北师大版小学五年级数学14单元知识点归纳.docx

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北师大版小学五年级数学14单元知识点归纳

北师大版小学数学五年级（上册）知识点

第一单元小数除法

1、除数是整数的小数除法计算法则：

除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。

2、除数是小数的小数除法计算法则：

除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数;除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算。

3、连除的算式可以写成被除数除以几个数的积，但除以几个数的积时，必须给这个相乘的式子加上小括号。

4、在小数除法中的发现：

①当除数不为0时，除数大于1时，商小于被除数。

如：

3.5÷5=0.7

②当除数不为0时，除数小于1时，商大于被除数。

如：

3.5÷0.5=7

（当除数不为0时，除数等于1时，商等于被除数。

如：

3.5÷1=3.5

5、小数除法的验算方法：

①商×除数=被除数（通用）

②被除数÷商=除数

6、商的近似数：

根据要求要保留的小数位数，决定商要除出几位小数，再根据“四舍五入”法保留一定的小数位数，求出商的近似数。

例如：

要求保留一位小数的，商除到第二位小数可停下来;要求保留两位小数的，商除到第三位小数停下来……如此类推。

7、循环小数：

A、小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。

如，0.37、1.4135等。

B、小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。

如5.3…7.145145…等。

C、一个数的小数部分，从某位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。

（如5.3…3.12323…5.7171…）

D、一个循环小数的小数部分，依次不断重复的数字，叫做小数的循环节。

（如5.333…的循环节是3，4.6767…的循环节是67，6.9258258…的循环节是258）

E、用简便方法写循环小数的方法：

①只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上面记一个小圆点。

②例如：

只有一个数字循环节的，就在这个数字上面记一个小圆点，5.333…写作5.3；有两位小数循环的，就在这两位数字上面，记上小圆点，7.4343…写作

7.43；有三位或以上小数循环的，在首位和末位记上小数点，10.732732…写作10.732

8、除法中的变化规律：

①商不变性质：

被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。

②除数不变，被除数扩大，商随着扩大。

③被除数不变，除数缩小，商扩大。

9、小数的四则混合运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。

先算乘除，再算加减。

如果有括号，先算括号里的。

同级运算按照从左到右的顺序依次计算。

如有简便方法可采用“带着符号搬家”的方法进行简便计算。

第二单元轴对称和平移

轴对称：

1.轴对称图形：

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，那条直线就叫做对称轴。

两图形重合时互相重合的点叫做对应点，也叫对称点。

2.轴对称图形的性质：

对应点到对称轴的距离相等，对应点连线垂直于对称轴。

3.轴对称图形具有对称性。

4画轴对称图形的方法：

（1）确定图形的关键点，如图形的顶点、相交点、端点等；

（2）数出或量出图形关键点到对称轴的距离；

（3）在对称轴的另一侧找出关键点的对称点；

（4）按照所给图形的顺序连接各点，就画出所给图形的轴对称图形。

平移：

1.平移的定义：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

2.平移的基本性质：

（1）平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置。

（2）经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。

3.平移图形的画法：

（1）确定平移的方向与距离。

找出图形的关键点或线段。

（2）将关键点或线段按所需方向平移到新位置，描出各点（或线段）。

（3）按原来图形的连接方式依次连接各对应点。

4、平移几格并不是指原图形和平移后的新图形之间的空格数，而是指原图形的关键点平移的格数。

设计图案的基本方法：

平移、对称

1.运用平移设计图案的方法：

（1）选好基本图案；

（2）根据所选的基本图案确定平移的格数和方向；

（3）平移，描出对应点；

（4）按顺序连接对应点

2.运用对称设计图案的方法：

（1）先选好基本图案；

（2）依据基本图案的特点定好对称轴；

（3）选好关键点，并描出关键点的对应点；

（4）按顺序连接对应点，画出基本图形的对称图形；

第三单元倍数和因数

像0，1，2，3，4，5，6，…这样的数是自然数。

整数

像-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数是整数。

我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。

倍数与因数是相互依存的关系，要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。

补充知识点：

一个数的倍数的个数是无限的，因数个数是有限的。

一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数最小的倍数是它

本身，没有最大的倍数。

（一）2，5的倍数的特征

2的倍数的特征：

个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数。

5的倍数的特征：

个位上是0或或5的数是5的倍数。

偶数和奇数的定义：

是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。

补充知识点：

既是2的倍数，又是5的倍数的特征：

个位上是0的数既是2的倍数，

又是5的倍数。

（同时也是10的倍数，最小的两位数是10，最小的三位数是100）

（二）3的倍数的特征

一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

同时是2和和3的倍数的特征：

个位上的数是0，2，4，6，8，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是2的倍数，又是3的倍数。

