悬臂梁应力分析有限元程序设计.docx
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悬臂梁应力分析有限元程序设计
题目:
悬臂梁应力分析有限元程序设计
对悬臂梁应力分析进行有限元程序进行了设计。
主要内容有:
对有限元基本理论的学习、了解有限元的特点、对有限元具体思路和解题步骤的学习、以及有限元的发展趋势、对MATLAB的基本理论的学习、了解MATLAB的优点、平面问题的4节点矩形单元的分析、平面问题4节点矩形单元的MATLAB基本程序、悬臂梁应力分析的MATLAB主程序设计。
基于windows环境,利用MATLAB编写程序,开发数据库应用程序,能够实现简单悬臂梁的应力分析。
为设计人员学习有限元应力分析提供了帮助。
关键词悬臂梁MATLAB应力有限元
毕业设计(论文)外文摘要
TitleCantileverfiniteelementstressanalysisprogramdesign
Abstract
Cantileverbeamfiniteelementstressanalysisprogramhasbeendesigned.Maincontentsare:
thebasictheoryofthefiniteelementstudy,tounderstandthecharacteristicsofthefiniteelement,finiteelementspecificideasforsolvingstepsandlearning,aswellasfiniteelementtrends,theMATLABbasictheoryoflearning,tounderstandtheadvantagesofMATLAB,4-nodeplaneproblemrectangularelementanalysisofplaneproblems4-noderectangularelementoftheMATLABbasicprocedures,maincantileverdesignstressanalysisofMATLAB.Windows-basedenvironment,usingMATLABprogramming,databaseapplicationdevelopment,toachieveasimplecantileverstressanalysis.Designerslearnfiniteelementstressanalysishashelped.
KeyWordsCantileverMATLABStressFEM
本科毕业设计(论文)第Ⅰ页共Ⅰ页
1引言
悬臂梁在工程力学受力分析中,是一种比较典型的简化模型。
在实际工程分析中,大部分实际工程受力部件都可以简化为悬臂梁。
根据有限元法的基本原理和解决问题的基本思路,对悬臂梁所受的应力进行有限元分析有着重要的作用。
尽管目前已有不少从国外引进的大型通用程序,但由于这些程序通用性很强,语句多,要求计算内存大,在计算具体问题时往往占用机时多,计算成本高,在PC微机广泛普及的今天,编制一些便于推广应用的专用程序无论对于工业设计还是教学实践都是具有一定意义的。
目前,悬臂梁结构在实际工程中被得到广泛的应用,是一种较为常用的结构,尤其在机械设计、建筑设计中更是常见。
悬臂梁结构在实际的使用过程中,经常要承受各种集中载荷、分布载荷、弯矩和扭矩的作用,在梁的任意一处都有可能产生较大的应力和变形,从而使得悬臂梁结构破坏或失效。
悬臂梁的强度及刚度是否满足要求将关系到整个设备的安全使用[1]。
因此,在对悬臂梁结构设计的过程中,如何对悬臂梁的应力进行分析,具有工程实用价值和现实意义。
有限元分析是用来决定复杂机械结构中的应力和变形的一种非常有效的方法,当前用计算机进行的应力分析几乎全部都是以有限元理论为基础的。
反过来说,有限元方法的广泛应用也是以计算机技术的发展为其前提。
机械结构的有限元模型可以看做是一个弹性系统,当该系统有载荷作用时,系统中所有单元发生变形直到全部力达到平衡为止。
对于每一单元,可写出其节点位移和作用力的关系式,从而达到对悬臂梁进行应力分析的目的。
悬臂梁应力分析有限元程序设计方法是计算机程序开发方法的一种变革,是利用计算机解决问题的一种新的思维方式,它使程序设计更加贴近现实。
悬臂梁在计算机程序中表示为对象,其目的在于使实际问题中的悬臂梁与程序中的对象具有一一对应的关系,实现利用计算机解决实际问题的目的[2,3]。
2有限元理论
有限元方法或有限元分析,是求取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具,是现代数字化科技的一种重要基础性原理。
将它用于在科学研究中,可成为探究物质客观规律的先进手段。
将它应用于工程技术中,可成为工程设计和分析的可靠工具。
有限元法是根据变分原理求解数学、物理问题的数值计算方法。
有限元法是工程方法和数学方法相结合的产物,它可以求解许多过去用解析方法无法解决的问题,特别是随着计算机软件、硬件的飞速发展,有限元也得到了飞速发展。
