极坐标及参数方程知识点及高考题汇编DOCdoc.docx
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极坐标及参数方程知识点及例题
一、极坐标知识点
1.极坐标系的概念:
在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O点叫做极点,射线Ox叫做极轴
①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系
的四要素,缺一不可.
2.点M的极坐标:
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的
极径,记为
;以极轴
Ox为始边,射线
OM
为终边的
xOM
叫做点
M
的极角,
记为。
有序数对(,)叫做点
M
的极坐标,记为
M(
).
极坐标
(
)与(,
2k)(k
Z)
表示同一个点。
极点
O的坐标为
(0,
)(
R)
.
3.极坐标与直角坐标的互化:
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
2
x2
y2
x
cos,
y
sin
tan
y
(x
0)
x
4.曲线的极坐标方程:
1.直线的极坐标方程:
若直线过点M(0,0),且极轴到此直线的角为,则它
的方程为:
sin()0sin(0)
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴(3)直线过M(b,)且平
2
行于极轴
方程:
(1)(R)或写成及
(2)cosa(3)ρsinθ=b
2.圆的极坐标方程:
若圆心为M(0,0),半径为r的圆方程为:
2
20
cos(
0)
2
r
2
0
0
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点,r为半径
(2)当圆心位于C(a,0)(a>0),a为半径(3)
当圆心位于C(a,
)(a
0),a为半径
2
方程:
(1)
r
(2)
2acos
(3)2asin
5.在极坐标系中,
(
0)表示以极点为起点的一条射线;
(R)表示
过极点的一条直线.
极坐标方程典型例题
考点一
极坐标与直角坐标的互化
1.点M的直角坐标是(1,
3)
,则点M的极坐标为(
)
A.(2,
)
B.(2,)
C.(2,2)
D.(2,2k
),(kZ)
3
3
3
3
2.点2,2的极坐标为
。
3.点P的直角坐标为(-
2,
2),那么它的极坐标可表示为________.
3π
答案:
2,4
4.(2012
宁夏)已知圆C:
(x1)2
(y
3)2
1,则圆心C的极坐标为
_______(
0,0
2)
答案:
((2,2
))
3
5.把点A(5,),B(3,)的极坐标化为直角坐标。
64
6.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为
A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4
C.(x-2)2+y2=4
D.(x+2)2+y2=4
解:
将ρ=x2
y2,
θ
y
代入ρ=4sinθ,得x
22
,即
2
2
=4.
sin=
y2
+y=4y
x+(y-2)
x2
∴应选B.
7.在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x
轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为25sin。
求圆C的直角坐标方程;
8.若曲线的极坐标方程为
ρ=2sinθ+4cosθ,以极点为原点,极轴为
x轴正半轴
建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为
________.
解析
2
θ+4ρcosθ.
∵ρ=2sinθ+4cosθ,∴ρ=2ρsin
∴x2+y2=2y+4x,即x2+y2-2y-4x=0.
9.化极坐标方程
2cos
0为直角坐标方程为(
)
.x
2
2
或
B.
x1
C.x
2
2
或x
D.y1
A
y
0
y
1
y
0
1
10.极坐标方程
ρ=sinθ+2cos所表θ示的曲线是
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
11.极坐标方程
cos
2sin2
表示的曲线为(
)
A.一条射线和一个圆
B.两条直线
C.一条直线和一个圆
D.一个圆
12.极坐标ρ=cos(
)表示的曲线是
4
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
解:
原极坐标方程化为ρ=1
(cosθ+sinθ)22=ρcosθ+ρ,sinθ
2
∴普通方程为
2(x2+y2)=x+y,表示圆.应选D.
13.圆
5cos
5
3sin
的圆心坐标是(
)
A.(
5,4
)
B.(
5,)
C.(5,
)
D.(
5,5)
3
)曲线
3
3
2+y2
3
轴的正
14.(江西15
C
的直角坐标方程为
,以原点为极点,
x
x
-2x=0
半轴为极轴建立积坐标系,则曲线
C的极坐标方程为___________。
考点二直线的极坐标方程的应用
过极点且关于极轴的倾斜角是
的直线的极坐标方程是___________
1.
