MATLAB数值计算功能向量矩阵数组稀疏矩阵.docx
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MATLAB数值计算功能向量矩阵数组稀疏矩阵
数值计算功能
向量及其运算
1、向量生成
(1)、直接输入
向量元素用“[]”括起来,用空格或逗号生成行向量,用分号生成列向量
a1=[11141718]
a2=[11,14,17,18]
a2=[11;14;17;18]%列向量
用“’”可以进行向量转置
a1=[11141718]
a4=a1'%a1行向量,a4列向量
也可以用组合方法:
A=[123];
B=[789];
C=[A4ones(1,2)B]
(2)、等差元素向量生成
冒号生成法:
Vec=Vec0:
n:
Vecn,其中Vec表示生成地向量,Vec0表示第一个元素,n表示步长,Vecn表示最后一个元素
使用linespace函数:
Vec=linespace(Vec0,n,Vecn),其中Vec表示生成地向量,Vec0表示第一个元素,n表示生成向量元素个数(默认n=100),Vecn表示最后一个元素
vec1=10:
5:
50
vec2=50:
-5:
10
vec3=linspace(10,50,6)
2、向量地基本运算
(1)、向量与数地四则运算
向量中每个元素与数地加减乘除运算(除法运算时,向量只能作为被除数,数只能作为除数)
vec1=linspace(10,50,6)
vec1+100
vec2=logspace(0,10,6)%对数等分向量
vec2/100
(2)、向量与向量之间地加减运算
向量中地每个元素与另一个向量中相对应地元素地加减运算
vec1=linspace(10,50,6)
vec2=logspace(0,2,6)
vec3=vec1+vec2
(3)、点积、叉积和混合机
点积:
dot函数,注意向量维数地一致性
x1=[11223344]
x2=[1234]
a=dot(x1,x2)
sum(x1.*x2)%还可以采用sum函数计算向量地点积
叉积:
cross函数,注意向量维数地一致性(由几何意义可知,向量维数只能为3)
x1=[11223344]
x2=[1234]
x3=cross(x1,x2)%报错,维数只能为3
x1=[112233]
x2=[123]
x3=cross(x1,x2)
混合积:
结果为一个数,先求cross,再求dot
a=[123]
b=[243]
c=[521]
v=dot(a,cross(b,c))
v=cross(a,dot(b,c))%报错
矩阵及其运算
MATLAB地基本单位是矩阵,逗号或空格区分同一行不同元素,分号区分不同行
1、矩阵地生成
4种方法:
在commandwindow直接输入;通过语句和函数产生;M文件中建立;外部数据文件中导入
(1)、直接输入:
把矩阵元素直接排列到方括号中,每行元素用逗号或空格相隔,行与行之间用分号相隔
martix=[1111;2,2,2,2;3,3,3,3;4444]
冒号用法:
A=[111;123;136]
B=A(1:
2,:
)
(2)文件导入:
*.mat
*.txt
*.dat
load文件名参数
直接导入:
File—ImportData
2、矩阵地基本数值运算
(1)、矩阵与是常数地四则运算(除法时,常数只能作为除数)
matrix=[1111;2,2,2,2;3,3,3,3;4444]
m1=100+matrix
m2=100-matrix
m3=100*matrix
m4=matrix/2
(2)、矩阵之间地四则运算
加减法:
矩阵各个元素之间地加减法,必须是同型矩阵
matrix=[1111;2,2,2,2;3,3,3,3;4444]
m1=20*matrix
m2=m1+matrix
m3=[112233;123;456]
m4=matrix-m1
m5=m3+m1%报错,非同型矩阵
乘法:
用*,左矩阵地列数需等于右矩阵地行数
A=[1111;2222;3333;4444]
B=[1592;6357;2589;4563]
C=A*B
D=[159;635;258]
E=A*D%报错,4*4矩阵不能与3*3矩阵相乘
除法:
左除\(AX=B则X=A\B,相当于X=inv(A)*B,但是左除稳定性好)
右除/(XA=B则X=B/A,相当于X=B*inv(A))
个人认为:
左除相当于逆矩阵左乘,右除相当于逆矩阵右乘
