理论力学教案5.docx
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理论力学教案5
理论力学教案5
课题
第5讲——第五章平面任意力系
学时
12学时+6学时习题课
教学目的要求
1、掌握平面任意力系的简化方法和简化结果,能计算平面力系的主失和主矩。
2、能熟练应用平面任意力系的平衡方程,求解单个物体的平衡问题。
3、了解静定和静不定问题的概念以及物体系统的平衡问题。
4、理解滑动摩擦的概念和摩擦力的特征。
掌握摩擦角和自锁概念。
能求解当考虑滑动摩擦时单个物体和简单物体系统的平衡问题。
.
主要内容
1、平面任意力系的简化
2、简化结果分析及合力距定理。
3、平面任意力系的平衡。
4、静定和静不定问题的概念以及物体系统的平衡。
5、考虑摩擦时物体系统的平衡。
重点难点
1、力系简化以及力系简化结果对于平面情况要详细讨论。
2、平面力系平衡方程的各种形式要给以必要的说明。
3、物体系统的平衡。
教学方法
和手段
以讲授为主,使用电子教案
课后作业练习
问题:
P47:
1,2,3,4,5,6,7
习题:
P54:
1,4,5,6,7,8,12,13,14
预习:
第六章
本次讲稿
第五章平面任意力系
各力作用线在同一平面内且任意分布的力系称为平面任意力系。
在工程实际中经常遇到平面任意力系的问题。
例如图5-1所示的简支梁受到外荷载及支座反力的作用,这个力系是平面任意力系。
有些结构所受的力系本不是平面任意力系,但可以简化为平面任意力系来处理。
如图5-2所示的屋架,可以忽略它与其它屋架之间的联系,单独分离出来,视为平面结构来考虑。
屋架上的荷载及支座反力作用在屋架自身平面内,组成一平面任意力系。
对于水坝(图5-3)这样纵向尺寸较大的结构,在分析时常截取单位长度(如1)的坝段来考虑,将坝段所受的力简化为作用于中央平面内的平面任意力系。
事实上工程中的多数问题都简化为平面任意力系问题来解决。
所以,本章的内容在工程实践中有着重要的意义。
图5-1图5-2
图5-3
第一节平面任意力系向作用面内任意一点简化
设刚体受到平面任意力系F1、F2、…、Fn的作用,如图5-4a。
在力系所在的平面内任取一点O,称O点为简化中心。
应用力的平移定理,将力系中的和力依次分别平移至O点,得到汇交于O点的平面汇交力系F1′、F2′、…、Fn′,此外还应附加相应的力偶,构成附加力偶系mO1、mO2、…、mOn(图5-4b)。
图5-4
平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同,即
F1′=F1,F2′=F2 ,…,Fn′=Fn
所得平面汇交力系可以合成为一个力RO,也作用于点O,其力矢R′等于各力矢F1′、F2′、…、Fn′的矢量和,即
RO=F1′+F2′+…+Fn′=F1+F2+…+Fn=ΣF=R′ (5-1)
R′称为该力系的主矢,它等于原力系各力的矢量和,与简化中心的位置无关。
主矢R′的大小与方向可用解析法求得。
按图5-4b所选定的坐标系Oxy,有
Rx=X1+X2+…Xn=ΣX
Ry=Y1+Y2+…Yn=ΣY
主矢R′的大小及方向分别由下式确定:
(5-2)
其中α为主矢R′与x轴正向间所夹的锐角。
各附加力偶的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O之矩,即
mO1=mo(F1),mO2=mo(F2),…,mOn=mo(Fn)
所得附加力偶系可以合成为同一平面内的力偶,其力偶矩可用符号MO表示,它等于各附加力偶矩mO1、mO2、…、mOn的代数和,即
MO=mO1+mO2+…+mOn=mo(F1)+mo(F2)+…mo(Fn)=ΣmO(F)(5-3)