3
2.过点(2,
)
且与极轴垂直的直线方程为(
)
3
A.
4cos
B.
cos
10
C.sin
3
D.
3sin
3.过点(2,
)
且与平行于极轴的直线的极坐标方程是(
)
3
A.
sin
1
B.
cos
1
C.sin
3
D.
cos3
4.已知点
P的极坐标是(1,
),则过点P且垂直极轴的直线方程是(
)。
5.已知点
P的极坐标是(1,
),则过点P且平行极轴的直线方程是(
)。
6.过点(2,
)
且与极轴所成的角为
的直线的极坐标方程是
3
7.(佛山市2013届高三上学期期末)在极坐标系中,直线
l过点(1,0)且与直线
(
R)垂直,则直线l
极坐标方程为
.
3
答案:
2
sin()1(或2cos(
)1、cos
3
sin
1)
6
3
8.在极坐标系中,经过点A(2,
)且垂直于OA(O为极点)的直线的极坐标方
3
程是
π
9.(2011广·州测试
(二))设点A的极坐标为2,6,直线l过点A且与极轴所成的
π
角为3,则直线l的极坐标方程为________________.
[审题视点]先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程.
π
【解析】∵点A的极坐标为2,6,∴点A的平面直角坐标为(3,1),又∵直
π
π
线l过点A且与极轴所成的角为
3,∴直线l的方程为y-1=(x-
3)tan3,即3
x-y-2=0,∴直线l的极坐标方程为
3ρcosθ-ρsinθ-2=0,可整理为
ρcosθ+
π
或ρsin
π
或ρsinθ-
4π
6
=1
3
-θ=1
3
=1.
π
π
4π
答案ρcosθ+6=1或3ρcosθ-ρsinθ-2=0或ρsin3-θ=1或ρsinθ-3
=1.
10.在极坐标中,求两点P(2,),Q(2,)之间的距离以及过它们的直线的极坐标
44
方程。
11.极点到直线
cos
sin
3
的距离是________
_____。
解析:
直线l:
(
R)
x
0
2
3
3y0;点C到直线l的距离是
2
3
6
12.在极坐标系中,点
3
)到直线l:
3cos4sin
3的距离为
.
(2,
2
13.已知直线的极坐标方程为
sin(
4
)
2,则点(
2
0,0)到这条直线的距离
是.
π
14.在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点2,6到直线l的距离为
________.
π
解析:
∵直线l的极坐标方程可化为y=3,点2,6
化为直角坐标为(3,1),
π
∴点2,6
到直线l的距离为2.
15.在极坐标系中,点
π
cos(
π
3
P(1,)到曲线l:
)
2上的点的最短距离
2
4
2
为
.
16.在极坐标系下,已知直线l的方程为
cos(
)
1,则点M(1,
)到直线l的
3
2
2
距离为__________.
3
,点B在直
17.(广州市2013届3月测试题
(一))在极坐标系中,定点A2,
2
线cos
3sin0
上运动,当线段AB最短时,点B的极坐标为
.
答案:
11
1
6
考点三
圆的极坐标方程的应用
1.求圆心为C3,
,半径为3的圆的极坐标方程。
6
2.在极坐标系中,以(a,
2
)为圆心,a为半径的圆的极坐标方程是
。
2
2
x
cos,
解析:
由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式
得
y
sin,
x2
y2
2x
2
2cos
0,又
0,所以2cos.
3.在极坐标中,已知圆C经过点P2,
,圆心为直线
sin
3与极轴
4
3
2
的交点,求圆C的极坐标方程.
解析:
∵圆C圆心为直线sin
3与极轴的交点,
3
2
∴在sin
3
3中令=0,得
1。
2
∴圆C的圆心坐标为(1,0)。
∵圆C经过点P
2,
,∴圆C的半径为PC
2
2
12cos
=1。
212
4
4
∴圆C经过极点。
∴圆C的极坐标方程为
=2cos。
4.极坐标方程ρ=cosθ和ρ=sin的θ两个圆的圆心距是(
)
A.2
B.2
C.1
D.
