数字信号处理实验第一次报告实验三快速傅立叶变换及其应用.docx
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数字信号处理实验第一次报告实验三快速傅立叶变换及其应用
实验三快速傅立叶变换及其应用
姓名:
学号:
一.实验平台
二.实验目的:
(1)在理论学习的基础上,通过本实验,加深对FFT的理解,熟悉MATLAB中的有关函数。
(2)应用FFT对典型信号进行频谱分析。
(3)了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题,以便在实际中正确应用FFT。
(4)应用FFT实现序列的线性卷积和相关。
三.实验原理:
(1)混叠:
采样序列的频谱是被采样信号频谱的周期延拓,当采样频率不满足奈奎斯特采样定理的时候,就会发生混叠,使得刺痒后的序列信号的频谱不能真实的反映原采样信号的频谱。
(2)泄露:
根据理论分析,一个时间的信号其频带宽度为无限,一个时间无限的信号其频带宽度则为有限。
因此对一个时间有限的信号,应用DFT进行分析,频谱混叠难以避免。
对一个时间无限的信号虽然频带有限,但在实际运算中,时间总是取有限值,在将信号截断的过程中,出现了分散的扩展谱线的现象,称之为频谱泄露或功率泄露。
(3)栅栏效应:
DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样,所以它不可能将频谱视为一个连续函数,就在一定意义上看,用DFT来观察频谱就好象通过一个栅栏来观看一个景象一样,只能在离散点上看到真实的频谱,这样就有可能发生一些频谱的峰点和谷点被“尖桩的栅栏”所挡住,不能被我们观察到。
(4)圆周卷积:
把序列X(N)分布在N等份的圆周上,而序列Y(N)经反摺后也分布在另一个具有N等份的同心圆的圆周上。
两圆上对应的数两量两相乘求和,就得到全部卷积序列。
这个卷积过程称做圆周卷积。
(5)互相关函数反映了两个序列X(N)和Y(N)的相似程度,用FFT可以很快的计算互相关函数。
四.实验内容:
实验中用到的函数序列:
(a)Gaussian序列
exp(-(n-p).^2)/q),0= Xa(n)= 0,其他 (b)衰减正弦序列 exp(-an)*sin(2pi*fn),0= X(b)= 0,其他 (c)三角波序列 n,0= Xb(n)=8-n,4= 0,其他 (d)反三角波序列 4-n,0= Xc(n)=n-4,4= 0,其他 五.上机实验内容: 1.观察高斯序列的时域和幅频特性,固定信号xa(n)中参数p=8,改变q的值,使q分别等于2,4,8,观察他们的时域和幅频特性,了解当q取不同值时,对信号序列的时域和幅频特性影响;改变p,使p分别等于8,13,14,观察参数p变化对信号序列的时域和幅频特性影响,注意p等于多少时,会发生明显的泄漏现象,混叠是否也随之出现? 记录实验中观察到的现象,绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。 程序: n=0: 15; xa=exp(-(n-p).^2/q); subplot(2,1,1); plot(n,xa); ya=fft(xa); ya=abs(ya); subplot(2,1,2); stem(n,ya); p=8,q=2(注: 上面是时域,下面是频域) P=8,q=4 P=8,q=8 P=13,q=8 subplot(2,1,2);stem(n,yb); f=0.0625; f=0.4375; f=0.5625 结论: 该实验中f=F/fs(F—固有频率fs—采样频率,统一做归一化处理fs=1) 图中的幅频特性图: 当f=0.0625时,没有产生明显的混叠和泄露;当f=0.4375和f=0.5625时,产生了混叠,是因为不满足奈奎斯特采样定理的缘故; 图中后两个序列的时域图: 因为0.4375+0.5625=1,满足如下等式(此情况只适用于正弦序列),Xb(n)|f=0.4375=-Xb(n)|f=0.5625,即sin(2pi*fn)=-sin[2pi(1-f)n],其幅频特性是完全相同的。 3.观察三角波和反三角波序列的时域和幅频特性,用N=8点FFT分析信号序列xc(n)和xd(n)的幅频特性,观察两者的序列形状和频谱曲线有什么异同? 绘出两序列及其幅频特性曲线。 在xc(n)和xd(n)末尾补零,用N=32点FFT分析这两个信号序列的幅频特性,观察频谱特性发生了什么变化? 两种情况下的FFT频谱还有相同之处吗? 这些变化说明了什么? 程序: n1=0: 3; xc1=n1;xd1=4-n1; n2=4: 7; xc2=8-n2;xd2=n2-4; xc=[xc1,xc2];xd=[xd1,xd2]; subplot(2,2,1); n1=0: 31;n2=0: 7; plot(n2,xc); yc=fft(xc,n);yc=abs(yc); subplot(2,2,2);stem(n1,yc); subplot(2,2,3);plot(n2,xd); subplot(2,2,4); yd=fft(xd,n); yd=abs(yd); stem(n1,yd); n=8;(左边是时域,右边是频域,下同) n=32; 结论: 反三角波的边沿比较陡峭,因此它的幅频特性曲线中高频分量比较多。 