微积分公式大全doc.docx
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微积分公式大全doc
导数公式:
(tanx)sec2x
(cotx)csc2x
(secx)secxtanx
(cscx)cscxcotx
(ax)axlna
(xx)xx(lnx1)
1
(logax)
xlna
(arcsin
x)
1
1
x2
(arccos
x)
1
1
x2
(arctan
x)
1
2
1x
(arc
cot
x)
1
1
x2
(thx
)
1
ch2
tanxdx
lncosx
C
cotxdx
lnsinx
C
secxdx
lnsecx
tanx
C
cscxdx
lncscx
cotx
C
dx2
cos2xsecxdxtanxC
dxcsc2xdxcotxC
sin2x
secxtanxdxsecxC
cscxcotxdxcscxC
dx
22
ax
x2a2
dx
22
ax
a2x2
1arctanx
C
a
a
1lnx
a
C
2a
x
a
1
a
x
C
2a
ln
x
a
arcsinx
C
a
axdx
ax
C
lna
shxdx
chx
C
chxdx
shx
C
dx
ln(x
x2
a2)C
x2
a2
2
sinnxdx
2
cosnxdx
n1
In
In2
0
0
n
x
2
a
2
dx
x
x
2
a
2
a2
x
2
a
2
)
C
2
ln(x
2
x2
a2dx
x
x2
a2
a2lnx
x2
a2
C
2
2
a
2
x
2
dx
x
a
2
x
2
a2
x
C
2
arcsin
a
2
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
sinx
2u
,cosx
1
u
2
,
utgx,dx
2du
1
u2
1
u
2
2
1u2
一些初等函数:
双曲正弦
:
shx
ex
ex
2
双曲余弦
:
chx
ex
ex
2
双曲正切
:
thx
shx
ex
e
chx
ex
e
arshx
ln(x
x
2
)
1
archx
ln(x
x2
1)
arthx
1ln1
x
2
1
x
两个重要极限:
lim
sinx
1
x
x0
lim(11)x
e2.718281828459045...
xx
x
x
三角函数公式:
sinsin2sincos
22
sinsin2cossin
22
coscos2coscos
22
coscos2sinsin
22
sin
cos
1
sin(
)
sin(
)
2
cos
sin
1
sin(
)
sin(
)
2
cos
cos
1
cos(
)
cos(
)
2
sin
sin
1
)
cos(
)
cos(
2
·和差化积公式:
·积化和差公式:
sin(
)
sin
cos
cos
sin
cos(
)
cos
cos
m
sin
sin
tan(
)
tan
tan
1mtan
tan
cot(
)
cot
cot
m1
cot
cot
2tanx
1
tan2
x
sinx
2
,cosx
2
1
tan2
x
1
tan2
x
2
2
cos2x
1
1
,sin2x
tan2x
tan2
x
1tan2x
tan2x
sec2x
1,cot2x
csc2x1
|sinx|
|x|
|tanx|
·和差角公式:
·万能公式、正切代换、其他公式:
·倍角公式:
sin2
2sin
cos
4sin3
cos2
2cos2
112sin2
cos2
sin2
sin3
3sin
cot2
cot2
1
cos3
4cos3
3cos
2cot
tan3
3tan
tan3
2tan
13tan2
tan2
1tan2
·半角公式:
sin
1
cos
cos
1
cos
2
2
2
2
tan
1
cos
1
cos
sin
cot
1
cos
1cos
sin
1
cos
sin
1cos
1
cos
sin
1cos
2
2
a
b
c
2R
·正弦定理:
sinA
sinB
sinC
·余弦定理:
c2
a2
b2
2abcosC
arcsinxarccosxarctanxarccotx
·反三角函数性质:
22
高阶导数公式——莱布尼兹(
Leibniz)公式:
n
(uv)(n)
Cnku(nk)v(k)
k0
u(n)v
nu(n1)v
n(n
1)u(n2)v
n(n1)(nk1)u(nk)v(k)
uv(n)
2!
k!
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)
柯西中值定理:
f(b)f(a)f()(ba)
f(a)f()
F(a)F()
当F(x)x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率:
弧微分公式:
ds
1
y2dx,其中y
tg
平均曲率:
K
.
:
从M点到M点,切线斜率的倾角变
化量;
s:
MM弧长。
s
M点的曲率:
K
lim
d
y
.
sds
2
s0
(1y
)
3
直线:
K0;
半径为a的圆:
K
1.
a
定积分的近似计算:
b
b
a(y0y1
矩形法:
f(x)
yn1)
a
n
b
b
a[1(y0
梯形法:
f(x)
yn)
y1
yn1]
a
n
2
b
ba[(y0
抛物线法:
f(x)
yn)
2(y2
y4
yn2)4(y1y3
yn1)]
a
3n
定积分应用相关公式:
功:
WFs
水压力:
F
p
A
引力:
F
km1m2,k为引力系数
r2
b
函数的平均值:
y
1
f(x)dx
baa
b
均方根:
1
f2(t)dt
b
aa
空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离:
d
M1M2
(x2
x1)2
(y2
y1)2
(z2
z1)2
向量在轴上的投影:
PrjuAB
AB
cos,
是AB与u轴的夹角。
Prju(a1
a2)Prja1
Prja2
aba
bcos
axbx
ayby
azbz,是一个数量,
两向量之间的夹角:
cos
axbx
ayby
azbz
ax2
ay2
az2
bx2
by2
bz2
i
j
k
cab
ax
ay
az,c
a
bsin.例:
线速度:
v
w
r.