目前,有限元方法已经发展并应用到几乎所有的技术领域,从最原始的杆系结构、弹性力学平面问题、空间问题、弹性薄板和薄壳,到流体力学、热传导、非线性及塑性力学、岩石力学、土力学、结构动力学、弹性稳定、断裂力学、结构优化设计等方面,都有非常成功的应用。
2.1有限元法产生的动因分析
任何一种科学理论都是在特定的环境中产生的,有限元法也不例外。
它的产生是数学和工程学共同作用的结果。
从外部技术需求的角度看,有限元法的产生主要是由于工程学的推动。
二十世纪以来,大型民用设施的建设和军事设施的研发给科学技术的发展带来了一系列难题。
首先,伴随着生产力的发展,在设计一些大型工程项目时,要用到新的工程学理论。
比如虽然我们知道棒、梁、柱等简单组件在某些受力情况下的行为,但当大量的组件组成结构复杂的桥梁和其他建筑时,它们之间的受力关系就相当复杂,远超出了我们的分析能力。
还有大型水坝建设中的应力计算问题也是当时的工程学理论不能解决的。
其次,在第二次世界大战中,科技显示出了巨大的力量,战争双方为了军事斗争的需要,都十分重视军事设施的研发,这中间也产生了一些难题,比如下文提到的战斗机的机翼设计问题。
上面的三个例子可分为两类:
第一类,如何将简单的单元组成复杂的系统,第一个例子属于此类;第二类,如何将复杂的系统拆分成简单的单元,第二、三个例子属于此类。
这两类问题均需要有限元法的理论来解决。
从数学学科的内部动力看,有限元法的产生是为了解决黎兹(Ritz)-伽略(Galerkin)方法在应用中遇到的困难。
根据极小位能原理,求解某些微分方程时,可以求使微分方程相应的泛函达到极小值的函数,这个函数就是微分方程的解。
实际应用此原理的困难在于如何使泛函在无穷维空间上达到极小值。
1909年,黎兹发表了一篇文章,在其中他用有穷维空间近似代替无穷维空间。
通过在有穷维空间中选取一组基函数,用基函数与未知参量的组合来表示微分方程的解,然后用极小位能原理求出未知参量,进而求解微分方程。
这样得出的解在所选的有限维空间中是对真实解的最佳逼近。
1915年,伽略金给出了在本质上完全一样的计算方法,不同的是他的理论基础是虚功原理。
由于虚功原理比极小位能原理限制条件少,所以Galerkin方法比Ritz方法应用范围广。
后来人们把他们的方法合称为黎兹-伽略金方法。
黎兹-伽略金方法在解决大型问题时会有许多原则性困难,主要有:
(1)基函数的选取难以满足微分方程的边界条件。
由于黎兹-伽略金方法在整个定义域上用单一的解析式定义基函数,所以当定义域不规则时,基函数很难满足边界条件。
(2)计算量大。
首先,在形成关于未知参量的方程时,要计算大量的积分;其次,解这些方程时,还要进行大量的计算。
在没有计算机的情况下,稍微复杂点的方程就无法求解。
可以说,内部动力和外部动力对有限元法产生的影响是双重的。
一方面,很明显它们提出了一些旧理论不能解决的问题,刺激了有限元法的产生;另一方面,它们也为有限元法的形成作了一些铺垫,比如上面提到的如何组合单元的问题对有限元法的形成很有启发意义,因为它的逆过程就是有限元法的关键步骤)单元拆分,黎兹-伽略金方法中的近似求解则为有限元法的产生作了理论上的准备[4]。
2.2有限元的发展历程
有限元法的发展历程可以分为提出(1943)、发展(1944至1960)和完善(1961至20世纪90年代)三个阶段。
有限元法是受内外动力的综合作用而产生的。
1943年,柯朗发表的数学论文《平衡和振动问题的变分解法》和阿格瑞斯在工程学中取得的重大突破标志着有限元法的诞生。
有限元法早期(1944至1960)发展阶段中,得出了有限元法的原始代数表达形式,开始了对单元划分、单元类型选择的研究,并且在解的收敛性研究上取得了很大突破。
1960年,克劳夫第一次提出了“有限元法”这个名称,标志着有限元法早期发展阶段的结束[5]。
有限元法完善阶段(1961至20世纪90年代)的发展有国外和国内两条线索。
在国外的发展表现为:
第一,建立了严格的数学和工程学基础;第二,应用范围扩展到了结构力学以外的领域;第三,收敛性得到了进一步研究,形成了系统的误差估计理论;第四,发展起了相应的商业软件包。
在国内,我国数学家冯康在特定的环境中独立于西方提出了有限元法。
1965年,他发表论文《基于变分原理的差分格式》,标志着有限元法在我国的诞生。
冯康的这篇文章不但提出了有限元法,而且初步发展了有限元法。
他得出了有限元法在特定条件下的表达式,独创了“冯氏大定理”并且初步证明了有限元法解的收敛性。
虽然冯康创造的有限元法不成熟,但他能在当时的条件下独立提出有限元法已十分不易。
对于他的这项成就,国内外专家学者和国家领导人都有很高的评价。
2.3有限元分析的研究特点
有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成,对每一单元假定一个合适的(较简单的)近似解,然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件),从而得到问题的解。