（同时是2和3的倍数，一定是6的倍数，最小的是6。

）

同时是3和和5的倍数的特征：

个位上的数是0或或5，并且各个数位上

的数字的和是3的倍数的数，既是3的倍数，又是5的倍数。

（同时是

3和5的倍数，一定是15的倍数，最小的是15。

）

同时是2、3和5的倍数的特征：

个位上的数是0，并且各个数位上的

数字的和是3的倍数的数，既是2和5的倍数，又是3的倍数。

（同时是2，3和5的倍数，一定是30的倍数，最小的两位数是30，最小的三位数是120）

9的倍数的特征：

一个数各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数，它也一定是3的倍数。

㈣找因数

在1～100的自然数中，找出某个自然数的所有因数。

方法：

1、列乘法算式，思考：

哪两个数相乘等于这个自然数，那么这两个乘数就是这个数的因数。

2、列除法算式，思考这个数除以几能整除，那么除数和商就是这个数的因数。

补充知识点：

一个数的因数的个数是有限的。

其中最小的因数是1，最大的因数是它

本身。

找一个数的因数，通常用列举的方法，可一对一对的写出来，也

可按从小到大的顺序来写。

㈤找质数

一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。

一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。

1既不是质数也不是合数。

判断一个数是质数还是合数的方法：

一般来说，首先可以用“2，5，3的倍数的特征”判断这个数是否有因数2，5，3；如果还无法判断，则可以用7，1等比较小的质数去试除，看有没有因数7，1等。

只要找到一个1和它本身以外的因数，就能肯定这个数是合数。

如果除了1和它本身找不到其他因数，这个数就是质数。

㈥数的奇偶性

运用“列表”“画示意图”等方法发现规律：

小船最初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。

通过“列表”“画示意图”的方法会发现“奇数次在北岸，偶数次在南岸”的规律。

关键点：

弄清楚起始状态

通过计算发现奇数、偶数相加奇偶性变化的规律：

偶数+偶数=偶数奇数+奇数=偶数偶数+奇数=奇数

偶数-偶数=偶数奇数-奇数=偶数偶数--奇数=奇数

奇数-偶数=奇数

偶数×偶数=偶数偶数×奇数=偶数奇数×奇数=奇数

第四单元多边形面积

㈠比较图形的面积

借助方格纸，能直接判断图形面积的大小。

平面图形面积大小的比较有多种方法：

根据图形面积的大小，可以直接进行比较；可以借助参照物进行比较；

可以运用重叠的方法进行比较；借助方格，利用数方格的的方法进行比较；直接计算面积后再进行比较等。

（1）割补法

（2）数方格法（3）重叠法（4）合拼法

图形面积相同，其形状可以是不同的。

补充知识点：

确定一个图形面积的大小，不仅是根据图形的形状，更重要的是根据图

形所占格子的多少来确定。

（二）动手做

认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。

三角形有3条高。

平行四边形和梯形都有无数条高。

垂足所在的边就是高所对应的底。

从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。

三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。

从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是梯形的高，这条对边就是梯形的底。

高和底的关系是对应的。

用三角板画出平行四边形的高的方法：

（在两条平行边之间画垂线段）

把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合，让三角板的另一条直角边过对边的某一点。

从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从点到垂足）就是平行四边形一条边上的高。

注意：

从一条边上的任意一点可以向它的对边画高，也可以从另一条边上的任意一点向它的对边画高。

用三角板画出三角形的高的方法：

（从顶点向对边画垂线段）

把三角板的一条直角边对准三角形的一个顶点，另一条直角边与这个顶点的对边重合。

从这个顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从顶点到垂足）就是三角形形一条边上的高。

用三角板画梯形的高的方法：

（在上下低之间画垂线段）

用同样的方法，画出梯形两条平行线之间的垂直线段，就是梯形的高。

（一）平行四边形的面积

平行四边形的面积=拼成的长方形的面积

长方形的长就是平行四边形的底；长方形的宽就是平行四边形的高。

因此：

平行四边形面积=底×高

如果用S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和

高，那么，平行四边形的面积公式可以写成：

S=aha=s÷hh=s÷a

补充知识点：

当平行四边形的底和高相等时，其面积也是相等的。

（二）三角形的面积

三角形面积=两个相同三角形拼成的平行四边形的面积÷2

三角形的底和高，也就是平行四边形的底和高。

因此：

三角形面积=平行四边形的面积÷2=底×高÷2

如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，那么，三角形的面积公式可以写成：

S=ah÷2a=2s÷hh=2s÷a

补充知识点：

决定三角形面积的大小的因素不是图形的形状，而是三角形的底与高的长度，只要底和高相同，不同形状的三角形的面积也是相同的。

（三）梯形的面积

梯形面积=两个相同梯形拼成的平行四边形的面积÷2

梯形的上底与下底的和就是平行四边形的底，梯形的高就是平行四边形的高。

因此:

