概率论与数理统计及其应用第二版课后答案075321.docx
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概率论与数理统计及其应用第二版课后答案075321
概率论与数理统计及其
应用第二版课后答案
-CAL-FENGHAL-(YICAI)-CompanyOne1
第1章随机变量及其概率
1,写出下列试验的样本空间:
(1)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次,记录投掷的次数。
(2)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次,
记录投掷的次数。
(3)连续投掷一枚硬币直至正而出现,观察正反而出现的情况。
(4)抛一枚硬币,若出现H则再抛一次;若出现T,则再抛一颗骰
子,观察出现的各种结果。
解:
(1)S={2,3,4,5,6,7};
(2)S={2,3,4,・};(3)
S={HJH,7777,TTTH、•••);(4)S={HH、HT、T\、T2、T3、T4,T5,T6}。
2,设A,3是两个事件,己矢InP(A)=0.25,P(B)=0.5,P(AB)=0.125,,求
P(AuB),P(AB),P(AB),P[(Au。
解:
P(A P(AB)=P[(S-A)B]=P(B)-P(AB)=0.375, P(AB)=1-P(AB)-0.875, P[(AuB)(AB)]=P[(AuB)(S-AB)]=P(A5)-P[(AuB)(AB)]=0.625-P(AB)=0.5 3,在100,101,999这900个3位数中,任取一个3位数,求 不包含数字1个概率。 解: 在100,101,999这900个3位数中不包含数字2的3位 数的个数为8x9x9=648,所以所求得概率为 648门” ——=0.72 900 4,在仅由数字0,1,2,3,4,5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中,任取一个三位数。 (1)求该数是奇数的概率; (2)求该数大于330的概率。 解: 仅由数字0,1,2,3,4,5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有5x5x4=100个。 (1)该数是奇数的可能个数为4x4x3=48个,所以出现奇数的概率为 —=0.48 100 (2)该数大于330的可能个数为2x4+5x4+5x4=48,所以该数大于330的概率为 5,袋中有5只白球,4只红球,3只黑球,在其中任取4只,求下列事件的概率。 (1)4只中恰有2只白球,1只红球,1只黑球。 (2)4只中至少有2只红球。 (3)4只中没有白球。 解: (2)所求概率为竺字1=兰; Cn33 (2)所求概率为U=巴=竺; G;495165 (3)所求概率为^=—=—o C,t495165 6,一公司向M个销售点分发n(n )张提货单的概率。 解: 根据题意,曲yM)张提货单分发给M个销售点的总的可能分法 有种,某一特定的销售点得到斤伙G? )张提货单的可能分法有 C: (M-1)“种,所以某一特定的销售点得到k伙「2)张提货单的概率 为 JAT° 7,将3只球(1~3号)随机地放入3只盒子(2~3号)中,一只盒子装一只球。 若一只球装入与球同号的盒子,称为一个配对。 (1)求3只球至少有1只配对的概率。 (2)求没有配对的概率。 解: 根据题意,将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3! =6 种: 123,132,213,231,312,321;没有1只配对的放法有2 种: 312,231o至少有2只配对的放法当然就有6-2二4种。 所以 (2)没有配对的概率为-= 63 (I)至少有1只配对的概率为l--=-o 33 8, (1)设P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1,,求 P(AIP(BIA),P(A\A (2)袋中有6只白球,5只红球,每次在袋中任取2只球,若取到白球,放回,并放入1只白球;若取到红球不放回也不放入另外的球。 连续取球4次,求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。 解: (1)由题意可得P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7,所以 c…P(AB)°.l1P(AB)0.11 P(AIB)==——=—,P(BIA)==——=—, P(B)0.33P(A)0.55 (2)设&(心123,4)表示“第i次取到白球”这一事件,而取到红球 可以用它的补来表示。 那么第一、二次取到白球且第三、四次取到 红球可以表示为£生忑瓦,它的概率为(根据乘法公式) P(AlA2A3A4)=P(Al)P(A2IAJP(爲Ia}a2)p(a4\a/2兀) 6754 —X—X—X—11121312 9,一只盒子装有2只口球,2只红球,在盒中取球两次,每次任取一只,做不放回抽样,己知得到的两只球中至少有一只是红球,求 另一只也是红球的概率。 解: 设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A,“另一只也是红球”记为事件B。 则事件A的概率为 P(A)=2x-x-+-xl=-(先红后th先口后红,先红后红) 43436 所求概率为 2]_ P(A)55 6 10,一医生根据以往的资料得到下而的讯息,他的病人中有5%的人以为自己患癌症,且确实患癌症;有45%的人以为自己患癌症,但实际上未患癌症;有20%的人以为自己未患癌症,但确实患了癌症;最后40%的人以为自己未患癌症,且确实未患癌症。 