这个解不是准确解,而是近似解,因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解,而有限元不仅计算精度高,而且能适应各种复杂形状,因而成为行之有效的工程分析手段。
有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。
有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用,例如用多边形(有限个直线单元)逼近圆来求得圆的周长,但作为一种方法而被提出,则是最近的事。
有限元法最初被称为矩阵近似方法,应用于航空器的结构强度计算,并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。
经过短短数十年的努力,随着计算机技术的快速发展和普及,有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域,成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。
有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。
20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫教授形象地将其描绘为:
“有限元法=RayleighRitz法+分片函数”,即有限元法是RayleighRitz法的一种局部化情况。
不同于求解(往往是困难的)满足整个定义域边界条件的允许函数的RayleighRitz法,有限元法将函数定义在简单几何形状(如二维问题中的三角形或任意四边形)的单元域上(分片函数),且不考虑整个定义域的复杂边界条件,这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。
2.4有限元法的分析过程
有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个,且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。
由于单元能按不同的联结方式进行组合,且单元本身又可以有不同形状,因此可以模型化几何形状复杂的求解域。
有限单元法作为数值分析方法的还有一个重要特点是利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。
单元内的近似函数通常由未知场函数或及其导数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表达。
这样一来,一个问题的有限元分析中,未知场函数或及其导数在各个结点上的数值就成为新的未知量(也即自由度),从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
一经求解出这些未知量,就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值,从而得到整个求解域上的近似解。
显然随着单元数目的增加,也即单元尺寸的缩小,或者随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高,解的近似程度将不断改进。
如果单元是满足收敛要求的,近似解最后将收敛于精确解。
有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展逐渐用于流体力学的数值模拟。
简言之,有限单元的求解思路是:
根据力学的虚功原理,利用变分法将整个结构(求解域)的平衡微分方程、几何方程和物理方程建立在结构离散化的各个单元上,从而得到各个单元的应力、应变及位移,进而求出结构内部应力、应变。
理论基础是弹性力学的变分原理。
在有限元方法中,势函数的选取不是整体的,整体的就是经典的里兹(Ritz)法、迦辽金(Galerkin)法,而是在弹性体内分区(单元)完成的,因此势函数形式简单统一。
以结构分析为例,有限元分析的过程大概可分为以下7个步骤:
(1)结构的离散化:
将结构物分割成有限个单元体,并在单元体的指定点设置结点,使相邻单元的有关参数具有一定的连续性,并构成一个单元的集合体,以它来代替原来的结构。
(2)选择位移模式:
假定位移是坐标的某种简单的函数(位移模式或插值函数),通常采用多项式作为位移模式。
在选择位移模式时,应该注意以下事宜:
1)多项式项数应该等于单元的自由度数;
2)多项式阶次应包含常数项和线性项;
3)单元自由度应等于单元结点独立位移的个数。
位移矩阵为:
(2-1)
式中
——单元内任一点的位移;
——单元结点的位移;
——形函数。
(3)分析单元的力学性能:
1)由几何方程,从式(2-1)导出用结点位移表示的单元应变为:
(2-2)
式中
——单元应变矩阵。
2)由本构方程,导出用结点位移表示的单元应力为:
(2-3)
式中
——与单元材料有关的弹性矩阵。
