增长的现象。
即—随时间而变化dt
②岩石蠕变类型
非稳定型蠕变
a、
稳定型蠕变:
在恒定
应力作用下,变形速率
随时间递减,最终趋于
零’即0,变形区
t
£i
—
-I
——
--I
域稳定。
般在较小应力下或硬岩中。
b、非稳定型蠕变:
岩石在恒定应力作用下,岩石变形随时间不断增
长,直至破坏。
般为软弱岩石或应力较大。
TIC
•LQ
£6
岩石的蠕变曲线可分为
三个阶段:
I阶段:
初期蠕变。
应变一时间曲线向下弯
曲’应变速率d由大变
小。
属弹性变形。
n阶段:
等速蠕变。
应变-时间曲线近似直线,应变随时间呈近于等速增长。
出现塑性。
m阶段:
加速蠕变。
应变-时间曲线向上弯曲,其应变速率加快直至破坏。
应指出,并非所有的蠕变都能出现等速蠕变阶段,只有蠕变过程中结构的软化和硬化达到动平衡,蠕变速率才能保持不变。
在I阶段,如果应力骤降到零,则—t曲线具有PQR形式,曲线从P点骤变到Q点,PQ=e为瞬时弹性变形,而后随时间慢慢退到应变为
零,这时无永久变形,材料仍保持弹性。
在n阶段,如果把应力骤降到零,则会出现永久变形,其中TU=e。
④不同应力下的蠕变
岩石蠕变速率与应力大小
bb
I2520
b
/■
有直接关系。
低应力时,应
//15b
变速度变化缓慢,逐渐趋于
稳定。
应力增大时,应变速
-10b
.....a
--a
率增大。
高应力时,蠕变加
速,直至破坏。
应力越大,
蠕变速率越大,反之愈小。
a-稳定蠕变(不破坏)b-非稳定蠕变(蠕变破坏)
岩石长期强度:
指岩石由稳定蠕变转为非稳定蠕变时的应力分界值。
即,岩石在长期荷载作用下经蠕变破坏的最小应力值(或)
岩石极限长期强度:
指长期荷载作用下岩石的强度。
2、蠕变经验公式
由于岩石蠕变包括瞬时弹性变形、初始蠕变、等速蠕变和加速蠕
变,则在荷载长期作用下,岩石蠕变的变形可用经验公式表示为:
e+(t)+Mt+T(t)
e-瞬时变形;(t)-初始蠕变;Mt-等速蠕变;T(t)-加速蠕变。
对于前两个阶段,目前的经验公式主要有三种:
1幂函数
取(t)At
第一阶段:
A、n是试验常数,其值取决于应力水平、材料特性以及温度条件。
2对数函数:
eBlogtDtt
B、D是与应力有关的常数。
3
指数函数
A为试验常数,f(t)是时间t的函数
伊文思(EvanS对花岗岩、砂岩和板岩的研究:
f(t)1Ctn,
C为试验常数,n二;
而哈迪(Hardy)给出经验方程,
A[1exp(Ct)],
A、C为试验常数。
3、蠕变理论模型(理论公式)
1)基本模型
由于岩石材料具有弹性、刚性、粘性和塑性,目前采用简单的机械模型来模拟材料的某种性状。
将这些简单的机械模型进行不同的组合,就可以得到岩石的不同蠕变方程式,以模拟不同的岩石蠕变。
常用的简单模型有两种:
一种是弹性模型,另一种是粘性模型。
①弹性模型
这种模型是线弹性的,完全服从虎克定律,其应力-应变为正比关系:
这种模型可用刚度为G的弹簧来表示。
G
h
丫1
(0
亠
Y
t
②粘性模型
或称粘性单元,这种模型完全服从牛顿粘性定律,其应力与应变速率
成正比,可表示为:
这种模型称为牛顿物质,它可用充满粘性液体的圆筒形容器内的有孔活塞(称为缓冲壶)来表示。
__
③塑性
Y
④刚体
Y
2)组合模型
由于大多数岩体都表现出瞬时变形(弹性变形)和随时间而增长的变形(粘性变形),因此,可以说岩石是粘--弹性的。