以4表示事件“一病人以为自己患癌症”,以B表示事件“病人确实患了癌症”,求下列概率。 (1)P(A),P(B); (2)P{BIA);(3)P(BM);(4)P(AIB); (5)P(AIB)o 解: (1)根据题意可得 P(A)=P(AB)+=5%+45%=50%; P(B)=P(BA)+P(丽)=5%+10%=15%; (2)根据条件概率公式: P(BIA)=^^=—=o.l; P(A)50% (3) 1-50% ⑷吶盼籍二衆洛 (5)讣)=少墾更丄 P(B)15%3 11,在11张卡片上分别写上engineering这11个字母,从中任意连抽6张,求依次排列结果为ginger的概率。 解: 根据题意,这M个字母中共有2个g,2个i,3个n,3个e, 1个r。 从中任意连抽6张,由独立性,第一次必须从这张中抽出2个g中的任意一张来,概率为2/12;第二次必须从剩余的10张中抽出2个i中的任意一张来,概率为2/10;类似地,可以得到 6次抽取的概率。 最后要求的概率为 12, 据统计,对于某一种疾病的两种症状: 症状A、症状B,有20%的人只有症状A,有30%的人只有症状B,有10%的人两种症状都有,其他的人两种症状都没有。 在患这种病的人群中随机地选一人,求 (1)该人两种症状都没有的概率; (2)该人至少有一种症状的概率; (3)己知该人有症状B,求该人有两种症状的概率。 解: (1)根据题意,有40%的人两种症状都没有,所以该人两种症状都没有的概率为1-20%-30%-10%=40%; (2)至少有一种症状的概率为1-40%=60%; (3)己知该人有症状B,表明该人属于由只有症状B的30%人群或者两种症状都有的20%的人群,总的概率为30%+10%=40%,所以在己知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为 10%_1 30%+10%_4° 13,一在线计算机系统,有4条输入通讯线,其性质如下表,求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。 通讯线通讯量的份额无误差的讯息的份额 1 2 3 4 解: 设“讯号通过通讯线i进入计算机系统”记为事件&(山123,4), “进入讯号被无误差地接受”记为事件3。 则根据全概率公式有 4 P(B)=工P(4)P(BI4)=0.4X0.9998+0.3x0.9999+0.1x0.9997+0.2x0.9996 14,一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法,对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果;而对于己知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。 己知人群中有10%的人患有关节炎,问一名被检验者经检验,认为他没有关节炎,而他却有关节炎的概率。 解: 设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A,“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件8。 根据全概率公式有 P(A)=P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB)=10%x85%+90%x4%=12.1%>所以,根据条件概率得到所要求的概率为 .X)==1=10%(1-85%)=17.06% P(A)l-P(A)1-12.1% 即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为%. 15,计算机中心有三台打字机A,B,C,程序交与各打字机打字的概率依次为打字机发生故障的概率依次为…。 己知一程序因打字机发生故障而被破坏了,求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少 解: 设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M,“程序在ABC三台打字机上打字”分别记为事件则根据全概率公式有 3 P(M)=丫P(NJP(M\NJ=0.6x0.01+0.3x0.05+0」x0.04=0.025, 根据Bayes公式,该程序是在A,B,C上打字的概率分别为呦=巴凹竺2=竺竺1=024, 1P(M)0.025 -P(M)0.025 I^3)_0.1x0.04 P(M)0.025 16,在通讯网络中装有密码钥匙,设全部收到的讯息中有95%是可信的。 又设全部不可信的讯息中只有%是使用密码钥匙传送的,而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。 求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。 解: 设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A,“一讯息是可信的”记为事件根据Bayes公式,所要求的概率为 =99.9947% P(3IA)=P⑷)=P(B)P(AI申)_=95%xl P(A)"P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB)"95%x1+5%x0.1% 17,将一枚硬币抛两次,以A,B,C分别记事件“第一次得H”,“第二次得H”,“两次得同一面”。 试验证A和B,B和C,C和A分 别相互独立(两两独立),但ABC不是相互独立。 