原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。
由式(5-3)可见在选取不同的简化中心时,每个附加力偶的力偶臂一般都要发生变化,所以主矩一般都与简化中心的位置有关。
由上述分析我们得到如下结论:
平面任意力系向作用面内任一点简化,可得一力和一个力偶(图5-4c)。
这个力的作用线过简化中心,其力矢等于原力系的主矢;这个力偶的矩 等于原力系对简化中心的主矩。
第二节简化结果分析及合力矩定理
平面任意力系向O点简化,一般得一个力和一个力偶。
可能出现的情况有四种:
1.R′≠0,MO=0,原力系简化为一个力,力的作用线过简化中心,此合力的矢量为原力系的主矢即RO=R′=ΣF。
2.R′=0,MO≠0,原力系简化为一力偶。
此时该力偶就是原力系的合力偶,其力偶矩等于原力系的主矩。
此时原力系的主矩与简化中心的位置无关。
3.R′=0,MO=0,原力系平衡,下节将详细讨论。
,
4.R′≠0,MO≠0,这种情况下,由力的平移定理的逆过程,可将力R′和力偶矩为MO的力偶进一步合成为一合力R,如图5-5所示。
将力偶矩为MO的力偶用两个力R与R"表示,并使R′=R=R",R"作用在点O,R作用在点O′,如图5-5b所示。
R′与R"组成一对平衡力,将其去掉后得到作用于O′点的力R,与原力系等效。
因此这个力R就是原力系的合力。
显然R′=R,而合力作用线到简化中心的距离为
图5-5
当MO>0时,顺着RO的方向看(图5-5),合力R在RO的右边;当MO<0时,合力R在RO的左边。
由上分析,我们可以导出合力矩定理。
由图4-5c可见,合力对点之矩为
mO(R)=R•d=MO
而 MO=ΣmO(F)
则 mO(R)=ΣmO(F) (5-4)
因为O点是任选的,上式有普遍意义。
于是:
得到合力矩定理:
平面任意力系的合力对其作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。
例5-1 重力坝断面如图5-6a所示,坝上游有泥沙淤积,已知水深H=46m,泥沙厚度h=6m,水的容重γ=98kN/m3,泥沙的容重γ′=8kN/m3,已知1m长坝段所受重力W1 =4500kN,W2 =14000kN。
受力图如图5-6b所示。
试将此坝段所受的力向点O简化,并求简化的最后结果。
图5-6
解 已知水中任一点的相对压强与距水面的距离成正比,即在坐标为y处的水压强为p=γ(H-y)(0≤y≤H)。
同理,泥沙压强为p′=γ′(h-y)(0≤y≤h)。
所以上游坝面所受的分布荷载如图5-6b所示。
为了方便计算,先将分布力合成为合力。
将水压力与泥沙压力分开计算。
水压力如图中大三角形所示,其合力为P1,则
P1 过三角形形心,即与坝底相距
。
泥沙压力如图中的小三角形所示,其合力设为P2,则
P2 与坝底相距
现将P1、P2 、W1 、W2 四个力向O点简化。
先求主矢。
Rx′=ΣX=P1+P2=10510kN
Ry′=ΣY=-W1 -W2 =-18500kN
再求对O的主矩
最后求合力R=R′,其作用线线与x轴交点坐标x为
第三节平面任意力系的平衡
当平面任意力系的主矢和主矩都等于零时,作用在简化中心的汇交力系是平衡力系,附加的力偶系也是平衡力系,所以该平面任意力系一定是平衡力系。
于是得到平面任意力系的充分与必要条件是:
力系的主矢和主矩同时为零。
即
R′=0,MO=0 (5-5)
用解析式表示可得
(5-6)
上式为平面任意力系的平衡方程。
平面任意力系平衡的充分与必要条件可解析地表达为:
力系中各力在其作用面内两相交轴上的投影的代数和分别等于零,同时力系中各