由图知: 当N=8时,正反三角波的幅频特性相同,因为两者的时域只差一个相位;当N=16时,正,反三角波的幅频特性不同。 这是因为栅栏效应,当N=8时,一些谱线被挡住。 通过在原序列的末端补零,N=16,即增加采样的点数和改变采样的位置,使这些被挡住的谱线显露出来,弱化了栅栏效应。 2.一个连续信号含两个频率分量,经采样得x(n)=sin[2π*0.125n]+cos[2π*(0.125+∆f)n]n=0,1,…N-1已知N=16,∆f分别为1/16和1/64,观察其频谱;当N=128时,∆f不变,其结果有何不同? 程序: n=0: N-1; x=sin(2*pi*0.125*n)+cos(2*pi*(0.125+f)*n); subplot(2,1,1); plot(n,x);subplot(2,1,2); y=fft(x);y=abs(y); stem(n,y); N=16,f=1/16 N=16,f=1/64 N=128,f=1/16 N=128,f=1/64 结论: 当N=16,f=1/16,N=128,f=1/16以及N=128,f=1/64时,均反应了真实的频谱;只有当N=16,f=1/64时,频谱发生了严重的栅栏效应。 这是由于分辨率等于1/N,当f>=1/N时,能分辨,不会发生栅栏效应;当f=<1/N时,不能分辨,会发生栅栏效应。 3.用FFT分别计算xa(n)(p=8,q=2)和xb(n)(a=0.1,f=0.0625)的16点循环卷积和线形卷积。 程序: n=0: 15;p=8;q=2; xa=exp(-(n-p).^2/q); a=0.1;f=0.0625; xb=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n); ya=fft(xa);ya=abs(ya); yb=fft(xb);yb=abs(yb); y1=ya.*yb; subplot(2,1,1);stem(n,y1); yaa=fft(xa,32);yaa=abs(yaa); ybb=fft(xb,32);ybb=abs(ybb); y2=yaa.*ybb; subplot(2,1,2); n=0: 31;stem(n,y2); (上图是循环卷积,下图是线性卷积) 结论: 比较图中线性卷积与圆周卷积序列: Xa(n)(序列长度为N1)与Xb(n)(序列长度为N2)的N点圆周卷积序列(当N 4.产生一512点的随即序列xe(n)并用xc(n)和xe(n)做线形卷积,观察卷积前后xe(n)频谱的变化。 要求将xe(n)分成8段,分别采用重叠相加法和重叠保留法。 用重叠保留法和重叠相加法实现线形卷积的过程为: Xc(n)序列长度为8,Xe(n)序列长度为512,分Xe(n)序列为8段,每段长度为64,则每段序列与Xc(n)序列卷积后的长度为72,总长度为520。 (凑成2的整数倍) 程序: (重叠相加法) e=rand(1,512); n1=0: 3; xc1=n1; n2=4: 7; xc2=8-n2; xc=[xc1,xc2];yc=fft(xc,72);//将短序列补零后做72点的FFT xe1=xe(1: 64); ye1=fft(xe1,72);//对长序列第一段做72点的FFT y1=ye1.*yc;//将上述两个FFT相乘 y1=[y1,zeros(1,448)];//补上448个零,以便相加,以下7段重复上述过程 xe2=xe(65: 128); ye2=fft(xe2,72); y2=ye2.*yc; y2=[zeros(1,64),y2,zeros(1,384)]; xe3=xe(129: 192); ye3=fft(xe3,72); y3=ye3.*yc; y3=[zeros(1,128),y3,zeros(1,320)]; xe4=xe(193: 256); ye4=fft(xe4,72); y4=ye4.*yc; y4=[zeros(1,192),y4,zeros(1,256)]; xe5=xe(257: 320); ye5=fft(xe5,72); y5=ye5.*yc; y5=[zeros(1,256),y5,zeros(1,192)]; xe6=xe(321: 384); ye6=fft(xe6,72); y6=ye6.*yc; y6=[zeros(1,320),y6,zeros(1,128)]; xe7=xe(385: 448); ye7=fft(xe7,72); y7=ye7.*yc; y7=[zeros(1,384),y7,zeros(1,64)]; xe8=xe(449: 512); ye8=fft(xe8,72); y8=ye8.*yc; y8=[zeros(1,448),y8]; y=y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8;//将这8个序列相加,便可得到最终的结果。 y=abs(y); n=1: 520; plot(n,y) (重叠保留法) xe=rand(1,512); xe=[zeros(1,8),xe,zeros(1,56)]//长序列前添8个零,后添56个零,构成576点的序列 n1=0: 3;xc1=n1; n2=4: 7; xc2=8-n2; xc=[xc1,xc2]; yc=fft(xc,72);对短序列做72点的FFT xe1=xe(1: 72);//将所得序列分成8段,每段序列长度为72 ye1=fft(xe1,72);对长序列的第一段做72点的FFT y1=ye1.