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届上海市静安区高三上学期期末教学质量检测文科数
静安区2017学年第一学期期末教学质量检测
高三年级数学(文科)试卷
(试卷满分150分考试时间120分钟)
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.计算:
.
2.已知集合,,则.
3.已知等差数列的首项为3,公差为4,则该数列的前项和.
4.一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球,从中任意摸出2个,共有种不同结果(用数值作答).
5.不等式的解集是.
6.设,则.
7.已知圆锥底面的半径为1,侧面展开图是一个圆心角为的扇形,则该圆锥的侧面积是.
8.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边在轴的正半轴上,终边在射线()上,则.
9.已知两个向量,的夹角为,,为单位向量,,若,则.
10.已知两条直线的方程分别为:
和:
,则这两条直线的夹角大小为(结果用反三角函数值表示).
11.若,是一二次方程的两根,则.
12.直线经过点且点到直线的距离等于1,则直线的方程是.
13.已知实数、满足,则的取值范围是.
14.一个无穷等比数列的首项为2,公比为负数,各项和为,则的取值范围是.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.在下列幂函数中,是偶函数且在上是增函数的是()
A.B.C.D.
16.已知直线:
与直线:
,记.是两条直线与直线平行的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
17.已知为虚数单位,图中复平面内的点表示复数,
则表示复数的点是()
A.B.C.D.
18.到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为()
A.1个B.4个C.7个D.8个
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
在锐角中,、、分别为内角、、所对的边长,且满足.
(1)求的大小;
(2)若,的面积,求的值.
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分10分.
上海出租车的价格规定:
起步费14元,可行3公里,3公里以后按每公里2.4元计算,可再行7公里;超过10公里按每公里3.6元计算,假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用,也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况,即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
(1)小明乘出租车从学校到家,共8公里,请问他应付出租车费多少元?
(本小题只需要回答最后结果)
(2)求车费(元)与行车里程(公里)之间的函数关系式.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.
如图,正方体的棱长为2,点为面的对角线的中点.平面交与,于.
(1)求异面直线与所成角的大小;(结果可用反三角函数值表示)
(2)求三棱锥的体积.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分8分.
已知函数(其中).
(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)求函数的反函数;
(3)若两个函数与在闭区间上恒满足,则称函数与在闭区间上是分离的.
试判断函数与在闭区间上是否分离?
若分离,求出实数的取值范围;若不分离,请说明理由.
23.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.
在数列中,已知,前项和为,且.(其中)
(1)求;
(2)求数列的通项公式;
(3)设,问是否存在正整数、(其中),使得、、成等比数列?
若存在,求出所有满足条件的数组;否则,说明理由.
静安区2017学年第一学期期末教学质量检测
高三年级数学(文科)试卷答案
(试卷满分150分考试时间120分钟)12
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.计算:
.
解:
.
2.已知集合,,则.
解:
.
3.已知等差数列的首项为3,公差为4,则该数列的前项和.
解:
.
4.一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球,从中任意摸出2个,共有种不同结果(用数值作答).
解:
45.
5.不等式的解集是.
解:
.
6.设,则.
解:
256.
7.已知圆锥底面的半径为1,侧面展开图是一个圆心角为的扇形,则该圆锥的侧面积是.
解:
.
8.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边在轴的正半轴上,终边在射线()上,则.
解:
.
9.已知两个向量,的夹角为,,为单位向量,,若,则.
解:
-2.
10.已知两条直线的方程分别为:
和:
,则这两条直线的夹角大小为(结果用反三角函数值表示).
解:
(或或).
11.若,是一二次方程的两根,则.
解:
-3.
12.直线经过点且点到直线的距离等于1,则直线的方程是.
解:
或.
13.已知实数、满足,则的取值范围是.
解:
.
14.一个无穷等比数列的首项为2,公比为负数,各项和为,则的取值范围是.
解:
.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.在下列幂函数中,是偶函数且在上是增函数的是()
A.B.C.D.
解:
D.
16.已知直线:
与直线:
,记.是两条直线与直线平行的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
解:
B.
17.已知为虚数单位,图中复平面内的点表示复数,
则表示复数的点是()
A.B.C.D.
解:
D.
18.到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为()
A.1个B.4个C.7个D.8个
解:
C.
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
在锐角中,、、分别为内角、、所对的边长,且满足.
(1)求的大小;
(2)若,的面积,求的值.
解:
(1)由正弦定理:
,得,∴,(4分)
又由为锐角,得.(6分)
(2),又∵,∴,(8分)
根据余弦定理:
,(12分)
∴,从而.(14分)
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分10分.
上海出租车的价格规定:
起步费14元,可行3公里,3公里以后按每公里2.4元计算,可再行7公里;超过10公里按每公里3.6元计算,假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用,也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况,即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
(1)小明乘出租车从学校到家,共8公里,请问他应付出租车费多少元?
(本小题只需要回答最后结果)
(2)求车费(元)与行车里程(公里)之间的函数关系式.
解:
(1)他应付出出租车费26元.(4分)
(2).
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.
如图,正方体的棱长为2,点为面的对角线的中点.平面交与,于.
(1)求异面直线与所成角的大小;(结果可用反三角函数值表示)
(2)求三棱锥的体积.
解:
(1)∵点为面的对角线的中点,且平面,
∴为的中位线,得,
又∵,∴,(2分)
∵在底面中,,,∴,
又∵,为异面直线与所成角,(6分)
在中,为直角,,∴.
即异面直线与所成角的大小为.(8分)
(2),(9分)
,(12分)
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分8分.
已知函数(其中).
(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)求函数的反函数;
(3)若两个函数与在闭区间上恒满足,则称函数与在闭区间上是分离的.
试判断函数与在闭区间上是否分离?
若分离,求出实数的取值范围;若不分离,请说明理由.
解:
(1)∵,∴函数的定义域为,(1分)
又∵,
∴函数是奇函数.(4分)
(2)由,且当时,,
当时,,得的值域为实数集.
解得,.(8分)
(3)在区间上恒成立,即,
即在区间上恒成立,(11分)
令,∵,∴,
在上单调递增,∴,
解得,∴.(16分)
23.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.
在数列中,已知,前项和为,且.(其中)
(1)求;
(2)求数列的通项公式;
(3)设,问是否存在正整数、(其中),使得、、成等比数列?
若存在,求出所有满足条件的数组;否则,说明理由.
解:
(1)∵,令,得,∴,(3分)
或者令,得,∴.
(2)当时,,
∴,∴,
推得,又∵,∴,∴,
当时也成立,∴().(9分)
(3)假设存在正整数、,使得、、成等比数列,则、、成等差数列,故(**)(11分)
由于右边大于,则,即,
考查数列的单调性,∵,
∴数列为单调递减数列.(14分)
当时,,代入(**)式得,解得;
当时,(舍).
综上得:
满足条件的正整数组为.(16分)
(说明:
从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分)
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