力对其作用面内任一点之的代数和也等于零。
平面任意力系的平衡方程除了由简化结果直接得出的基本形式(5-6)外,还有二矩式和三矩式。
二矩式平衡方程形式:
(5-7)
其中矩心A、B两点的连线不能与x轴垂直。
因为当满足时,力系不可能简化为一个力偶,或者是通过A点的一合力,或者平衡。
如果力系同时又满足条件,则这个力系或者有一通过A、B两点连线的合力,或者平衡。
如果力系又满足条件,其中x轴若与A、B连线垂直,力系仍有可能有通过这两个矩心的合力,而不一定平衡;若x轴不与A、B连线垂直,这就排除了力系有合力的可能性。
由此断定,当式(5-7)的三个方程同时满足,并附加条件矩心A、B两点的连线不能与x轴垂直时,力系一定是平衡力系。
三矩式平衡方程形式:
(5-8)
其中A、B、C三点不能共线。
对于三矩式附加上条件后,式(5-8)是平面任意力系平衡的必要与充分条件。
读者可参照对式(5-7)的解释自行证明。
平面任意力系有三种不同形式的平衡方程组,每种形式都只含有三个独立的方程式,都只能求解三个未知量。
应用时可根据问题的具体情况,选择适当形式的平衡方程。
平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情况。
当力系中各力的作用线在同一平面内且相互平行,这样的力系称为平面平行力系。
其平衡方程可由平面任意力系的平衡方程导出。
如图5-7所示,在平面平行力系的作用面内取直角坐标系Oxy,令y轴与该力系各力的作用线平行,则不论力系平衡与否,各力在x轴上的投影恒为零,不再具有判断平衡与否和功能。
于是平面任意力系的后两个方程为平面平行力系的平衡方程。
由(5-6)式得
(5-9)
由(5-7)式得
(5-10)
其中两个矩心A、B的连线不能与各力作用线平行。
平面平行力系有两个独立的平衡方程,可以求解两个未知量。
图5-7
例5-2 图5-8a所示为一悬臂式起重机,A、B、C都是铰链连接。
梁AB自重FG=1kN,作用在梁的中点,提升重量FP=8kN,杆BC自重不计,求支座A的反力和杆BC所受的力。
图5-8
解
(1)取梁AB为研究对象,受力图如图5-8b所示。
A处为固定铰支座,其反力用两分力表示,杆BC为二力杆,它的约束反力沿BC轴线,并假设为拉力。
(2)取投影轴和矩心。
为使每个方程中未知量尽可能少,以A点为矩,选取直角坐标系Axy。
(3)列平衡方程并求解。
梁AB所受各力构成平面任意力系,用三矩式求解:
由ΣmA=0 -FG×2-FP×3+FTsin30º×4=0
得
由ΣmB=0 -FAy×4+FG×2+FP×1=0
得
由ΣmC=0 FAx×4×tg30º-FG×2-FP×3=0
得
(4)校核
ΣFx=FAx-FT×cos30º=11.26-13×0.866=0
ΣFy=FAy-FG-FP+FT×sin30º=2.5-1-8-13×0.5
可见计算无误。
例5-3 一端固定的悬臂梁如图5-9a所示。
梁上作用均布荷载,荷载集度为q,在梁的自由端还受一集中力P和一力偶矩为m的力偶的作用。
试求固定端A处的约束反力。
图5-9
解 取梁AB为研究对象。
受力图及坐标系的选取如图5-9b所示。
列平衡方程
由 ΣX=0, XA=0
ΣY=0, YA-ql-P=0
解得 YA=ql+P
由 Σm=0,mA-ql2/2-Pl-m=0
解得 mA=ql2/2+Pl+m
例5-4 塔式起得机如图5-10所示。
机身重G=220kN,作用线过塔架的中心。
已知最大起吊重量P=50kN,起重悬臂长12m,轨道A、B的间距为4m,平衡锤重Q至机身中心线的距离为6m。
试求:
(1)确保起重机不至翻倒的平衡锤重Q的大小;
