三角函数的周期性和奇偶性邓绍钦.docx

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三角函数的周期性和奇偶性邓绍钦

三角函数的周期性与奇偶性

四川德阳市旌阳区黄许职中邓绍钦

典题导入

3n

［例3］（2012•广州调研）已知函数f（x）=sin2x+-牙（x€

R），给出下面四个命题：

①函数f（x）的最小正周期为n;②函数f（x）是偶函数；

n

③函数f（x）的图象关于直线x=^对称；④函数f（x）在区间

n

o,2上是增函数.其中正确命题的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

3n

［自主解答］函数f（x）=sin2x+-亍=-cos2x，则其最小正周期为n,故①正确；易知函数f（x）是偶函数，②正确；由f（x）=n

—cos2x的图象可知，函数f（x）的图象不关于直线对称，③

n

错误；由f（x）的图象易知函数f（x）在0,㊁上是增函数，故④正确.综上可知，选C.

［答案］C

由题悟法

1.三角函数的奇偶性的判断技巧

首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断.

2.求三角函数周期的方法

（1）利用周期函数的定义；

（2）利用公式：

y=Asin（®x+©）和y=Acos（+©）的最小正

2nn

周期为|r,y=tan（®x+©）的最小正周期为|r;

I3II3丨

（3）利用图象.

3.三角函数的对称性

正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用.

以题试法

n

3.

（1）（2013•青岛模拟）下列函数中，周期为n,且在—,

上为减函数的是（）

n

B.y=cos2x+~

n

A.y=sin2x+3

nn

C.y=sinx+3D.y=cosx+三

（2）（2012•遵义模拟）若函数f（x）=sinax+cosax（a>0）的最小正周期为1,则它的图象的一个对称中心为（）

n

B.（0,0）

A.--,0

D.80

1

C.-8,0

n

解析：

（1）选A对于选项A,注意到y=sin2x+㊁=cos2x

nn

的周期为n,且在n4,~2上是减函数.

jn

（2）选C由条件得f（x）=〔2sinax+—，又函数的最小正周期

2ni

为1,故=1,二a=2n,故f（x）=-•2sin2nx+—.将x=—§代

入得函数值为0.

1.函数目=、cosx—2的定义域为（）

A.

兀兀

兀，n

B.kn——~3,kn+~3,k€Z

n,n

C.2kn——~3,2kn+-3,k€Z

D.R

11n

解析：

选Ctcosx—0,得cosx>2，二2kn—石

223

n,

+3，k€乙

n

2.已知函数f（x）=sinx—（x€R），下面结论错误的是（）

A.函数f（x）的最小正周期为2n

n

B.函数f（x）在区间0,㊁上是增函数

C.函数f（x）的图象关于直线x=0对称

D.函数f（x）是奇函数

〜「一、「n，兀

解析：

选Dty=sinx——=—cosx,「.T=2n,在0,~上是增函数，图象关于y轴对称，为偶函数.

n

3.已知函数f（x）=sin2®x—-3（3>0）的最小正周期为n,则函数f（x）的图象的一条对称轴方程是（）

nn

A.x=12B-x="6

5nn

C.x=12D.x=3

解析：

选C由T=n=—得3=1,所以f（x）=sin2x—

2®3

则f（x）的对称轴为2x—-3=~2+kn（k€Z），解得x=12+2（k€

5n

Z），所以x=云为f（x）的一条对称轴.

nxn

4.（2012•山东高考）函数y=2sin———§（0

A.2—3B.0

C.—1D.—1—3

nnXn7n3

解析：

选A当OWx<9时，—丐冬匚—飞冬=,—飞冬sin

36362

n6X—^<1,所以函数的最大值为2,最小值为—-.3,其和为2—3.

n

5.

已知函数f（x）=—2sin（2x+©）（|©|

n

4+©=1.因为|©|

nnn3n

由2kn—~2<2X+4<2kn+?

k€Z,解牛彳得kn—~

兀.

8,k€乙

nn

6.已知函数f（x）=2sin3x（3>0）在区间一§,~4上的最小值是—2,则3的最小值等于（）

23

A.B.-

32

C.2D.3

nn一》nn，‘

解析：

选BTx€—~3,"4，贝Swx€—~33,~43，要使

nn、.nnn

函数f（x）在—§,才上取得最小值—2，则—E3<—㊁或壬3>3^，得w故3的最小值为|.

n

7.函数y=cos才—2x的单调减区间为.

nn

解析：

由y=cos~4—2x=cos2x—匸得

n

2kn<2x——4<2kn+n（k€Z）,

t,n5n

故kn+—

88

n5n

所以函数的单调减区间为kn+g,kn+—（k€Z）

答案：

n,5n

kn+8，kn+8（k€Z）

8.已知函数f（x）=5sin（3x+2）满足条件f（x+3）+f（x）=0,则正数3=.

解析：

f（x+3）+f（x）=0?

f（x+6）=f（x），故f（x）以6为最小

2n

正周期，故=6.又3>0,

丨3丨

答案:

4n

9.如果函数y=3cos（2x+©）的图象关于点—,0中心对称,那么|©|的最小值为.

n

解析：

丁y=cosx的对称中心为kn+刁,0（k€Z）,

t4nn小13n

二由2X—3-+©=kn+~2（k€Z），得©=kn—―（k€Z）.

ttn

•••当k=2时，|©|min=—.

