高中数学必修二第二单元教学教材.docx

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高中数学必修二第二单元教学教材

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）

1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（　　）

A．相交　　　　　　　　B．平行

C．异面D．平行或异面

2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（　　）

A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6

3．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（　　）

A．平行　　B．相交　　C．垂直　　D．异面

4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于（　　）

A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°

5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（　　）

A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥α

C．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α

6．下面四个命题：

①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；

②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；

③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；

④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.

其中真命题的个数为（　　）

A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：

①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.

其中一定正确的有（　　）

A．①②　　　B．②③　　　C．②④　　　D．①④

8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（　　）

A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b

B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b

C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β

D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b

9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，n∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（　　）

A．AB∥mB．AC⊥m

C．AB∥βD．AC⊥β

10．（2012·大纲版数学（文科））已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为（　　）

A．－

B..

C.

D．－

11．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝

，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为（　　）

A.

　　　B.

　　　C．0　　　D．－

12．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是（　　）

A．90°　　B．60°　

C．45°　　D．30°

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）

13．下列图形可用符号表示为________．

14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．

15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.

16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：

①AC⊥BD；

②△ACD是等边三角形；

③AB与平面BCD成60°的角；

④AB与CD所成的角是60°.

其中正确结论的序号是________．

三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．

求证：

（1）平面AB1F1∥平面C1BF；

（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1.

18．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．

（1）证明：

CD⊥平面PAE；

（2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．

19．（12分）如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2

，M为BC的中点．

（1）证明：

AM⊥PM；

（2）求二面角P－AM－D的大小．

22．（12分）如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．

（1）求证：

AC⊥BC1；

（2）求证：

AC1∥平面CDB1；

（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

详解答案

1[答案]　D

2[答案]　C

[解析]　AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：

第一类与AB平行与CC1相交的有：

CD、C1D1

与CC1平行且与AB相交的有：

BB1、AA1，

第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．

3[答案]　C

[解析]　1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；

2°l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；

3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．

无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．

4[答案]　D

[解析]　由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.

5[答案]　B

[解析]　对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a⊂α，b∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a⊂α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．

6[答案]　D

[解析]　异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．

7[答案]　D

[解析]　如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．

8[答案]　D

[解析]　选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，α，β还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，则β内存在直线l∥a，又b⊥β，则b⊥l，所以a⊥b.

9[答案]　C

[解析]　如图所示：

AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β.

10[答案]　

命题意图]　本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．

[解析]　首先根据已知条件，连接DF，然后则角DFD1即为

异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到

＝DF＝D1F，DD1＝2，结合余弦定理得到结论．

11[答案]　C

[解析]　取BC中点E，连AE、DE，可证BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A－BC－D的平面角

又AE＝ED＝

，AD＝2，∴∠AED＝90°，故选C.

12[答案]　B

[解析]　将其还原成正方体ABCD－PQRS，显见PB∥SC，△ACS为正三角形，∴∠ACS＝60°.

13[答案]　α∩β＝AB

14[答案]　45°

[解析]　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，则∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，则∠C1BC＝45°.

15[答案]　9

[解析]　如下图所示，连接AC，BD，

则直线AB，CD确定一个平面ACBD.

∵α∥β，∴AC∥BD，

则

＝

，∴

＝

，解得SD＝9.

16[答案]　①②④

[解析]　如图所示，①取BD中点，E连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．

②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝

a.

由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，

∴△ACD是等边三角形，故②正确．

③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．

④分别取BC，AC的中点为M，N，

连接ME，NE，MN.

则MN∥AB，且MN＝

AB＝

a，

ME∥CD，且ME＝

CD＝

a，

∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．

在Rt△AEC中，AE＝CE＝

a，AC＝a，

∴NE＝

AC＝

a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正确．

17[证明]　

（1）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，

∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，

∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.

又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，

∴平面AB1F1∥平面C1BF.

（2）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.

又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，

∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，

∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.

18[解析]　

（1）如图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.

又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.

而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.

（2）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.

由

（1）CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE.

由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．

AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由题意，知∠PBA＝∠BPF，

因为sin∠PBA＝

，sin∠BPF＝

，所以PA＝BF.

（1）价格低由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2.

在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以

BG＝

＝2

，BF＝

＝

＝

.于是PA＝BF＝

.

又梯形ABCD的面积为S＝

×（5＋3）×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为

2．www。

cer。

net/artide/2003082213089728。

shtml。

V＝

×S×PA＝

×16×

＝

.

19[解析]　

（1）证明：

如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，

∵△PCD为正三角形，

∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝

.

∵平面PCD⊥平面ABCD，

∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM.

∵四边形ABCD是矩形，

木质、石质、骨质、琉璃、藏银……一颗颗、一粒粒、一片片，都浓缩了自然之美，展现着千种风情、万种诱惑，与中国结艺的朴实形成了鲜明的对比，代表着欧洲贵族风格的饰品成了他们最大的主题。

∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝

，AM＝

，AE＝3，

加拿大ｂｅａｄｗｏｒｋｓ公司就是根据年轻女性要充分展现自己个性的需求，将世界各地的珠类饰品汇集于“碧芝自制饰品店”内，由消费者自选、自组、自制，这样就能在每个消费者亲手制作、充分发挥她们的艺术想像力的基础上，创作出作品，达到展现个性的效果∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.

又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.

（2）解：

由

（1）可知EM⊥AM，PM⊥AM，

∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．

而手工艺制品是一种价格适中，不仅能锻炼同学们的动手能力，同时在制作过程中也能体会一下我国传统工艺的文化。

无论是送给朋友还是亲人都能让人体会到一份浓厚的情谊。

它的价值是不用金钱去估价而是用你一颗真诚而又温暖的心去体会的。

更能让学生家长所接受。

∴tan∠PME＝

＝

＝1，∴∠PME＝45°.

∴二面角P－AM－D的大小为45°.

22[解析]　

（1）证明：

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.

又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.

∵BC1⊂平面BCC1B，∴AC⊥BC1.

（六）DIY手工艺品的“创作交流性”

（2）证明：

设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形．

∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.

∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，

除了“漂亮女生”形成的价格，优惠等条件的威胁外，还有“碧芝”的物品的新颖性，创意的独特性等，我们必须充分预见到。

∴AC1∥平面CDB1.

世界上的每一个国家和民族都有自己的饰品文化，将这些饰品汇集到一起再进行新的组合，便可以无穷繁衍下去，满足每一个人不同的个性需求。

（3）解：

∵DE∥AC1，

是□否□∴∠CED为AC1与B1C所成的角．

在△CED中，ED＝

AC1＝

，

CD＝

AB＝

，CE＝

CB1＝2

，

2、价格“适中化”∴cos∠CED＝

＝

.

∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为

.