2
2
答案:
(D)
5.在极坐标系中,点(
)到圆2cos
的圆心的距离为_____
6.(2012安徽13)在极坐标系中,圆
4sin
的圆心到直线
(
R)的距
6
离是_____
【解析】距离是
3圆
4sin
x2
(y
2)2
4的圆心C(0,2)
7.在极坐标系下,圆
2的圆心到直线
sin
2
cos
1的距离是
.
8.点M,N分别是曲线
sin
2和
2cos上的动点,则|MN|的最小值是
_______
。
9.已知在极坐标系下,点
A1,
B
3,2
,O是极点,则
ABC的面积等
3
3
于
.
10.(汕头市2013届高三上学期期末)已知直线
l:
cos
sin4,
圆C:
4cos
,则直线l与圆C的位置关系是________(.相交或相切或相离?
)
答案:
相交
11.在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ直线与3ρcosθ+4ρsinθ相+a=0切,求实数a的
值。
解析:
2
2cos,圆ρ=2cos的θ普通方程为:
x2
y2
2x,(x
1)2
y2
1,
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为:
3x4ya
0,
又圆与直线相切,所以|314
0a|
1,解得:
a
2,或a
8。
32
42
12.(梅州市2013届高三3月总复习质检)在极坐标系中,圆
=2上的点到直
线sin(
)=3的距离的最小值是____
6
答案:
1
13.(肇庆市2013届高三3月第一次模拟)在极坐标系中,圆
2上的点到直
线cos
3sin6的距离的最小值为__▲__
答案:
1
14.(2011西·安五校一模)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为________.
解析ρ=2sinθ的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,ρcosθ=-1的直角坐标方程
2+y2-2y=0,
x
=-,
x
1
为x=-1,联立方程,得
解得
即两曲线的交点为
x=-1,
y=1,
3π
(-1,1),又0≤θ<2π,因此这两条曲线的交点的极坐标为
2,4.
15.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为cos3,
4cos
,
≤
π
,则曲线C1与C2交点的极坐标为
.
≥00
2
解析:
联立解方程组
cos
3
)解得
2
3
即两曲线的交点为
(0,0
4cos
2
6
(23,
)。
6
(肇庆市
2013
届高三上学期期末)在极坐标系
(
0,0
)中,
16.
2
曲线
2sin
与
2cos
的交点的极坐标为_____
解析:
2,
两式相除得tan1
2sin
2,交点的极坐
4
4
4
标为2,
4
在极坐标系中,若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两17.
点,则|AB|=________.
[审题视点]先将直线与曲线的极坐标方程化为普通方程,再利用圆的知识求|AB|.
【解析】注意到在极坐标系中,过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是
2222
x=1,曲线ρ=4cosθ的直角坐标方程是x+y=4x,即(x-2)+y=4,圆心(2,0)
18.在极坐标中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线
4cos于
A
、两点,
B
则AB=
。
19.在极坐标系中,直线(sincos)2被圆4sin截得的弦长为
20.(惠州市2013届高三上学期期末)直线2
cos
1与圆
2cos
相交的弦
长为
.
解析:
直线2cos
1与圆
2cos
的普通方程为2
x
1和(x1)2
y2
1,圆
心到直线的距离为1
1
1,所以弦长为21
(
1
)2
3
2
2
2
21.(2012陕西)直线2
cos
1与圆
2cos
相交的弦长为
.
【解析】
2cos
1
是过点
1,0
且垂直于极轴的直线,
2cos
是以
1,0
为
2
2
圆心,1为半径的圆,则弦长
=2
1
1
3.
2
22.(湛江市2013届高三上学期期末)在极坐标系中,直线
sin
2与圆
2
2cos
相交的弦长为____
答案:
2
23.(2011广·州调研)在极坐标系中,直线ρsin
θ+
π
4
=2被圆ρ=4截得的弦长为
________.
解析由ρsinθ+
π
2ρθ+ρθ=
可化为
+-
=圆ρ=
=2,得
4
2(
sin
cos
)
2
x
y22
0.
4
可化为x2+y2=16,由圆中的弦长公式得:
2
r2-d2=2
42-2
22=4
3.
2
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