*yc;将上述两段序列相乘 y1=y1(9: 72);取第一段所得结果的后64点,以下七段同上述布骤。 xe2=xe(73: 144); ye2=fft(xe2,72); y2=ye2.*yc;y2=y2(9: 72); xe3=xe(145: 216); ye3=fft(xe3,72); y3=ye3.*yc; y3=y3(9: 72); xe4=xe(216: 288); ye4=fft(xe4,72);y4=ye4.*yc; y4=y4(9: 72); xe5=xe(289: 360); ye5=fft(xe5,72); y5=ye5.*yc; y5=y5(9: 72); xe6=xe(361: 432); ye6=fft(xe6,72); y6=ye6.*yc; y6=y6(9: 72); xe7=xe(433: 504); ye7=fft(xe7,72); y7=ye7.*yc; y7=y7(9: 72); xe8=xe(505: 576); ye8=fft(xe8,72); y8=ye8.*yc; y=[y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8]//将上述8段合并,变可得到最终结果 y=abs(y); n=1: 520; plot(n,y) 结论: 比较图中序列的线形卷积频谱: 原序列的频谱曲线较线性卷积序列的频谱曲线陡峭,即一个长序列与一个短序列作线性卷积,短序列就相当于一个低通滤波器,滤除长序列的一部分高频分量; 5.用FFT分别计算xa(n)(p=8,q=2)和xb(n)(a=0.1,f=0.0625)的16点循环相关和线形相关,问一共有多少种结果,他们之间有何异同点。 程序: functiony=t27 N=16; n=0: N-1; m=(-N+1): (N-1); xa=exp(-(n-8).^2/2); xb=exp(-0.1*n).*sin(2*pi*0.0625*n); Xa1=abs(fft(xa,N)); Xb1=abs(fft(xb,N)); Xa2=fft(xa,2*N); Xb2=fft(xb,2*N); rm1=real(ifft(conj(Xa1).*Xb1)); rm2=real(ifft(conj(Xa2).*Xb2)); rm2=[rm2(N+2: 2*N)rm2(1: N)]; subplot(2,1,1) stem(n,rm1) subplot(2,1,2) stem(m,rm2) (上面是循环相关,下面是线性相关) 由上图可以看到,16点的循环相关由于高斯噪声的干扰,衰减发生了微小的变化,时间位置不对了。 并且线形相关32点,循环相关只有16点。 6.用FFT分别计算xa(n)(p=8,q=2)和xb(n)(a=0.1,f=0.0625)的自相关函数。 程序: n=0: 15;p=8;q=2; xa=exp(-(n-p).^2/q); a=0.1; f=0.0625; xb=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n); k1=length(xa); k2=length(xb); xak=fft(xa,2*k1); xbk=fft(xb,2*k2); rma=real(ifft(conj(xak).*xak)); rma=[rma(k1+2: 2*k1)rma(1: k1)]; rmb=real(ifft(conj(xbk).*xbk)); rmb=[rmb(k2+2: 2*k2)rmb(1: k2)]; m1=(-k1+1): (k1-1); m2=(-k2+1): (k2-1); subplot(2,1,1); stem(m1,rma); subplot(2,1,2); stem(m2,rmb); (上面是Xa下面是Xb) 由图可以看出最大值出现在0点,这是因为自相关的两个序列是完全一样的,之间不存在延迟。 而且,两个序列的互相关与自相关不相同。 六.思考题: (1)实验中的信号序列Xc(n)和Xd(n),在单位圆上的变化频谱|Xc(exp(jw)|和|Xd(exp(jw))|会相同吗? 如果不同,说出哪一个低频分量更多一些,为什么? 答: 他们的单位圆上的Z变换频谱不同,Xc(n)的时域波形比较平缓,顾其低频分量会多一些。 (2)对于一个有限长度序列进行DFT等价于将该序列周期延拓后进行DFT展开,因为DFS也知识取其中一个周期来运算,所以FFT在一定条件下也可以用以分析周期信号序列。 如果实正弦信号sin(2pi*fn)f=0.1用16点FFT来做DFS运算,得到的频谱是信号本身的真实谱吗? 为什么? 答: 不是信号本身的真实谱。 因为原信号的周期是10,因而进行16点FFT时,其16点的周期延拓后的波形已经不再是原来的波形了。
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- 数字信号 处理 实验 第一次 报告 快速 傅立叶 变换 及其 应用
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