梯形面积=平行四边形面积÷2=底×高÷2=（上底+下底×高÷2

如果用S表示梯形的面积，用a和b分别表示梯形的上底和下底，用h表示梯形的高，那么，梯形的面积公式可以写成：

S=（a+b）h÷2

a=2s÷h－bb=2s÷h－ah=2s÷（a＋b）

补充知识点：

决定梯形面积的大小的因素不是图形的形状，而是梯形的上、下底之和与高的长度，只要上下底的和与高相同，不同形状的梯形的面积也是相同的。

等底等高的三角形的面积相等。

等底等高的平行四边形的面积相等。

去尾法和进一法练习题 

一、去尾法

1、一块布可以做5.8件同样的衣服，实际做了（      ）件。

2、一堆木料可以做8.8张写字台，实际做了（     ）张。

昨天，一批工人生产的零件可以组装5.6台电视机，实际组装了（    ）台。

3、游乐园门票2元一张，5.8元可以买多少张？

10元呢？

10.6元呢？

9.8元呢？

4、学校运回124套课桌椅，每间教室需要摆放25套，够几间教室？

二、进一法 

1、一堆煤用一辆汽车2.8次可以运完，实际要运（    ）次。

2、山上的游客一次运完需要5.3辆客车，实际用了（  ）辆客车。

一间教室的地砖一天铺完需要3.6个工人，实际需要（      ）个工人；如果一天铺完需要3.3个工人，实际需要（      ）个工人。

3、妈妈榨回26千克菜油，如果5千克装一桶，需要准备多少个油桶？

如果6千克装一桶，则需要准备多少个油桶？

4、仓库里有520袋面粉，1个工人1天可以搬80袋，多少个工人1天可以搬完？

如果1个工人1天搬100袋，多少个工人1天可以搬完

　75.怎样利用乘法分配律进行简便运算？

　　让我们先解答一道题，研究利用乘法分配律进行简便运算的情况。

　　例如：

某校买了23张办公桌，单价是106元，求共用了多少钱？

　　这道题列式为：

106×23，按照正常的计算方法，是三位数乘以两位数，用竖式进行计算时，过程是比较繁杂的，如果利用乘法分配律，则可以使运算变得简便。

　　106×23=（100＋6）×23

　　=100×23＋6×23

　　=2300＋138

　　=2438（元）

　　又如，遇到如下情况的题目，也可以利用乘法分配律进行简便运算。

　　29×7+55×7+16×7=（29＋55+16）×7

　　=100×7

　　=700

　　这道题里的三项都有因数7，针对这种情况，就可以利用乘法分配律进行简便运算。

91.除法和减法有什么关系？

　　除法可以看作是连续减去相同数的减法。

被除数相当于被减数，除数可以看作是相同的减数，连续减的最多的次数就是商，最后的差就是余数（可能是零）。

　　例如：

（1）35÷7=5

　　也就是35-7×5=0

　　于是35-（7＋7+7+7＋7）=0

　　所以35-7-7-7-7-7=0.

　　又如：

（2）97÷23=4（余5）

　　也就是97-23×4=5

　　所以97-23-23-23-23=5.

