第九章 93 多项式乘多项式.docx
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第九章93多项式乘多项式
9.3多项式乘多项式
一.选择题
1.下列各式中,计算结果是x2+7x﹣18的是( )
A.(x﹣2)(x+9)B.(x+2)(x+9)C.(x﹣3)(x+6)D.(x﹣1)(x+18)
2.如果(x﹣2)(x+3)=x2+px+q,那么p、q的值为( )
A.p=5,q=6B.p=1,q=﹣6C.p=1,q=6D.p=5,q=﹣6
3.(x2﹣mx+6)(3x﹣2)的积中不含x的二次项,则m的值是( )
A.0B.
C.﹣
D.﹣
4.设M=(x﹣3)(x﹣7),N=(x﹣2)(x﹣8),则M与N的关系为( )
A.M<NB.M>NC.M=ND.不能确定
5.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为( )
A.2,3,7B.3,7,2C.2,5,3D.2,5,7
6.根据图①的面积可以说明多项式的乘法运算(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,那么根据图②的面积可以说明多项式的乘法运算是( )
A.(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2B.(a+3b)(a+b)=a2+3b2
C.(b+3a)(b+a)=b2+4ab+3a2D.(a+3b)(a﹣b)=a2+2ab﹣3b2
7.已知多项式x﹣a与x2+2x﹣1的乘积中不含x2项,则常数a的值是( )
A.﹣1B.1C.﹣2D.2
8.通过计算比较图1,图2中阴影部分的面积,可以验证的计算式子是( )
A.a(b﹣x)=ab﹣axB.b(a﹣x)=ab﹣bx
C.(a﹣x)(b﹣x)=ab﹣ax﹣bxD.(a﹣x)(b﹣x)=ab﹣ax﹣bx+x2
9.设A=(x﹣3)(x﹣7),B=(x﹣2)(x﹣8),则A、B的大小关系为( )
A.A>BB.A<BC.A=BD.无法确定
10.由m(a+b+c)=ma+mb+mc,可得:
(a+b)(a2﹣ab+b2)=a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3=a3+b3,即(a+b)(a2﹣ab+b2)=a3+b3①我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式.下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是( )
A.(x+4y)(x2﹣4xy+16y2)=x3+64y3B.(a+1)(a2+a+1)=a3+1
C.(2x+y)(4x2﹣2xy+y2)=8x3+y3D.x3+27=(x+3)(x2﹣3x+9)
11.如果4个不同的正整数m、n、p、q满足(7﹣m)(7﹣n)(7﹣p)(7﹣q)=4,那么,m+n+p+q等于( )
A.10B.2lC.24D.28
二.填空题
12.已知a2﹣a+5=0,则(a﹣3)(a+2)的值是 .
13.若(﹣2x+a)(x﹣1)的结果中不含x的一次项,则a3= .
14.如果(2x+m)(x﹣5)展开后的结果中不含x的一次项,那么m= .
15.图中的四边形均为矩形,根据图形的面积关系,写出一个正确的等式:
.
16.已知多项式x2+ax﹣4(a为常数)是两个一次多项式x+1和x+n(n为常数)相乘得来的,则a= .
17.如图,现有边长为a的正方形纸片1张、边长为b的正方形纸片2张,边长分别为a,b的长方形纸片3张,把它们拼成一个长方形.请利用此拼图中的面积关系,分解因式:
a2+3ab+2b2= .
18.如图,矩形ABCD的面积为 (用含x的代数式表示).
三.解答题
19.小明与小乐两人共同计算(2x+a)(3x+b),小明抄错为(2x﹣a)(3x+b),得到的结果为6x2﹣13x+6;小乐抄错为(2x+a)(x+b),得到的结果为2x2﹣x﹣6.
(1)式子中的a,b的值各是多少?
(2)请计算出原题的答案.
20.探究应用:
(1)计算:
(x+1)(x2﹣x+1)= ;(2x+y)(4x2﹣2xy+y2)= .
(2)上面的乘法计算结果很简洁,你发现了什么规律(公式)?
用含a、b的字母表示该公式为:
.
(3)下列各式能用第
(2)题的公式计算的是 .
A.(m+2)(m2+2m+4)B.(m+2n)(m2﹣2mn+2n2)
C.(3+n)(9﹣3n+n2)D.(m+n)(m2﹣2mn+n2)
21.观察下列各式
(x﹣1)(x+1)=x2﹣1
(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1
(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1
…
①根据以上规律,则(x﹣1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= .
②你能否由此归纳出一般性规律:
(x﹣1)(xn+xn﹣1+…+x+1)= .
③根据②求出:
1+2+22+…+234+235的结果.
22.我们知道,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数字等式,例如图1可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.请解答下列问题:
(1)写出图2中所表示的数学等式 ;
(2)利用
(1)中所得到的结论,解决下面的问题:
已知a+b+c=9,ab+bc+ac=26,求a2+b2+c2的值;
(3)小明同学用2张边长为a的正方形,3张边长为b的正方形,5张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形,那么该长方形较长一边的边长为多少?