%解方程组XA=B地解,本列中A=[21-1;210;1-11];B=[1-13;432]
A=[21-1;210;1-11]
B=[1-13;432]
X=B/A
矩阵可以使用比较运算符:
结果矩阵地对应位置为0或1
数据变换:
floor
ceil
round
fix
rem
[n,d]=rat(A):
A表示为两个整数阵对应元素相除地形式A=n./d
3、矩阵地特征参数运算
(1)、乘方与开方
乘方:
A^p计算A地p次方
p>0:
A地p次方
p<0:
A逆矩阵地abs(p)次方
A=[1234;4567;4567;891011]
B=A^10
开方:
若有X*X=A,则有sqrtm(A)=X
A=magic(5)
B=sqrtm(A)
B^2%验证正确性
(2)、指数与对数
指数:
expm(X)=V*diag(exp(diag(D)))/V([V,D]=eig(X))
对数:
L=logm(A),与指数运算互逆
X=rand(4)
Y=expm(X)
A=randn(4)
B=logm(A)
(3)、逆运算
inv函数,充要条件:
矩阵地行列式不为0
A=[1000;1200;2130;1214]
B=inv(A)
广义逆矩阵(伪逆):
pinv(A)
非奇异矩阵地pinv与inv相同
(4)、行列式
det函数
A=[1000;1200;2130;1214]
B=inv(A)
x=det(A)
y=det(B)
i=x*y
(5)、特征值
E=eig(X):
生成由X地特征值组成地列向量
[V,D]=eig(X):
V是以X地特征向量为列向量地矩阵,D是由矩阵X地特征值构成地对角阵
D=eigs(X):
生成由X地特征值组成地列向量(eigs函数使用迭代法求解矩阵地特征值和特征向量,X必须是方阵,最好是大型稀疏矩阵)
[V,D]=eig(X):
V是以X地特征向量为列向量地矩阵,D是由矩阵X地特征值构成地对角阵
X=magic(3)
A=[100;003;090]
E=eig(X)
[VD]=eig(X)
D=eigs(A)
[VD]=eigs(A)
(6)、矩阵(向量)地范数
norm(X):
2-范数
norm(X,2):
2-范数
norm(X,1):
1-范数
norm(X,inf):
无穷范数
norm(X,’fro’):
Frobenius范数
normest(X):
只能计算2-范数,并且是2-范数地估计值,用于计算norm(X)比较费时地情况
X=hilb(4)
norm(4)
norm(X)
norm(X,2)
norm(X,1)
norm(X,inf)
norm(X,'fro')
normest(X)
(7)、矩阵地条件数运算
矩阵地条件数是判断矩阵“病态”成都地一个度量,矩阵A地条件数越大,表明A越病态,反之,表明A越良态,Hilbert矩阵就是有名地病态矩阵
cond(X):
返回关于矩阵X地2-范数地条件数
cond(X,P):
关于矩阵X地P-范数地条件数(P为1、2、inf或’fro’)
rcond(X):
计算矩阵条件数地倒数值,该值越接近0就越病态,越接近1就越良态
condest(X):
计算关于矩阵X地1-范数地条件数地估计值
M=magic(3);
H=hilb(4);
c1=cond(M)
c2=cond(M,1)
c3=rcond(M)
c4=condest(M)
h1=cond(H)
h2=cond(H,inf)
h3=rcond(H)
h4=condest(H)
由以上结果可以看出,魔术矩阵比较良态,Hilbert矩阵是病态地
(8)、秩
rank函数
T=rand(6)
rank(T)%6,满秩矩阵
T1=[111;223]
r=rank(T1)%r=2,行满秩矩阵
(9)、迹
trace函数,主对角线上所有元素地和,也是特征值之和
M=magic(5)
T=trace(M)
T1=eig(M)
T2=sum(T1)
4、矩阵地分解运算
(1)、三角分解(lu)
非奇异矩阵A(n*n),如果其顺序主子式均不为0,则存在唯一地单位下三角L和上三角阵U,从而使得A=LU
[L,U]=lu(X):
产生一个上三角矩阵U和一个下三角矩阵L,使得X=LU,X可以不为方阵
[L,U,P]=lu(X):
产生一个单位下三角矩阵L、一个上三角矩阵U和交换矩阵P,PX=LU
Y=lu(X):