3)由变分原理,建立单元上结点力与结点位移问的关系式——平衡方程为:
(2-4)
式中
——单元刚度矩阵,其形式为:
(2-5)
(4)集合所有单元的平衡方程,建立整个结构的平衡方程组集总刚,总刚矩阵为[KK]。
由总刚形成的整个结构的平衡方程为:
(2-6)
上述方程在引入几何边界条件时,将进行适当修改。
(5)求解未知结点位移和计算单元应力:
对平衡方程进行求解,解出未知的结点位移,然后根据前面给出的关系计算结点的应变和应力以及单元的应力和应变。
(6)整理并输出结果:
通过该步骤可以输出应力、应变以及位移等值。
(7)结合计算结果进行一系列后续分析,得到问题的最终分析结果,分析结束[6]。
2.5有限元的发展趋势
随着有限元技术应用的不断扩大,其发展呈现如下特点[7]:
(1)单一场计算发展到多物理耦合场问题的求解
有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来,逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析,实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。
而且从理论上也已经证明,只要用于离散求解对象的单元足够小,所得的解就可足够逼近于精确值。
有限元分析技术应用在装备产品的设计制造中,主要是求解线性的结构问题,但根据火电、风电、核电等装备产品的极端性、复杂性、多场性特点,结构非线性,流体动力学和耦合场问题的应用迫在眉睫,如汽轮机叶片、风机桨叶的流体动力学问题、流固耦合问题,重型装备产品热加工过程的热、结构、电磁多场耦合的问题。
所以近年来有限元方法从单一场计算发展到多物理耦合场问题的求解。
(2)由求解线性工程问题进展到分析非线性问题[8]
随着科学技术的发展,线性理论已经远远不能满足设计的要求,许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能解决,必须进行非线性分析求解,例如建筑行业中的高层建筑和大跨度悬索桥的出现,就要求考虑结构的大位移和大应变等几何非线性问题;航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力,也要考虑材料的非线性问题。
而对塑料、橡胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析或需考虑材料的塑性、蠕变效应时则必须考虑材料非线性。
众所周知,非线性问题的求解是很复杂的,它不仅涉及到很多专门的数学问题,还必须掌握一定的理论知识和求解技巧,学习起来也较为困难。
为此国外一些公司花费了大量的人力和物力开发非线性求解分析软件,这些软件的共同特点是具有高效的非线性求解器以及丰富和实用的非线性材料库。
(3)增强可视化的前置建模和后置数据处理功能
早期有限元分析软件的研究重点在于推导新的高效率求解方法和高精度的单元。
随着数值分析方法的逐步完善,尤其是计算机运算速度的飞速发展,整个计算系统用于求解运算的时间越来越少,而数据准备和运算结果的表现问题却日益突出。
目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。
在强调可视化的今天,很多程序都建立了对用户非常友好的GUI(GraphicsUserInterface),使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分,生成有限元分析所需数据,并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图,便于极值搜索和所需数据的列表输出。
(4)与CAD等软件的集成
有限元分析软件的一个发展趋势是与通用计算机辅助工程软件的集成使用,即数据信息在整个产品设计制造过程中的无缝多向流通,实现新产品开发中三维设计、有限元分析优化、数控加工等过程的快速响应,满足工程师快捷地解决复杂工程问题的要求,提高设计水平和效率。
今天,工程师可以在集成的CAD和FEA软件环境中快捷地解决一个在以前无法应付的复杂工程分析问题。
所以当今所有的商业化有限元系统商都开发了和CAD等软件的接口,实现真正无缝的双向数据交换[9]。
(5)更加强大的自动化网格处理能力
应用有限元技术求解问题过程中,由于结构离散后的网格质量直接影响到求解时间及求解结果的正确性与否,近年来各软件开发商都加大了其在网格处理方面的投入,使网格生成的质量和效率都有了很大的提高,但在有些方面却一直没有得到改进。
自适应性网格划分是指在现有网格基础上,根据有限元计算结果估计计算误差、重新划分网格和再计算的一个循环过程。
对于许多工程实际问题,在整个求解过程中,模型的某些区域将会产生很大的应变,引起单元畸变,从而导致求解不能进行下去或求解结果不正确,因此必须进行网格自动重划分。
自适应网格往往是许多工程问题如裂纹扩展、薄板成形等大应变分析的必要条件。