答案:

10.设f（x）=1—2sinx.

（1）求f（x）的定义域；

（2）求f（x）的值域及取最大值时x的值.

解：

（1）由1—2sinx>0,根据正弦函数图象知：

定义域为

5

x2kn+6

nWxW2kn+6,k€Z.

6

（2）v—Ksinx<1,•—1<1—2sinx<3,

*•*1—2sinx》0,•0w1—2sinxw3,

—3n

•f（x）的值域为［0,,3］，当x=2kn+y,k€Z时，f（x）取

得最大值.

11.已知函数f（x）=2sin（n—x）cosx.

（1）求f（x）的最小正周期；

nn

⑵求f（x）在区间—石,~2上的最大值和最小值.

解：

（1）vf（x）=2sin（n—x）cosx=2sinxcosx=sin2x,函数f（x）的最小正周期为n.

•••―才<2x

所以f（x）在区间一n,nn上的最大值为i,最小值为一W.

12.（2012•北京高考）已知函数f（x）=

sinx—cosxsin2x

=2cosx（sinx—cosx）

=sin2x—cos2x—1

=-.2sin2x-亍—1,

2n

所以f（x）的最小正周期T==n.

nn

（2）函数y=sinx的单调递增区间为2kn—,2kn+（k€

Z）.

.,nn,n,,

由2kn—2W2x—4W2kn+?

XMkn（k€Z）,

n3n

得kn—x

88

n3n

所以f（x）的单调递增区间为kn—,kn和kn,kn+

（k€Z）.

n

1.（2012•新课标全国卷）已知宀>0,0<©

5n

=-厂是函数f（x）=sin（3x+©）图象的两条相邻的对称轴，则©

n

B.E

3n

—

=（）

n

A.7

n

C.㊁

n5n

解析：

选A由于直线x="4和x=-4是函数f（x）=sin（3X+©）图象的两条相邻的对称轴，所以函数f（x）的最小正周期T=2n,nn

所以3=1,所以—+©=kn+y（k€Z）,

n

又0<©

n2n

2.函数y=f（cosx）的定义域为2kn-—,2kn+三（k€Z）,

则函数y=f（x）的定义域为.

n2n

解析：

由2kn—~6Wx<2kn+-^（k€Z）,

ZB1

得—产cosx<1.

1

故所求函数的定义域为—2，1.

答案：

-扌，1

n

3.（2012•汕头模拟）已知a>0,函数f（x）=-2asin2x+g+

.nt

2a+b,当x€0,2时，一5

（1）求常数a,b的值；

（2）求f（x）的单调区间.

nnn7

解：

（1）vx€0,~2，二"6W2x+—w6兀，

.1•cn

--—入wsin2x+w1,

26

又va>0,—5wf（x）w1,

—2a+2a+b=—5,a=2,

即

a+2a+b=1,b=—5.

n

（2）f（x）=—4sin2x+_6—1,

tn.nn./口

由一7"+2knw2x+w~~+2kn得

262

n..

3+knwxw百+kn,k€z,

nn3n

由；~+2knW2x+w+2kn得

262

k€乙

n2

+knwxwcn+kn,

63

nn

单调递减区间为一~3+kn,"6+kn（k€Z）.

"、.n.

1.

（2012•湖南高考）函数f（x）=sinx—cosx+石的值域为

C.0,

\3,.3].

2.（2012•温州模拟）已知函数y=2sin（®x+©）（w>0）为偶函数（0<©

B.

A.

n

D.

©=~2，从而y=2cos

w=2,因此y=2cos2x.经验证知A满足条件.

n

3.设函数f（x）=sin（wx+©）w>0,|©|<"2,给出以下四个论断：

1它的最小正周期为n;

n

2它的图象关于直线x=-成轴对称图形;

n

3它的图象关于点§，0成中心对称图形;

n

4在区间一^,0上是增函数.

6

以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题（用序号表示即可）.

答案：

①②？

③④（或①③？

②④）

2n

4.已知函数f（x）=sin（3x+©）0<©<3的最小正周期为n.

（1）求当f（x）为偶函数时©的值；

（2）若f（x）的图象过点青，「今，求f（x）的单调递增区间.

2n

解：

•由f（x）的最小正周期为n,贝卩T==兀，二3=2.

3

f（x）=sin（2x+©）.

（1）当f（x）为偶函数时，f（-x）=f（x）.

sin（2x+©）=sin（—2x+©），展开整理得sin2xcos©=0,由已知上式对？

x€R都成立，

2n

n

cos©=0,

•/0<©

<

3

>••

©=2.

（2）f（x）的图象过点

n

6，

二

2

时,

n

sin2x6+©

n,-3

sin3+©=2.

2n

n

n

又•••0<©,

3

3+

©<

n.

n2nn

•-7+©=T，©=3

「•f（x）=sin2x+

nn,n,

令2kn—W2X+~3W2kn+,k€Z,

e5nn

得kn—12WxWkn+12，k€Z.

5nn

「•f（x）的递增区间为kn—12,kn+12,k€乙