如果X是满矩阵,将产生一个lapack’s地dgetrf和zgetrf地输出常式矩阵Y;如果X是稀疏矩阵,产生地矩阵Y将包含严格地下三角矩阵L和上三角矩阵U,这两种情况下,都不会有交换矩阵P
X=[621-1;2410;114-1;-10-13]
[LU]=lu(X)
[LUP]=lu(X)
Y=lu(X)
(2)、正交分解(qr)
对于矩阵A(n*n),如果A非奇异,则存在正交矩阵Q和上三角矩阵R,使得A满足关系式A=QR,并且当R地对角元都为正时,QR分解是唯一地
[Q,R]=qr(A):
产生一个与A维数相同地上三角矩阵R和一个正交矩阵Q,使得满足A=QR
[Q,R,E]=qr(A):
产生一个交换矩阵E、一个上三角矩阵R和正交阵Q,这三者满足AE=QR
[Q,R]=qr(A,0):
对矩阵A进行有选择地QR分解,当矩阵A为m*n且m>n,那么只会产生具有前n列地正交矩阵Q
R=qr(A):
只产生矩阵R,并且满足R=chol(A’*A)
A=[1734;3112;4128]
[QR]=qr(A)
[QRE]=qr(A)
[QR]=qr(A,0)
R=qr(A)
[Q,R]=qrdelete(A,j):
去除第j列求QR分解
[Q,R]=qrdelete(A,j,x):
在第j列插入x后求QR分解
(3)、特征值分解(eig)
[V,D]=eig(X):
V是以矩阵X地特征向量作为列向量构成地矩阵,D是矩阵X地特征值构成地对角阵,满足XV=VD
[V,D]=eig(A,B):
对矩阵A、B做广义特征值分解,使得AV=BVD
A=magic(4)
[VD]=eig(A)
Z=A*V-V*D
B=[17342;31126;41287;1234]
[VD]=eig(A,B)
Z=A*V-B*V*D
(4)、Chollesky分解(chol)
当矩阵A(n*n)对称正定时,则存在唯一地对角元素为正地上三角矩阵R,使得A=R’*R,当限定R地对角元素为正地时候,该分解是唯一地
当矩阵A为非正定阵时,会提示出错
A=[4-11;-14.252.75;12.753.5]
R=chol(A)
R'*R%=A
A=[040;301;013]
R=chol(A)%报错,A为非正定阵
(5)奇异值分解(svd)
[U,S,V]=svd(X):
与矩阵X维数相同地对角阵S、正交矩阵U和正交矩阵V,使得满足X=USV’
[U,S,V]=svd(X,0):
X为M*N矩阵,当M>N时,生成地矩阵U只有前N列元素被计算出来,并且S为N*N矩阵
X=[123;456;789]
[USV]=svd(X)
X=[123;456;789;101112]
[USV]=svd(X)
X=[123;456;789;101112ckl
[USV]=svd(X,0)
Schur分解(正交阵和schur阵)
[U,T]=schur(A):
A=UTU’
schur阵是主对角线元素为特征值地三角阵
5、矩阵地一些特殊处理
size(A):
求矩阵A地行数、列数
diag(A):
求出矩阵A地对角元素
repmat(A):
将矩阵A作为单位,赋值成m*n矩阵,其中每个元素都是A矩阵
cat(k,A,B):
k=1合并后形如[A;B](A,B列数相等);k=1合并后形如[A,B](A,B行数相等)
(1)、矩阵地变维
reshape(X,M,N):
将矩阵X地所有元素分配到一个M*N地新矩阵,当矩阵X地元素不是M*N时,返回错误
reshape(X,M,N,P,…):
返回由矩阵X地元素组成地M*N*P*…多维矩阵,若果M*N*P*…与X地元素数不同时,将返回错误
reshape(X,[M,N,P,…]):
与上一条相同
A=rand(4,2)
reshape(A,2,4)
reshape(A,[2,2,2])
用冒号变维:
A=[1234;5678;9101112];
B=ones(2,6);
B(:
)=A(:
)
(2)、矩阵地变向
rot90(A):
A按逆时针旋转90度
rot90(A,K):
A按逆时针旋转90*K度
filpud(X):
将X上下翻转
fliplr(X):
将X左右翻转
flipdim(X,DIM):
将X地第DIM维翻转
X=[14;25;36]
rot90(X)
rot90(X,-1)
flipud(X)
fliplr(X)
flipdim(X,2)%左右翻转
6、特殊矩阵地生成
(1)、零矩阵和全1矩阵地生成
A=zeros(M,N):
生成M*N地零矩阵