(2)当Q=30kN,而起重机满载时,轨道对A、B的约束反力。
图5-10
解 取起重机整体为研究对象。
其正常工作时受力如图所示。
(1)求确保起重机不至翻倒的平衡锤重Q的大小。
起重机满载时有顺时针转向翻倒的可能,要保证机身满载时而不翻倒,则必须满足:
NA≥0
ΣmB=0 ,Q(6+2)+2G―4NA―P(12-2)=0
解得 Q≥(5P-G)/4=7.5kN
起重机空载时有逆时针转向翻倒的可能,要保证机身空载时平衡而不翻倒,则必须满足下列条件
NB≥0
ΣmA=0 ,Q(6-2)+4NB―2G=0
解得 Q≤G/2=110kN
因此平衡锤重Q的大小应满足
7.5kN≤Q≤110kN
(2)当Q=30kN,求满载时的约束反力NA、NB的大小。
ΣmB=0 ,Q(6+2)+2G―4NA―P(12-2)=0
解得 NA=(4Q+G―5P)/2=45kN
由 ΣY=0, NA+NB-Q-G-P=0
解得 NB=Q+G+P-NA=255kN
第四节 静定和超静定问题及物体系统的平衡
从前面的讨论已经知道,对每一种力系来说,独立平衡方程的数目是一定的,能求解的未知数的数目也是一定的。
对于一个平衡物体,若独立平衡方程数目与未知数的数目恰好相等,则全部未知数可由平衡方程求出,这样的问题称为静定问题。
我们前面所讨论的都属于这类问题。
但工程上有时为了增加结构的刚度或坚固性,常设置多余的约束,而使未知数的数目多于独立方程的数目,未知数不能由平衡方程全部求出,这样的问题称为静不定问题或超静定问题。
图5-11是超静定平面问题的例子。
图a是平面平行力系,平衡方程是2个,而未知力是3个,属于超静定问题;图b是平面任意力系,平衡方程是3个,而未知力有4个,因而也是超静定问题。
对于超静定问题的求解,要考虑物体受力后的变形,列出补充方程,这些内容将在后续课程中讨论。
图5-11
工程中的结构,一般是由几个构件通过一定的约束联系在一起的,称为物体系统。
如图5-12所示的三角拱。
作用于物体系统上的力,可分为内力和外力两大类。
系统外的物体作用于该物体系统的力,称为外力;系统内部各物体之间的相互作用力,称为内力。
对于整个物体系统来说,内力总是成对出现的,两两平衡,故无需考虑,如图5-12b的铰C处。
而当取系统内某一部分为研究对象时,作用于系统上的内力变成了作用在该部分上的外力,必须在受力图中画出,如图5-12c中铰C处的FCx和FCy。
图5-12(abc)
物体系统平衡是静定问题时才能应用平衡方程求解。
一般若系统由n个物体组成,每个平面力系作用的物体,最多列出三个独立的平衡方程,而整个系统共有不超过3n个独立的平衡方程。
若系统中的未知力的数目等于或小于能列出的独立的平衡方程的数目时,该系统就是静定的;否则就是超静定的问题。
例5-5 图5-13所示的人字形折梯放在光滑地面上。
重P=800N的人站在梯子AC边的中点H,C是铰链,已知AC=BC=2m;AD=EB=0.5m,梯子的自重不计。
求地面A、B两处的约束反力和绳DE的拉力。
图5-13
解 先取梯子整体为研究对象。
受力图及坐标系如图5-13b所示。
由 ΣmA=0,NB(AC+BC)cos75º-P•ACcos75º/2=0
解得 NB=200N
由 ΣY=0 ,NA+NB-P=0
解得 NA=600N
为求绳子的拉力,取其所作用的杆BC为研究对象。
受力图如图5-13c所示。
由 ΣmC=0,NB•BC•cos75º-T•EC•sin75º=0
解得T=71.5N
例5-6 组合梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成,支承与荷载情况如图如图5-14a所示。