解: 根据题意,求出以下概率为 所以有 P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)o 即表明A和B,B和C,C和A两两独立。 但是 P(ABC)丰P(A)P(B)P(C) 所以A,B,C不是相互独立。 18,设A,B,C三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为,,,设A,B,C各在离球门25码处踢一球,设各人进球与否相互独立,求 (1)恰有一人进球的概率; (2)恰有二人进球的概率;(3)至少有一人进球的概率。 解: 设“A,B,C进球”分别记为事件心心1,2,3)。 (2)设恰有一人进球的概率为戸,则 p产P{N何2凡}++P{叫凡叫} =P(Nt)P(N2)P(N3)+P(N.)P(N2)P03)+P(M)P(M)卩(弘)(由独立性) =0.5x0.3x0.4+0.5x0.7x0.4+0.5x0.3x0.6 =0.29 (2)设恰有二人进球的概率为卩2,则 P2=P{N\N2N.}+P{N\N? NJ+P{N\N2NJ =PlNjPg)P03)+P(兀)P(“2)P(M)+P(N)P(M)(由独立性) =0.5x0.7x0.4+0.5x0.7x0.6+0.5x0.3x0.6 =0.44 (3)设至少有一人进球的概率为必,则 P3T_P{用凤凤}=1-P(用)P(“2)P(“3)=1-0.5x0.3x0.4=0.94。 19,有一危重病人,仅当在20分钟之内能有一供血者供给足量的 A-R屮血才能得救。 设化验一位供血者的血型需要2分钟,将所需的血全部输入病人体内需要2分钟,医院只有一套验血型的设备,且 供血者仅有40%的人具有该型血,各人具有什么血型相互独立。 求病人能得救的概率。 解: 根据题意,医院最多可以验血型4次,也就是说最迟可以第4 个人才验出是A-R屮型血。 问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少因为 第一次就检验出该型血的概率为; 第二次才检验出该型血的概率为X; 第三次才检验出该型血的概率为X; 第四次才检验出该型血的概率为" 所以病人得救的概率为+++二 20, 一元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性。 如图设有5个独立工作的元件2,2,3,4,5按先串联再并联的方式连接,设元件的可靠性均为〃,试求系统的可靠性。 解: 设“元件i能够正常工作”记为事件人(21,2,3,4,5)。 那么系统的可靠性为 P{(AA2)o(A3)^(A4A5)}=P(AA2)+P(A3)+P(A4A5) —P(AA? —P(i4|A2A4? 45)—P(A3A4A5)+P(A}A2A2tA4A5)=P(Al)P(A2)+P(A3)+P(A4)P(A5)-P(A})P(A2)P(A3)-P(A})P(A2)P(A4)p(a5) -P(A3)P(A4)P(A5)+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5) =p2+〃+p2_p'_p4_py+p' =p+2p: _2p'_p4+p' 21,用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。 若真含有杂质检验结果为含有的概率为;若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为,据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为,。 今独立地对一产品进行了3次检验,结果是2次检验认为含有杂质,而一次检验认为不含有杂质,求此产品真含有杂质的概率。 (注: 本题较难,灵活应用全概率公式和Bayes公式) 解: 设“一产品真含有杂质”记为事件A,“对一产品进行3次检验,结果是2次检验认为含有杂质,而2次检验认为不含有朵质”记为事件则要求的概率为P{AIB),根据Bayes公式可得 P(AIB)=些)P(BI呂)_ P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA) 又设“产品被检出含有杂质”记为事件C,根据题意有P(A)=0.4,而且P(CIA)=0.8,P(CIA)=0.9,所以 P(B\A)=C;x0.82x(l-0.8)=0.384;P(BIA)=C;x(l-0.9)2x0.9=0.027 故, (第1章习题解答完毕)第2草随机变址及其分布 1.设在某一人群中有40%的人血型是A型.现在在人群中随机地选人來验血.直至发现血型是A型的人为止.以Y记进行验血的次数.求Y的分布律。 解: 显然.Y是一个离散型的随机变虽.Y取k表明第«个人是A型血而前£一1个人都不是A型血,W此有 P{Y=灯=0.4x(1-04严=0.4x0.62,(k=1,2,3,…) 上式就是随机变量Y的分布律(这是一个几何分布)。 2.水自A处流至B处有3个阀门1,2,3,阀门联接方式如图所示。 当信号发出时各阀门以的概率打开,以X表示肖信号发出时水自A流至B的通路条数.求X的分布律。 设各阀门的匸作相互独立。 解: x只能取值0.1.2。 设以AjQ=l,2,3)记第i个阀门没有打开这一事件。 则 P{X=0}=")}=P{心2GMJ} =P{Aa2)+p(aa3}-P{aa2a3}=p(a)p(a2)+p(a)p(a3)-p(a{)p(a2)p(a3) =(1-0.8)2+(1—0.8)2-(1-0.8f=Q072, 类似有P{X=2}=P{瓦(兀忑)}=P(瓦忑忑)=0.83=0.512■ P{X=1}=1—P{X=0}—P{X=2)=0.416,综上所述,可得分布律为 P(X=k)=C^5xO.2kxO.8'5^ (i)P(X=3)=C^5x0.23x0.8*2=0.2501, ⑵P(X>2)=1-P(X=1)-P(X=0)=0.8329: (3)P(1 (4)P(X>5)=1—P(X=5)-P(X=4)-P(X=3)-P(X=2) —P(X=1)—P(X=0)=0.0611 4.