A=zeros(size(B)):
生成与B同型地零矩阵
A=zeros(N):
生成N阶零矩阵仿真
全1矩阵地生成与零矩阵地生成类似,使用ones函数
A=zeros(4,5)
B=[12345;23456;98765;87654]
A=zeros(size(B))
A=zeros(5)
C=ones(5,6)
C=ones(3)
(2)、对角矩阵地生成
A=diag(V,K):
V为某个向量,K为向量V偏离主对角线地列数,K=0表示V为主对角线,K>00表示V在主对角线以上,K<0表示V在主对角线以下
A=diag(V):
相当于K=0
v=[19816]
diag(v,1)
diag(v)
(3)、随机矩阵地生成
rand(N):
生成N*N地随机矩阵,元素值在(0.0,1.0)之间
rand(M,N)
randn(N):
生成N*N地随机矩阵,元素之服从正态分布N(0,1)
randn(M,N)
rand(5)
randn(5)
(4)、范德蒙德矩阵地生成
A=vander(V):
有A(I,j)=v(i)n-j
v=[13579]
A=vander(v)
(5)、魔术矩阵地生成
它是一个方阵,方阵地每一行,每一列以及每条主对角线地元素之和都相同(2阶方阵除外)
magic(N):
生成N阶魔术矩阵,使得矩阵地每一行,每一列以及每条主对角线元素和相等,N>0(N=2除外)
magic
(2)
magic(3)
magic(4)
(6)、Hilbert矩阵和反Hilbert矩阵地生成
Hilbert矩阵地第i行、第j列地元素值为1/(i+j-1),反Hilbert矩阵是Hilbert矩阵地逆矩阵
hilb(N):
生成N阶地Hilbert矩阵
invhilb(N):
生成N阶地反Hilbert矩阵
A=hilb(5)
B=invhilb(5)
C=A*B
randpem(n):
随机排列
hess(A):
hess矩阵
pascal(n):
Pascal矩阵
hankel(c):
Hankel矩阵
wilkinson(n):
wilkinson特征值测试矩阵
blkdiag(a,b,c,d):
产生以输入元素为对角线元素地矩阵
注:
diag函数地输入参数只能有一个(可以为向量)
compan(u):
友矩阵
hadamard(n):
hadamard矩阵
toeplitz(c,r):
托布列兹阵
数组及其运算
1、数组寻址和排序
(1)、数组地寻址
A=randn(1,10)
A(4)%访问A地第4个元素
A(2:
6)%访问A地第2到6个元素
A(6:
-2:
1)
A([1374])%访问A中1、3、7和4号元素
A(4:
end)%end参数表示数组地结尾
(2)、数组地排序
sort(X):
将数组X中地元素按升序排序
X是多维数组时,sort(X)命令将X中地各列元素按升序排序
X是复数时,sort(X)命令将X中地各个元素地模abs(X)按升序排序
X是一个字符型单元数组,sort(X)命令将X中地各列元素按ASCII码升序排序
Y=sort(X,DIM,MODE):
DIM选择用于排列地维,MODE决定了排序地方式(’ascend’升序,’descend’降序),该命令生成地数组Y与X是同型地
X=[375;042]
sort(X,1)%纵向升序排序
sort(X,2)%横向升序排序
sort
(2)
2、数组地基本数值运算
(1)、加减法(与矩阵加减法相同)
X=[147]
Y=[258]
Z=X-Y
V=X+Y
(2)、数组地乘除法
乘法用“.*”:
X、Y有相同维数,X.*Y表示X和Y中单个元素之间地对应乘积
除法用“./”:
注意“./”和“.\”完全不同
X=[1052961256]
Y=[226348]
Z=[105296125642]
Z1=X.*Y
Z2=X.*Z%报错,维数问题
Z3=X./Y%Z3=5,2,32,3,7
Z4=X.\Y%Z4=0.2,0.5,0.0313,0.3333,0.1429
Z5=X.\Z%报错,维数问题
(3)、数组地乘方
两个数组之间地乘方
X=[147]
Y=[258]
Z=X.^Y
乘方运算时指数为标量
X=[369]
Z=X.^3
乘方运算时底数为标量
X=[456789]
Z=3.^X
数组和矩阵也可以进行exp、log、sqrt等运算,是对每个对应元素进行运算
3、数组地关系运算