将弹性模型和粘性模型用各种不同方式组合,就可以得到不同的蠕变模型。
串联:
每个单元模型担负同一总荷载,其应变率之和等于总应变率。
并联:
每个单元模型担负的荷载之和等于总荷载,而他们的应变率是相等的。
1马克斯韦尔(Maxwell)模型这种模型用弹性模型和粘性模型串联而成。
其特征是:
当应力骤然施加并保持为常数时,变形以常速率不断发展。
这个模型用两个G和描述,
y4
—T
(a)
(b)
Y0
由于串联,
有:
(1-1)
(1-2)
d
dt
d
dt
db
dt
(1-3)
粘性模型
a,弹性模型
b(1-4)
所以由(1-3)
(1-5)
得微分方程:
dt
Gdt
(1-6)
对上式微分方程求解可得到应变一时间关系式。
方程的通解是:
讨论
a、对于单轴压缩,在t=0时,骤然施加轴向应力1(1const)
方程的解为:
1⑴3^芸9K
(1-8)
初期为瞬间弹性变形,后期为粘性变形。
其中,K3(1号5
为体积变形模量。
G刚度系数。
YJ
I
弹性
粘性
Y
b、
当const(松弛):
Gt
G0e
2伏埃特(Voigt)模型(粘弹性固体)
该模型又称凯尔文模型,它是
由弹性和粘性模型并联而成。
特T
点:
当骤然应力施加时,应变速率
随时间递减,在t增加到一定值
时,应变趋于零。
这个模型用两个常数
G和描述。
(2-1)
并联:
(2-2)
代入(2-1)式
(2-3)
方程通解:
Gt
edt
粘弹性
(2-4)
并保持不变,则蠕变曲线为:
在初期,粘性变形为主,后期弹性变形为主,反映了弹性后效现象。
3广义马克斯韦尔模型该模型由伏埃特模型与粘性单元串联而成,用三个常数G,述。
特点:
应变开始以指数
增长,逐渐趋于常速率。
设:
伏埃特模型的应力
ni
CE
-应变分别为:
粘性单元为2,2
由伏埃特模型
(2-3)式,
并联模型
111G1(3-2)
而粘性模型
(3-3)
(3-4)
由(3-2)
1(3-5)
由(3-3)
(3-6)
(3-7)
再由
2(3-8)
对(3-5)、
(3-6)
式求导:
G2
二1(3-9)
1
(3-10)
(3-9)
(3-10)
代入(3-8)得到:
G
~2
1
G2
~21—
12
(3-11)
G
12
G
1
12
12
(3-11)得到:
(3-7)
轴向应力一应变关系式:
(3-⑵
(t)冬三1e®/)丄t
32
9K3G1
(3-13)
丫+
粘弹性
0
0
t
t
0
④广义伏埃特模型
该模型又伏埃特模型与
特点:
初始有瞬时应变i,随
Y*
后应变以指数递减速率增长,
最终应变速率趋于零。
弹性单元应力-应变为
因为串联,应力满足
(4-1)
又弹性模型2G22
则2&(4-2)
2G2
(4-3)
对于串联,其变形满足
2(4-4)
对时间求导
(4-5)
代入
2到(4-4)
有:
_1_
1
G1G1G2
(4-6)
又由(4-5)和(4-3)
G2
将其代入式(4-6)有:
l
G1G2G1G2
GG21
G1G2G1
1
G1G2
最后得:
1
Gi
G1G
21
G1G2G1G2
(4-7)
to-,则通解:
(t)丄丄1汽G
GiG2
(4-8)
轴向应力一应变关系式(即在t=0时,施加轴向应力
1保持不变)
1(t)J—
9K3Gi
Y
粘弹性
—■i^H^―
y
J
Yo
(Git/)
3G2
Y」.