已知P=20kN,q=5kN/m,α=45º;求支座A、C的约束反力及铰B处的压力。
图5-14
解 先取BC梁为研究对象。
受力图及坐标如图5-14b所示。
由 ΣmC=0, 1•P-2YB=0
解得 YB=0.5P=0.5×20=10kN
由ΣY=0,YB-P+NCcosα=0
解得 NC=14.14kN
由ΣX=0,XB-NCsinα=0
解得 XB=10kN
再取AB梁为研究对象,受力图及坐标如图5-14c所示。
由 ΣX=0, XA-XB′=0
解得 XA=XB′=10kN
由 ΣY=0, YA-Q-YB′=0
解得 YA=Q+YB′=2q+YB=20kN
由 ΣmA=0, mA-1•Q-2YB′=0
解得 mA=30kN•m
例5-7 图5-15为一个钢筋混凝土三铰刚架的计算简图,在刚架上受到沿水平方向均匀分布的线荷载q=8kN/m,刚架高h=8m,跨度l=12m。
试求支座A、B及铰C的约束反力。
图5-15
解 先取刚架整体为研究对象。
受力图如图5-15b所示。
由 ΣmC=0, ql2/2-YAl=0
解得 YA=ql/2=48
由 ΣX=0 , YA-ql+YB=0
解得 YB=YA=48
由 ΣX=0 , XA-XB=0
解得 XA=XB
(1)
再取左半刚架为研究对象。
受力图如图5-15c所示。
由 ΣmC=0, ql2/8+XAh-YAl/2=0
解得 XA=18kN
由
(1)式得 XA=XB=18kN
由ΣX=0, XA-XC=0
解得 XC=XA=18kN
由 ΣX=0 , YA-ql/2+YC=0
解得 YC=0
第一节考虑摩擦时物体的平衡
前面讨论物体平衡问题时,物体间的接触面都假设是绝对光滑的。
事实上这种情况是不存在的,两物体之间一般都要有摩擦存在。
只是有些问题中,摩擦不是主要因素,可以忽略不计。
但在另外一些问题中,如重力坝与挡土墙的滑动称定问题中,带轮与摩擦轮的转动等等,摩擦是是重要的甚至是决定性的因素,必须加以考虑。
按照接触物体之间的相对运动形式,摩擦可分为滑动摩擦和滚动摩擦。
本节只讨论滑动摩擦,当物体之间仅出现相对滑动趋势而尚未发生运动时的摩擦称为静滑动摩擦,简称静摩擦;对已发生相对滑动的物体间的摩擦称为动滑动摩擦,简称动摩擦。
一、滑动摩擦与滑动摩擦定律
当两物体接触面间有相对滑动或有相对滑动趋势时,沿接触点的公切面彼此作用着阻碍相对滑动的力,称为滑动摩擦力,简称摩擦力。
用F表示。
图5-16
如图5-16所示一重为G的物体放在粗糙水平面上,受水平力P的作用,当拉力P由零逐渐增大,只要不超过某一定值,物体仍处于平衡状态。
这说明在接触面处除了有法向约束反力N外,必定还有一个阻碍重物沿水平方向滑动的摩擦力F,这时的摩擦力称为静摩擦力。
静摩擦力可由平衡方程确定。
ΣX=0, P-F=0。
解得F=P。
可见,静摩擦力F随主动力P的变化而变化。
但是静摩擦力F并不是随主动力的增大而无限制地增大,当水平力达到一定限度时,如果再继续增大,物体的平衡状态将被破坏而产生滑动。
我们将物体即将滑动而未滑动的平衡状态称为临界平衡状态。
在临界平衡状态下,静摩擦力达到最大值,称为最大静摩擦力,用Fm表示。
所以静摩擦力大小只能在零与最大静摩擦力Fm之间取值。
即
0≤F≤Fm
最大静摩擦力与许多因素有关。
大量实验表明最大静摩擦力的大小可用如下近似关系:
最大静摩擦力的大小与接触面之间的正压力(法向反力)成正比,即
Fm=fN(5-10)
这就是库伦摩擦定律。
式中f是无量纲的比例系数,称为静摩擦系数。
其大小与接触体的材料以及接触面状况(如粗糙度、湿度、温度等)有关。
一般可在一些工程手册中查到。
式(5-10)表示的关系只是近似的,对于一般的工程问题来说能够满足要求,但对于一些重要的工程,如采用上式必须通过现场测量与试验精确地测定静摩擦系数的值作为设计计算的依据。