设有一由”个元件组成的系统,记为k/n[G],这一系统的运行方式是十且仅半“个元件中至少有k(0d)个元件正常工作时.系统正常匸作。 现有一3/5[G]系统.它由相互独立的元件组成,设每个元件的可靠性均为,求这一系统的可靠性。 解: 对于3/5[G]系统•F至少有3个元件正常工作时.系统正常工作。 而系统中正常匸作的元件个数 X服从二项分布B(5,・所以系统正常工作的概率为 工P(x二幻X0.9"xO.1I=0.99144 5,某生产线生产玻璃制品,生产过程中玻璃制品常出现气泡,以至产品成为次品,设次品率为,现取 8000件产品,用泊松近似.求其中次品数小于7的概率。 (设各产品是否为次品相互独立) 解: 报据题意,次品数X服从二项分布6(8000,,所以 6 P(X<7)=P(X<6)=爲0.001kX0.999 6, (1)设一天内到达某港口城市的汕船的只数x-^(10).求P{X>15) (2)已知随机变虽且有P{X>0)=0.5,求P{X>2(» 解: (1)P{X>15}=1-P{X<15}=1-0.9513=0.0487: (2)根据P{X>0}=l-P{X=0}=1—£-久=0.5.得到2=In2O所以 P{X>2}=\-P{X=0}-P{X=1}=1-O.5-Ae_z=(l-ln2)/2«0.1534. 7,—电话公司有5名讯息员.幹人在t分钟内收到讯息的次数X〜兀(2/)(设各人收到讯息与否相互独立)。 (1)求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。 (2)求在给定的一分钟内5个讯 息员恰有4人未收到讯息的概率。 (3)写出在一给定的一分钟内.所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。 解: 在给定的一分钟内•任总一个讯息员收到讯息的次数X〜兀 (2)。 (1)P{X=0}=e'2"1353: (2)设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示.则Y~B(5,•所以 P{Y=4}=0.13534x(l-0.1353)=0.00145 (3)每个人收到的讯息次数相同的概率为 &一教授为下课铃打响时.他还不结束讲解。 他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内.以x表示铃响 P{X<|): (3)求P{^ (4)求P(X>|}. +x1f 解: (1)根据1=JfM(lx=Jkx2dx=-,得到k=3;-8o3 9,设随机变虽X的概率密度为/(A)=|0*003X°J^10.求t的方程 0其他 厂+2Xf+5X—4=0有实根的概率。 解: 方程r+2XZ+5X-4=0有实根表明△=4X,-4(5X-4)nO.即 X2-5X+4>0.从而婆求XA4或者X 110 <1}=j0.003/必=0.00LP{X>4}=jO.OO3x2^v=0.936 04 所以方程有实根的概率为+二. 10.设产品的寿命X(以周讣)服从瑞利分布,其概率密度为 (1)求寿命不到一周的概率: (2)求寿命超过一年的概率: (3)已知它的寿命超过20周,求寿命超过26周的条件概率。 解: (1)P{X<1)=I—^x2/2()0^v=l-^_1/20°«0.00498: f,100 +» (2)吧>52}电詁皿心产叫。 .。 。 叭 n.设实验室的温度x(以°Cil)为随机变虽,其概率密度为 (1)某种化学反应在温度X>1时才能发生,求在实验室中这种化学反应发生的概率。 (2)在10个不同的实验室中.徐实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的.以Y表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数,求Y的分布律。 (3)求P{Y=2}>P{X>2]O 解: (1)P{X>1}=jl(4-x2V/x=A; ⑵根据题意Y"(10,存所以其分布律为 P(y>2)=l-P(Y=0)-P(Y=1)=0.5778a 12. (1)设随机变虽Y的概率密度为 0.2 /(y)=<0.2+Cy 0 试确定常数C,求分布函数F(y)・并求P{O (2)设随机变址X的概率密度为 1/80 求分布函数F(x),并求P{\ 0I厂 F(y)=Jf(y)^y=< -X 解: (1)根据1=Jf(y)dy=j0.2Jy+j(0.2+Cy)dy=0.4+—,得到C=1.2. p-io2 oy JO・2dy+J(O・2+l・2y)dy -io oI J0.2dy+j(0.2+\.2y)dy〉 -1o〉_ 0y<-1 _0.2(y+l)-1 0.6y2+0.2y+0.20 1y>l P{0 x>4 P{1 (1)=9/16-1/8=7/16: P{X>11X53}= P{<1X<3) P{X<3} =7/9。 13,在集合A二{123—n}中取数两次.每次任取…数.作不放回抽样.以X表示第一次取到的数,以Y表示第二次取到的数.求X和Y的联合分布律。 并用表格形式写出、”in=3时X和Y的联合分布律。 解: 根据题总.取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1),W此 P{X
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- 概率论 数理统计 及其 应用 第二 课后 答案 075321