Yo
(4-9)
⑤鲍格斯(Burgers濮型
该模型由伏埃特模型与马克
模型),用四个常数Gi、G2、
ni
CE
斯韦尔模型串联而成(复合粘弹性
来描述。
变形特点:
蠕变曲线上开始有瞬时变形,然后曲线以指数递减的速率增长,最后趋于不变速率增长。
设:
伏埃特并联模型的应力应变为:
马克斯韦尔串联模型的应力应变为:
(5-2)
1
G1
应力满足
由伏埃特的并联模型
(5-3)
由马克斯韦尔的串联模型
2_2_
2G2
G2
(5-6)
由(5-3),对时间求导,
G1
1
G1
(5-7)
由(5-4),对时间求导
G2
(5-8)
(5-8)代入(5-6)有:
2G2
(5-9)
(5-4)代入(5-5)有:
2G2
(5-9)、(5-10)代入(5-7):
j
2G2G1G1
1
2G2GG1G12
1
G1G2
12
G1G2G1G1G2
(5-11)
由于12,贝闲用已求得的伏埃特和马克斯韦尔得轴向应变解,可
得鲍格斯的轴向应变关系为:
/+、21111_(Gt/1)
9K3G23G13G1e
1(t)
粘弹性
丫*
Y
.弹粘性
Yo
Yo
4、粘弹性常数和G的测定
(1)室内测定
从鲍格斯模型的公式中知,待求参数为:
K、G、G2、
根据岩石长期单轴压缩试验,可得到i(t)曲线。
£j
i=二
3耳2
£B
£e
1
0
如果该曲线满足鲍格斯方程:
37t
建)J二丄宀(Git/i)
9K3G23G13G1
讨论:
a)体积模量假设与时间无关,根据测定的轴向应变1和侧向应变
3来计算。
因为
V
3)31
v「121(
m3(12
所以'K,3(^
对于分级荷载取1=△1
b)当t=0时,曲线在纵轴上的截距为瞬时弹性应变,它等于
9K3G2
这部分应变与马克斯韦尔模型
i(t)于3G^9K
中的弹性单元有关。
由e可求得G2。
c)当t很大时,
i(t)曲线近于直线,其直线段的方程为:
1⑴Ik
3Gi3G2
该直线在纵轴的截距
(t=0)
21
B9K
1
3G2
可求得
1
3G1
由该式可求得Gi。
该直线的斜率为1/32i,由此可求得
取:
qi(t)i(t)
1e(G1t/1)
3G1
其中i(t)—直线段(渐近线);
i(t)—曲线。
1G
则lgqlg3G;2G7t
在半对数坐标中,q~t为直线,
其斜率i
G1一
231'截距eaGI,从
而可求得1,同时又可得到Gi。
从试验结果看,当应力很小时,Gi和1、2都很大,当应力增大时,
这些值在变小。
而G2和K几乎与应力大小无关。
(2)现场测定
利用钻孔膨胀计进行现场试验,测出径向位移与时间得关系曲线,
假定满足鲍格斯模型。
由下式:
ProPro巴(Git/i)Prot
et
2Gi22
①t=0时,得曲线得截距为瞬时弹性变形
Pro
Ue,可求得G2。
2g2
②t很大时,曲线近于直线,其渐近线方程为:
Ur(t)
ProProProt
2G22Gi22
Urh
当t=0时,得渐近线的截距:
Ub
Ue
ProPro
ue
2G12G1
可求得G。
渐近线的斜率:
Pr
-可求得2.
2
③取qUr(t)
Ur(t)
理e(Gt/
2Gi
Pro
则lgqlg2Gi2.3
G-t
1
在半对数坐标上,其截距为
Pro
2Gi
Gi
Ub,又求得Gi。
斜率为ico
2.3i
求得
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- 第四 岩石