高中数学讲义.docx
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高中数学讲义
高中数学讲义
2013年11月1日
一、集合与简易逻辑二、函数、映射
三、导数与积分
四、三角函数
五、平面向量
六、数列
七、立体几何
八、解析几何
九、直线与圆
十、排列、组合、概率十一、复数、算法
第一部分集合、映射、函数、导数及微积分
表示方法元素、集合之间的关系概念
运算:
交、并、补集合数轴、Venn图、函数图象
确定性、互异性、无序性性质解析法
列表法表示映射定义
使解析式有意义图象法定义域
换元法求解析式对应关系三要素注意应用函数的单调性求值域值域
1、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同;单调性2、证明单调性:
作差(商)、导数法;3、复合函数的单调性奇偶性定义域关于原点对称,在x,0处有定义的奇函数?
f(0),0
周期性性质T周期为T的奇函数?
f(T),f(),f(0),02对称性函数二次函数、基本不等式、打钩(耐克)函最值数、三角函数有界性、数形结合、导数.
平移变换
一次、二次函数、反比例函数对称变换图象及其变换翻折变换幂函数伸缩变换图象、性质指数函数和应用基本初等函数
对数函数
分段函数三角函数
复合函数复合函数的单调性:
同增异减
赋值法、典型的函数抽象函数
函数与方程零点二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
函数的应用建立函数模型
导数的概念几何意义、物理意义
三次函数的性质、图象与应用基本初等函数的导数
导数
导数的运算法则
单调性导数的正负与单调性的关系
导数的应用生活中的优化问题极值最值
定积分与微积分定积分与图形的计算
第一章集合与函数概念一、集合有关概念
1、集合的含义
2、集合的中元素的三个特性:
元素的确定性如:
世界上最高的山
元素的互异性如:
由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}元素的无序性:
如:
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3、集合的表示
用拉丁字母表示集合:
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}集合的表示方法:
列举法与描述法。
注意:
常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R列举法:
{a,b,c……}
描述法:
将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.{x,R|x-3>2},{x|x-3>2}
语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}
Venn图:
4、集合的分类:
有限集含有有限个元素的集合
无限集含有无限个元素的集合
空集不含任何元素的集合例:
{x|x2=,5,
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
A,B注意:
有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
,,,反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2(“相等”关系:
A=B(5?
5,且5?
5,则5=5)
实例:
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即:
?
任何一个集合是它本身的子集。
A,A
?
真子集:
如果A,B,且A,B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
?
如果A,B,B,C,那么A,C
?
如果A,B同时B,A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算交集并集补集类型
定由所有属于A且属由所有属于集合A或设S是一个集合,A是
义于B的元素所组成属于集合B的元素所S的一个子集,由S中
的集合,叫做A,B的组成的集合,叫做所有不属于A的元素
A,B的并集(记作:
组成的集合,叫做S中:
交集(记作AB子集A的补集(或余:
B(读作‘A并A(读作‘A交B’),集)
CA:
:
S,即AB=,x|xA,B’),即AB,即记作
,,且xB,(={x|xA,或xB})(S{x|x,S,且x,A}CSA=A
韦SAA恩BBA
图
图2图1示
性:
:
:
AA=AA=A(CuB)A(CuA)
:
:
:
AΦ=ΦAΦ=A=Cu(AB)
质:
:
:
:
:
AB=BAAB=BA(CuA)(CuB)
:
:
:
,ABAAB,=Cu(AB)
:
:
:
,ABBABBA(CuA)=U
:
A(CuA)=Φ(
二、函数的有关概念
1(函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A?
B为从集合A到集合B的一个函数(记作:
y=f(x),x?
A(其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x?
A}叫做函数的值域(
注意:
1(定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:
?
表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
?
定义域一致(两点必须同时具备)
2(值域:
先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x?
A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x?
A)的图象(C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.
(2)画法
描点法:
图象变换法
常用变换方法有三种
平移变换
伸缩变换
对称变换
4(区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
2)无穷区间(
(3)区间的数轴表示(
5(映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的
任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
AB为
从集合A到集合B的一个映射。
记作“f(对应关系):
A(原象)B(象)”对于映射f:
A?
B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况(
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集(
补充:
复合函数
如果y=f(u)(u?
M),u=g(x)(x?
A),则y=f[g(x)]=F(x)(x?
A)称为f、g的复合函数。
二(函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 注意: 函数的单调性是函数的局部性质; (2)图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A)定义法: ? 1任取x1,x2? D,且x1 ? 2作差f(x1),f(x2); ? 3变形(通常是因式分解和配方); ? 4定号(即判断差f(x1),f(x2)的正负); ? 5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)( (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律: “同增异减” 注意: 函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8(函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数( (2)(奇函数 一般地,对于函数fx)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函(x)的定义域内的任意一个x,都有f(, 数( (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称( 利用定义判断函数奇偶性的步骤: ? 1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ? 2确定f(,x)与f(x)的关系; ? 3作出相应结论: 若f(,x)=f(x)或f(,x),f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(,x)=,f(x)或f(,x),f(x)=0,则f(x)是奇函数( 注意: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称, (1)再根据定义判定; (2)由f(-x)? f(x)=0或f(x),f(-x)=? 1来判定;(3)利用定理,或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 凑配法、待定系数法、换元法、消参法。 10(函数最大(小)值 ? 1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ? 2利用图象求函数的最大(小)值 ? 3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: 2xx,,215x,12y,y,,1()x,,33x,1? ? 2fx()[]01,fx()2.设函数的定义域为,则函数的定义域为__ fx (1),fx(21),[],23,3.若函数的定义域为,则函数的定义域是 xx,,,2 (1),,2fxxx()(12),,,,,,2 (2)xx,fx()3,,x4.函数,若,则=5.求下列函数的值域: 22x,[1,2]yxx,,,23yxx,,,23()xR,? ? 2yxx,,,12yxx,,,,45(3)(4) 2fx()fx(21),fxxx (1)4,,,6.已知函数,求函数,的解析式 fx()fx()2()()34fxfxx,,,,7.已知函数满足,则=。 3fx()fx()x,,,(,0)x,,,[0,)fxxx() (1),,8.设是R上的奇函数,且当时,,则当时=fx()在R上的解析式为9.求下列函数的单调区间: 222yxx,,,61yxx,,,23yxx,,,,23? ? ? 3y,,x,110.判断函数的单调性并证明你的结论( 21,x1f(x),f(),,f(x)21,xx11.设函数判断它的奇偶性并且求证: ( 第二章基本初等函数一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 nNx,axannn1(根式的概念: 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且? *( n0,0负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。 a(a,0),nna,|a|,,nn,a(a,0)a,ann,当是奇数时,,当是偶数时,2(分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: m,11*na,,(a,0,m,n,N,n,1)mmnm*nmnana,a(a,0,m,n,N,n,1)a,0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3(实数指数幂的运算性质 rrr,s(a,0,r,s,R)a,aa (1)? ; rsrsrrs(a,0,r,s,R)(a,0,r,s,R)(a),a(ab),aa (2);(3)( (二)指数函数及其性质 xy,a(a,0,且a,1)1、指数函数的概念: 一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R( 注意:
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