要想摆脱装备产品分析中繁重的网格处理任务,就必须突破自动六面体网格功能的技术瓶颈,实现可循环的网格自动优化功能[10]。
(6)程序面向用户的开放性
随着商业化的提高,各软件开发商为了扩大自己的市场份额,满足用户的需求,在软件的功能、易用性等方面花费了大量的投资,但由于用户的要求千差万别,不管他们怎样努力也不可能满足所有用户的要求,因此必须给用户一个开放的环境,允许用户根据自己的实际情况对软件进行扩充,用户可根据企业产品的特点对软件进行二次开发,实现单元属性、材料参数、复杂边界、疲劳寿命规律的自定义和产品专家系统的自开发。
(7)软件开发强强联合
根据有限元软件在装备行业的应用情况,有限元软件之间的强强联合必将更加有效推进有限元技术的应用,随着数值模拟软件的商业化和软件公司开发方向的专业化,各数值模拟软件公司将会出现强强联合的局面,以解决复杂装备产品的设计制造难。
(8)在Wintel平台上的发展
早期的有限元分析软件基本上都是在大中型计算机(主要是Mainframe)上开发和运行的,后来又发展到以工程工作站为平台,它们的共同特点都是采用UNIX操作系统。
PC机的出现使计算机的应用发生了根本性的变化,工程师渴望在办公桌上完成复杂工程分析的梦想成为现实。
因此当前国际上著名的有限元程序研究和发展机构都纷纷将他们的软件移植到Wintel平台上。
为了将在大中型计算机和EWS上开发的有限元程序移植到PC机上,常常需要采用Hummingbird公司的一个仿真软件Exceed。
这样做的结果比较麻烦,而且不能充分利用PC机的软硬件资源。
所以最近有些公司,开始在Windows平台上开发有限元程序,称作"NativeWindows"版本,同时还有在PC机上的Linux操作系统环境中开发的有限元程序包。
3悬臂梁应力分析有限元程序开发
3.1Matlab语言指南
3.1.1Matlab语言简介
Matlab是美国Mathworks公司推出的一种以矩阵为基本单位的高效数值计算语言,是一个集科学计算、图像处理、声音处理于一体的高度集成系统。
其代码非常符合人们的思维习惯,被称为“演算纸式”编程语言[11],在编程效率、程序可读性、可移植性和可扩充性上Matlab远远优于其它的高级编程语言,而且其编程易学、直观,代码非常符合人们的思维习惯。
另外Matlab为用户提供了丰富的Windows图形界面设计方法,使用户能够在利用其强大的数值计算功能的同时可设计出友好的图形界面,它受到了越来越多的用户的欢迎,成为了当今国际上最流行的计算机辅助设计软件。
近年来,Matlab在国内许多设计单位和科研机构特别是高校也得到了广泛的应用,它主要应用于自动控制系统、数字信号处理、时间系列分析等方面[12,13]。
目前工程中遇到的数理方程问题大多采用有限元法、有限差分法来求解.在编程求解方面,Matlab语言具有强大的数值计算能力和视图能力,已广泛应用于许多学科领域,是计算机辅助设计与分析、算法及应用开发的基本工具和首选平台。
与FORTRAN及其他高级语言相比,Matlab具有极高的编程效率和强大的可视化功能。
其中的偏微分方程工具箱(PDEToolbox)提供了研究和求解空间二维偏微分方程问题的一个强大而又灵活实用的环境,并且有限元网格可做精细划分以满足精度要求.另外,还可根据方程的变化在工具箱的基础上进一部编程.PDE工具箱是基于有限元方法开发的求解偏微分方程的数学工具箱,求解的方程包括抛物型、双曲型、椭圆型及本特征微分方程。
其次,它还提供了多种高级语言的编程接口,能和其他高级语言进行混合编程,利用Matlab进行工程数值计算有限元编程或和其它高级语言混合编程,将是有限元编程人员的一个最好的选择。
3.1.2Matlab的优点
Matlab的基本数据单位是矩阵,它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似,故用Matlab来解算问题要比用C,FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多,并且mathwork也吸收了像Maple等软件的优点,使Matlab成为一个强大的数学软件。
在新的版本中也加入了对C,FORTRAN,C++,JAVA的支持。
用户可以直接调用,也可以将自己编写的实用程序导入到Matlab函数库中方便自己以后调用.
Matlab编程非常简洁紧凑,它不像高级语言C、C++牵涉复杂的指针问题,在对矩阵进行稀疏存储及运算时,若用高级语言C或Fortran编程,稀疏矩阵存储至少需要几十行语句.最麻烦的是对系数阵为稀疏矩阵的线性方程组求解,它需要对矩阵中的每个元素循环,而且要考虑算法的稳定性,其代码的调试更是不容易.而在Matlab中,这些功能函数都是本领域的专家编写,用户不必担心函数的可靠性,直接利用方便简单,效率高.
有限元方法是利用计算机求解数学物理或工程实际中的微分方程间题,主要是偏微分方程问题的一种系统化的数值计算方法。
对于一个
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