物体间在相对滑动的摩擦力称为动摩擦力,用F′表示。
实验表明,动摩擦力的方向与接触物体间的相对运动方向相反,大小与两物体间的法向反力成正比。
即
F′=f′N (5-11)
这就是动滑动摩擦定律。
式中无量纲的系数f′称为动摩擦系数。
还与两物体的相对速度有关,但由于它们关系复杂,通常在一定速度范围内,可以不考虑这些变化,而认为只与接触的材料以及接触面状况有关外。
二、摩擦角与自锁现象
如图5-17所示,当物体有相对运动趋势时,支承面对物体法向反力N和摩擦力F,这两个力的合力R,称为全约束反力。
全约束反力R与接触面公法线的夹角为φ,如图5-17a。
显然,它随摩擦力的变化而变化。
当静摩擦力达到最大值Fm时,夹角φ也达到最大值φm,则称φm0为摩擦角。
如图5-17b所示,可见
tanφm=Fm/N=fN/N=f (5-12)
若过接触点在不同方向作出在临界平衡状态下的全约束反力的作用线,则这些直线将形成一个锥面,称摩擦锥。
如图5-17c所示。
图5-17
图5-18
将作用在物体上的各主动力用合力Q表示,当物体处于平衡状态时,主动力合力Q与全约束反力R应共线、反向、等值,则有α=φ。
而物体平衡时,全约束反力作用线不可能超出摩擦锥,即φ≤φm (图5-18)。
由此得到
α≤φm (5-13)
即作用于物体上的主动力的合力Q,不论其大小如何,只要其作用线与接触面公法线间的夹角α不大于摩擦角φm ,物体必保持静止。
这种现象称为自锁现象。
自锁现象在工程中有重要的应用。
如造斤顶、压榨机等就利用发自锁原理。
三、考虑摩擦时的平衡问题
求解有摩擦时物体的平衡问题,其解题方法和步骤与不考虑摩擦时平衡问题基本相同。
例5-8 物体重G=980N,放在一倾角α=30º的斜面上。
已知接触面间的静摩擦系数为f=0.20。
有一大小为Q=588N的力沿斜面推物体如图5-19a所示,问物体在斜面上处于静止还是处于滑动状态?
若静止,此时摩擦力多大?
图5-19
解 可先假设物体处于静止状态,然后由平衡方程求出物体处于静止状态时所需的静摩擦力F,并计算出可能产生的最大静摩擦力Fm,将两者进行比较,确定力F是否满足F≤Fm,从而断定物体是静止的还是滑动的。
设物体沿斜面有下滑的趋势;受力图及坐标系如图5-19所示。
由 ΣX=0,Q-Gsinα+F=0
解得 F=Gsinα-Q=-98N
由 ΣY=0,N-Gcosα=0
解得N=Gcosα=848.7N
根据静定摩擦定律,可能产生的最大静摩擦力为,
Fm=fN=169.7N
结果说明物体在斜面上保持静止。
而静摩擦力F为-98N,负号说明实际方向与假设方向相反,故物体沿斜面有上滑的趋势。
例5-9重Q的物体放在倾角α<φm 的斜面上(图5-20a),求维持物体在斜面上静止时的水平推力P的大小。
图5-20
解 因α>φm ,若力P过小,则物体下滑;若力P过大,又将使物体上滑;若力P的数值必在某一范围内。
先求刚好维持物体不至于下所需力P的最小值Pmin。
此时物体处于下滑的临界状态,其受力图及坐标系如图5-20b所示。
由ΣX=0,Pmincosα-Qsinα+F1m=0(a)
ΣY=0,N1-Pminsinα-Qcosα=0(b)
由式(b)有 N1=Pminsinα+Qcosα(c)
将F1m=fN1、f=tanφm和式(c)代入式(a),得
(d)
再求不至使物体向上滑动的力P的最大值Pmin。
此时物体处于上滑的临界平衡状态,其受力图及坐标如图5-20c所示。
由ΣX=0,Pm
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