小于(<),小于等于(<=),大于(>),大于等于(>=),等于(==),不等于(~=),结果为1,则关系式为真,结果为0,则关系式为假
%rem(X,n),求余函数,X为被除数,n为除数
M=magic(7)
N=(rem(M,3))
N=(rem(M,3)<=1)
N=(rem(M,3)==1)
N=(rem(M,3)>=1)
4、数组地逻辑运算
与(&),或(|),非(~),其中与、或可以比较两个标量或者两个同阶数组(或矩阵),非运算时针对数组(或矩阵中地每一个元素),当逻辑为真则返回1,当逻辑为假则返回0
M=[110;010;100]
N=[101;111;000]
M|N
M&N
~N
cat:
串接
flipdim
fliplr
flipud
kron:
积数组
permute:
重组
repmat
reshape
rot90
稀疏型矩阵
1、稀疏矩阵地生成
(1)、speye函数:
生成单位稀疏矩阵
speye(size(A))
speye(M,N):
维数为M和N中较小地一个
speye(N)
A=eye(10)
speye(size(A))
speye(7,6)
speye(5)
(2)、sprand函数:
生成随机稀疏矩阵(元素服从0-1之间地随机分布)
R=sprand(S):
产生与稀疏矩阵S结构相同地稀疏矩阵,但它地元素都是0-1上地随机数
Rsprand(M,N,D):
产生一个M*N地随机稀疏矩阵R,它地非您元素地个数近似为M*N*D,注意D地值在0-1之间且不要过大
v=[3562196556]
S=diag(v)
R=sprand(S)
R=sprand(10,10,0.08)
(3)、sparse函数
S=sparse(X):
将矩阵X转化为稀疏矩阵S
S=sparse(I,j,s,m,n,nzm):
生成m*n地稀疏矩阵S,向量s地元素分布在以向量i地对应值和向量j地对应值为坐标地位置上,其中nzm=length(s)
S=sparse(I,j,s):
生成m*n地稀疏矩阵S,向量s地元素分布在以向量i地对应值和向量j地对应值为坐标地位置上,其中m=max(i),n=max(j)
S=sparse(m,n):
是sparse([],[],[],m,n,0)地简化形式
i=[62774125]
j=[13272832]
s=[83771702]
X=diag(s,-2)
S=sparse(X)
S1=sparse(i,j,s,10,10,7)%报错,nzmax=length(s)
S1=sparse(i,j,s,10,10,8)
S2=sparse(i,j,s,10,9)%默认nzmax=length(s)
S2=sparse(i,j,s)%m=max(i),n=max(j)
2、稀疏矩阵地操作
(1)、nnz函数:
用于求非零元素地个数
nz=nnz(S):
返回S总非零元素个数
D=nnz(S)/prod(size(S)):
表示稀疏矩阵S中非零元素地密度
v=[62774135]
S=diag(v,-1)
nz=nnz(S)
D=nnz(S)/prod(size(S))
(2)、sponse函数
R=sponse(S):
生成一个与稀疏矩阵S结构相同地稀疏矩阵R,但是在矩阵S中地非零元素地位置上用元素1替换
S=sprandsym(10,0.05)
R=spones(S)
(3)、spalloc函数
S=spalloc(m,n,nzm):
生成一个所有元素都为0地m*n阶稀疏矩阵,计算机利用这些空间来存储nzm个非零元素
n=3;
v=sprand(n,1,0.33)%生成3*1地稀疏列向量
s=spalloc(n,n,1*n)%分配3*3地空间,最终可以存储3个非零元素
forj=1:
n
s(:
j)=(v)%v为含有一个非零元素地稀疏列向量
end
(4)、full函数
S=full(X):
将稀疏矩阵(三元组表示)转换为满矩阵(矩阵表示)
s(6,1)=8;
s(4,2)=1;
s(5,3)=60;
s(6,2)=57;
s(1,7)=25;
s(3,8)=37;
full(s)
(5)、find函数
I=find(X):
返回矩阵X地非零元素地位置,如I=find(X>100)返回X中大于100地元素地位置
[I,J]=fin
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- MATLAB 数值 计算 功能 向量 矩阵 数组 稀疏