bx
by
bz
ax
ay
az
向量的混合积:
[abc]
(a
b)
c
bx
by
bz
a
b
ccos,为锐角时,
cx
cy
cz
代表平行六面体的体积
。
平面的方程:
1、点法式:
A(x
x0)
B(y
y0)
C(zz0)0,其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)
2、一般方程:
Ax
By
Cz
D
0
3、截距世方程:
x
y
z
1
a
b
c
平面外任意一点到该平
面的距离:
d
Ax0By0
A2
B2
空间直线的方程:
x
x0
yy0z
z0
t,其中s
m
n
p
二次曲面:
1、椭球面:
x2
y2
z2
1
a2
b2
c2
、抛物面:
x2
y2
(
p,q
同号)
2
2q
z,
2p
3、双曲面:
Cz0D
C2
x
x0
mt
{m,n,p};参数方程:
y
y0
nt
z
z0
pt
单叶双曲面:
x2
y2
z2
1
a2
b2
c2
双叶双曲面:
x2
y2
z2
(马鞍面)
a2
b2
c2
1
多元函数微分法及应用:
全微分:
dz
zdx
zdy
du
udx
udy
udz
x
y
x
y
z
全微分的近似计算:
z
dz
fx(x,y)x
fy(x,y)
y
多元复合函数的求导法
:
z
f[u(t),v(t)]
dz
z
u
z
v
dt
u
t
v
t
z
f[u(x,y),v(x,y)]
z
z
u
z
v
x
u
x
v
x
当
u
,
v(x,y)
时,
u(x,y)
v
du
udx
udy
dv
vdx
vdy
x
y
x
y
隐函数的求导公式:
隐函数
F(x,y)
,
dy
Fx,
d2y
Fx
+
Fx
dy
0
dx
Fy
dx2
(
)
(
)
xFy
yFy
dx
隐函数
,z
Fx,
z
Fy
F(x,y,z)0
x
Fz
y
Fz
隐函数方程组:
F(x,y,u,v)
0
(F,G)
F
F
Fu
Fv
J
u
v
G(x,y,u,v)
0
(u,v)
G
G
Gu
Gv
u
v
u
1
(F,G)
v
1
(F,G)
x
J
(x,v)
x
J
(u,x)
u
1
(F,G)
v
1
(F,G)
y
J
(y,v)
y
J
(u,y)
微分法在几何上的应用:
x
(t)
空间曲线y
(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程:
x
x0
y
y0
z
z0
z
(t)
(t0)
(t0)
(t0)
在点M处的法平面方程:
(t0)(x
x0)
(t0)(y
y0)
(t0)(z
z0)
0
F(x,y,z)0
则切向量T{
Fy
Fz
Fz
Fx
Fx
Fy
}
若空间曲线方程为:
Gy
Gx
Gy
G(x,y,z)0
GzGz
Gx
曲面F(x,y,z)
0上一点M(x0,y0,z0),则:
1、过此点的法向量:
n
{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}
2、过此点的切平面方程
:
Fx(x0,y0,z0)(x
x0)
Fy(x0,y0,z0)(y
y0)
Fz(x0,y0,z0)(zz0)0
3、过此点的法线方程:
xx0
yy0
z
z0
Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)
Fz
(x0,y0,z0)
方向导数与
梯度:
函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为:
f
f
cos
f
sin
l
x
y
其中为x轴到方向l的转角。
函数
zf(x,y)
在一点
的梯度:
gradf(x,y)
f
i
f
p(x,y)
x
j
y
它与方向导数的关系是:
f
,其中
e
cosi
sinj
,为
l
方向上的
gradf(x,y)
e
l
单位向量。
f是gradf(x,y)在l上的投影。
l
多元函数的极值及其求法:
设fx(x0,y0)
fy(x0,y0)
0,令:
fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C
AC
2
A0,(x0,y0)为极大值
B
0时,
B2
A0,(x0,y0)为极小值
则:
AC
0时,
无极值
AC
B2
0时,
不确定
重积分及其应用:
f(x,y)dxdy
f(rcos
rsin
)rdrd
D
D
2
z
2
曲面zf(x,y)的面积A
1
z
dxdy
x
y
D
Mx
x
(x,y)d
My
y(x,y)d
平面薄片的重心:
x
D
y
D
M
(x,y)d
M
(x,y)d
D
D
平面薄片的转动惯量:
对于x轴Ix
y2
(x,y)d
对于y轴Iy
x2
(x,y)d
D
D
平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M
(0,0,a),(a
0)的引力:
F
{Fx,Fy,Fz},其中:
(x,y)xd
3,
Fy
f
(x,y)yd
Fz
fa
(x,y)xd
Fxf
3,
3
D(x2
y2
a2)2
D(x2
y2
a2)2
D(x2
y2
a2)2
柱面坐标和球面坐标:
x
rcos
柱面坐标:
y
rsin
f(x,y,z)dxdydz
F(r,
z)rdrd
dz,
z
z
其中:
F(r,,z)
f(rcos
rsin
z)
x
rsin
cos
球面坐标:
y
rsin
sin
,
dvrd
rsin
d
dr
r2sin
drd
d
z
rcos
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