异面直线的夹角线面角含答案.docx
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异面直线的夹角线面角含答案.docx
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异面直线的夹角线面角含答案
空间角
1异面直线所成角的求法一是几何法,二是向量法。
异面直线所成的角的范围:
(°,"2】*
几何法求异面直线所成角的思路是:
通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线,进而利用平面几何知识求解。
基本思路是选择合适的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点。
常见三种平移方法:
直接平移:
中位线平移(尤其是图中出现了中点):
补形平移法:
“补形法”是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几何体来处理,利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1在正方体ABCDABCD中,E是AB的中点,
(1)求bA与cC夹角的度数.
(2)求bA与CB夹角的度数.
(3)求AE与CB夹角的余弦值.
例2:
长方体ABCD-ABCD中,若AB=BC=3AA=4,求异面直线BiD与BC所成角的余弦值。
直接平移:
常见的利用其中一个直线a和另一个直线b上的一个已知点,构成一个平面,在此平面内做直线平行线。
解法一:
如图④,过B点作BE//BC交CB的延长线于E点。
则/DBE就是异面直线DB与BC所成角,连结DE交AB于MDE=2DM=35,
fVI-4
解法二:
如图⑤,在平面DDBB中过B点作BE/DB交DB的延长线于E,则ZCBE就是异面直线DB与BC所成的
角,连结C丘,在厶BiCE中,
ZCBE=135°,CE=35,
COSZCBE=
课堂思考:
1.如图,PA矩形ABCD已知PA=AB=8BC=10,求AD与PC所成角的余切值为。
2.在长方体ABCD-ABCD中,若棱BBi=BC=1AB=J3,求DB和AC所成角的余弦值
例3如图所示,长方体ABCD-ABCD中,/ABA=45°,/AAD=60°,求异面直线AB与AD所成的角的度数•
课堂练习
例3题图
n
1、线面角的范围:
[0,―].
2、线面角的求法
1)解决该类问题的关键是找出斜线在平面上的射影,然后将直线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角.在某一直角三角形内求解.
2)线面角的求法还可以不用做出平面角.可求出线上某点到平面的距离d,利用sina=~d可求•
直接法:
平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段,垂线段,斜线在平面内的射影所组成的直角三角形,垂线段是其中最重要的元素,它可以起到联系各线段的作用。
例1(如图1)四面体ABCS中,SA,SB,SC两两垂直,/SBA=45,/SBC=60,M为AB的中点,
求
(1)BC与平面SAB所成的角。
(2)SC与平面ABC所成的角。
解:
(1)•/SCLSB,SC丄SA,
•••SC丄平面SAB故SB是斜线BC在平面SAB上的射影,
•••/SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。
(2)连结SM,CM则SMLAB,
又•••SCLAB,「.AB丄平面SCM,
•••面ABCL面SCM
过S作SHLCM于H,则SH丄平面ABC
•CH即为SC在面ABC内的射影。
/SCH为SC与平面ABC所成的角。
sin/SCH=SH/SC
•SC与平面ABC所成的角的正弦值为V7/7
(“垂线”是相对的,SC是面SAB的垂线,又是面ABC的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理,其思路是:
先找出与已知平面垂直的平面,然后一面内找出或作出交线的垂线,则得面的垂线。
)
2.利用公式sin0=h/i
其中B是斜线与平面所成的角,h是垂线段的长,i是斜线段的长,其中求出垂线段的长(即斜线上的点到面的
距离)既是关键又是难点,为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2(如图2)长方体ABCD-ABQD,AB=3,BC=2,AiA=4,求AB与面ABQD所成的角。
解:
设点B到ABCD的距离为h,
VB-ABIC仔VA-BB1C1...1/3S△AB1C1•h=1/3S△BB1C1•AB易得h=12/5
设AB与面AB1C1D所成的角为B,则sin0=h/AB=4/5
例3、如图甲,在平面四边形ABCD^ZA=45°,/C=90。
,/ADC=105°,AB=BD再将四边形ABCD&BD折起,使平面ABDL平面BDC如图乙),设点E、F分别为棱ACAD的中点.
又/DCB=90°,二DCLBC且ABHBC=B.
设CD=a,贝VBD=2a,BC=J3a,
•••在Rt△FEB中,sin/FBE=囂=—
BF^2a
即BF与平面ABC所成角的正弦值为
练习3在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长
相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BBIC1C的中心,则AD与平面BB1CIC所成角的大小是()答案:
C
A.30°B.45°
C.60°D.90
边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.
即F到平面SBC勺距离为
课后作业、如图,在四棱锥P-ABCD^,PAL底面ABCDABLADACLCD
/ABC=60°,PA=AB=BCE是PC的中点.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;
⑵证明AEL平面PCD
(3)求二面角A—PD—C的正弦值.
思维启迪:
(1)先找出PB和平面PAD所成的角,线面角的定义要能灵活运用;
(2)可以利用线面垂直根据二面角的
定义作角.
(1)解在四棱锥P-ABC[中,
因PAL底面ABCDAE?
平面ABCD
故PALAB又A吐ADPAHAD=代
从而AB丄平面PAD
故PB在平面PAD内的射影为PA从而/APB为PB和平面PAD所成的角.
在Rt△PAB中,AB=PA故/APB=45°.
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45
⑵证明在四棱锥P-ABCD中,
因PAL底面ABCDCD?
平面ABCD
故CDLPA由条件CDLACPAHAC=A,
•••CD丄平面PAC
又AE?
平面PAC•-AE!
CD.
由PA=AB=BC/ABC=60°,可得AC=PA
•/E是PC的中点,•AELPC
又PCHCD=C,综上得AE!
平面PCD
⑶解过点E作EMLPD垂足为M连接AM如图所示.由⑵知,AE!
平面PCDAM在平面PCD内的射影是EM则AMLPD.
因此/AME1二面角A-PD—C的平面角.
由已知,可得/CAD=30°.设AC=a,可得
咲a,AD^a,唤导,AE=為
亠—小PA・AD
在Rt△AD冲,•••AMLPD•-AMPD=PA-AD贝UAM=“=lPD血va
AE14
在Rt△AEM中,sin/AME=AT丁所以二面角A—PD—C的正弦值为
探究提高
(1)求直线与平面所成的角的一般步骤:
①找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成;
②计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行,在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,再过垂足作二面角的棱的垂线,两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直,由此可得二面角的平面角.
正方体
ABCDABGD中,BB与平面ACD所成角的余弦值为
答案D
解析如图,连接BD交AC于Q连接DO,由于BB//DD,
平面ACD所成的角•易知/DDO即为所求•设正方体的棱长为
则DD=1,D3#DO-罟,
DD2J6
•cos/DD>dot飞=T.
•BB与平面ACD所成角的余弦值为-3
3
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