　　110.在求近似数时，有时使用“进一法”，有时使用“去尾法”，这是怎么一回事儿？

　　进一法--在截取数的近似值时，把舍去的部分去掉后，在保留部分的末位上加1，这种截取数的近似值的方法，叫做进一法。

例如，把π=3.14159……用进一法截取到百分位时，近似值为3.15。

　　在日常生活中，针对实际情况需要采取进一法。

例如：

每条麻袋能装粮食75公斤，现在有1380公斤粮食，需要麻袋多少条？

　　解：

1380÷75=18.4（条），

　　或1380÷75=18（余30）。

　　结果得18.4条，如果按照四舍五入法截取近似值，那么应该得18条麻袋。

如果只用18条麻袋的话，余下的30公斤粮食往哪里装呢？

根据题意，要用进一法取近似值。

即

　　1380÷75=18.4≈19（条）

　　答：

需要麻袋19条。

　　去尾法--在截取数的近似值时，把舍去的部分去掉后，所保留的数不变，这种截取数的近似值的方法，叫做去尾法。

例如，把π=3.14159……用去尾法截取到千分位时的值为3.141。

　　在日常生活中，针对实际情况需要采取去尾法。

例如：

每件儿童衣服要用布1.2米，现有布17.6米，可以做这样的衣服多少件？

　　解：

17.6÷1.2=14.66……

　　或17.6÷1.2=14（余0.8）

　　结果得14.66……，如果按照四舍五入法截取近似值，那么应该得15件。

但是做衣服的事儿，大家都明白，剩下的布虽然能做0.6件，但是不够做成一件的布，只能采取去尾法。

即

　　17.6÷1.2=14.66……≈14（件）

答：

可以做成这样的衣服14件。

　117.小数乘法的运算法则是怎样规定的？

　　小数乘法的法则可按照以下步骤进行：

（1）先按照整数乘法的法则求出积；

（2）再看被乘数和乘数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；

　　（3）如果小数的末尾出现0时，根据小数的基本性质，把小数末尾的0划去。

　　例1：

6.49×7.5=48.675

　　例2：

取积的近似值（得数保留两位小数）

　　5.46×1.67=9.1182≈9.12

118.小数除法的运算法则是怎样规定的？

（1）除数是整数的小数的除法

　　除数是整数的小数除法，可按照以下步骤进行计算：

　　①先按照整数除法的法则去除；

　　②商的小数点要和被除数的小数点对齐；

　　③除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数后面添0，再继续除。

　　例1：

117÷36=3.25

（2）除数是小数的小数除法

　　除数是小数的小数除法，可按照以下步骤进行计算：

　　①先把除数的小数点去掉使它变成整数；

　　②看除数原来有几位小数，就把被除数小数点向右移动相同的几位（位数不够时补0）；

　　③按照除数是整数的除法进行计算。

　　例2：

104.4÷7.25=14.4

　　（3）取商的近似值

　　在实际生活和生产中，常常遇到小数除法不能除尽或所得的商的小数位数太多，但实际又不需要，可以根据要求和具体情况取商的近似值。

　　例3：

122÷16≈7.6（得数保留一位小数）

229．去括号与添括号的法则指的是什么？

去括号的法则是：

括号前面是“+”号，去括号时，括号里的各项都不变；括号前面是“-”号，去括号时，括号里的各项都变号。

例如；

5a+（4b-3a）-（2b+a）=5a+4b-3a-2b-a=a+2b。

添括号的法则是：

添括号时，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。

例如：

4a-3b-2c=4a-（3b+2c）；

7a+2b-5c=7a+（2b-5c）。

240．比、除法、分数这三者之间，有什么联系和区别？

260：

什么叫做化法和聚法？

怎样进行化法、聚法的教学？

　　化法--把高级单位的单名数或复名数变成低级单位的单名数，叫做化法。

　　例如：

12米6厘米=（ ）厘米。

　　12米6厘米=1206厘米。

　　聚法--把低级单位的单名数变成高级单位的单名数或复名数，叫做聚法。

　　例如：

20875千克=（ ）吨（ ）千克。

　　20875千克=（20）吨（875）千克。

　　化法是用相应的进率乘以高级单位的量数。

例如，5米=？

厘米，用进率100乘以5，就得到5米=500厘米，如果是5米70厘米=？

厘米，那么在500的基础上再加上70，得5米70厘米=570厘米。

　　聚法是用低级单位的量数除以相应的进率，所得的商就是高级单位的量数；如果有余数，则余数仍是低级单位的量数。

根据需要，余数也可以继续除下去，把得到的小数商作为高级单位的量数。

例如，75000千克=？

吨，用进率1000去除，得到75000千克=75吨，如果是75300千克，就得到75300千克=75吨300千克；根据需要，也可以把300继续除以1000，得到75300千克=75.3吨。

　　由于计量单位之间的进率很多是10、100、1000的，因此，化法和聚法一般用口算就可以了。

在口算时，要针对学生容易产生的错误进行练习。

例如：

（1）学生容易产生漏写0的错误。

（2）学生容易产生多写0的错误。

　　有时，学生容易把不同的进率相互混淆，以致造成化聚错误。

例如，4.25小时误以为是4小时25分。

教学时可以对各种进率进行比较归纳。

例如，千米与米，吨与千克，千克与克，升与毫升等单位之间的进率都是1000；小时与分，分与秒之间的进率是60。

如果两个相邻长度单位之间的进率就是10，那么与它们相应的面积单位之间的进率就是100，那么与它们相应的体积单位之间的进率就是1000。

308．什么叫做割补法和分割法？

　　割补法和分割法都是计算平面几何图形面积的推导方法，也是一种思考方法。

在面积和体积教学中，都有着广泛的应用。

　　割补法是指：

把一个图形的某一部分割下来，填补在图形的另一部分，在原来面积不变的情况下，使其转化为已经掌握的旧的图形，以利于计算公式的推导。

平行四边形通过割补可转化为长方形（或正方形），梯形通过割补可转化为平行四边形，圆通过割补可转化为近似长方形等。

（1）平行四边形割补后转化为长方形：

（2）梯形割补后转化为平行四边形：

　　分割法是指：

对一些不规则图形的面积，不能使用割补法，可以利用不规则图形的凹凸特点，将其分割成若干个可以计算的规则图形（如：

长方形、三角形、梯形、……），先将各个规则图形的面积计算出来，然后再把这些规则图形的面积加在一起，总面积就是不规则图形的面积。

这种计算不规则图形的方法，叫做分割法。