(4)小明同学又用x张边长为a的正方形,y张边长为b的正方形,z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为(25a+7b)(2a+5b)长方形,那么9(x+y+z)= .
23.如图①,在边长为3a+2b的大正方形纸片中,剪掉边长2a+b的小正方形,得到图②,把图②阴影部分剪下,按照图③拼成一个长方形纸片.
(1)求出拼成的长方形纸片的长和宽;
(2)把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a+6b后,就和另一个长方形的面积相等.已知另一长方形的长为5a+3b,求它的宽.
24.如图,某校有一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形空地,中间是边长(a+b)米的正方形草坪,其余为活动场地,学校计划将活动场地(阴影部分)进行硬化.
(1)用含a,b的代数式表示需要硬化的面积并化简;
(2)当a=5,b=2时,求需要硬化的面积.
参考答案与解析
一.选择题
1.下列各式中,计算结果是x2+7x﹣18的是( )
A.(x﹣2)(x+9)B.(x+2)(x+9)C.(x﹣3)(x+6)D.(x﹣1)(x+18)
【分析】根据多项式乘多项式的法则,对各选项计算后利用排除法求解即可.
【解答】解:
A、(x﹣2)(x+9)=x2+7x﹣18,故本选项正确;
B、(x+2)(x+9)=x2+11x+18,故本选项错误;
C、(x﹣3)(x+6)=x2+3x﹣18,故本选项错误;
D、(x﹣1)(x+18)=x2+17x﹣18,故本选项错误;
故选A.
【点评】本题主要考查多项式相乘的法则,熟练掌握运算法则是解题的关键.
2.如果(x﹣2)(x+3)=x2+px+q,那么p、q的值为( )
A.p=5,q=6B.p=1,q=﹣6C.p=1,q=6D.p=5,q=﹣6
【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算,利用多项式相等的条件求出p与q的值即可.
【解答】解:
∵(x﹣2)(x+3)=x2+x﹣6=x2+px+q,
∴p=1,q=﹣6,
故选B
【点评】此题考查了多项式乘多项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
3.(x2﹣mx+6)(3x﹣2)的积中不含x的二次项,则m的值是( )
A.0B.
C.﹣
D.﹣
【分析】根据多项式乘多项式和(x2﹣mx+6)(3x﹣2)的积中不含x的二次项,可以求得m的值,本题得以解决.
【解答】解:
(x2﹣mx+6)(3x﹣2)=3x3﹣(2+3m)x2+(2m+18)x﹣12,
∵(x2﹣mx+6)(3x﹣2)的积中不含x的二次项,
∴2+3m=0,
解得,m=
,
故选C.
【点评】本题考查多项式乘多项式,解答本题的关键是明确不含x的二次项,说明多项式乘多项式的展开式中二次项的系数为零.
4.设M=(x﹣3)(x﹣7),N=(x﹣2)(x﹣8),则M与N的关系为( )
A.M<NB.M>NC.M=ND.不能确定
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算,比较即可得到答案.
【解答】解:
M=(x﹣3)(x﹣7)=x2﹣10x+21,
N=(x﹣2)(x﹣8)=x2﹣10x+16,
M﹣N=(x2﹣10x+21)﹣(x2﹣10x+16)=5,
则M>N.
故选:
B.
【点评】本题考查的是多项式乘多项式,掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键.
5.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为( )
A.2,3,7B.3,7,2C.2,5,3D.2,5,7
【分析】根据长方形的面积=长×宽,求出长为a+3b,宽为2a+b的大长方形的面积是多少,判断出需要A类、B类、C类卡片各多少张即可.
【解答】解:
长为a+3b,宽为2a+b的长方形的面积为:
(a+3b)(2a+b)=2a2+7ab+3b2,
∵A类卡片的面积为a2,B类卡片的面积为b2,C类卡片的面积为ab,
∴需要A类卡片2张,B类卡片3张,C类卡片7张.
故选:
A.
【点评】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法,熟练掌握运算法则是解题的关键.
6.根据图①的面积可以说明多项式的乘法运算(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,那么根据图②的面积可以说明多项式的乘法运算是( )
A.(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2B.(a+3b)(a+b)=a2+3b2
C.(b+3a)(b+a)=b2+4ab+3a2D.(a+3b)(a﹣b)=a2+2ab﹣3b2
【分析】根据图形确定出多项式乘法算式即可.
【解答】解:
根据图②的面积得:
(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2,
故选A
【点评】此题考查了多项式乘多项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
7.已知多项式x﹣a与x2+2x﹣1的乘积中不含x2项,则常数a的值是( )
A.﹣1B.1C.﹣2D.2
【分析】先根据多项式的乘法法则展开,再根据题意,二次项的系数等于0列式求解即可.
【解答】解:
(x﹣a)(x2+2x﹣1)=x3+(2﹣a)x2﹣(2a+1)x+a,
∵不含x2项,
∴2﹣a=0,
解得a=2.
故选D.
【点评】本题主要考查单项式与多项式的乘法,运算法则需要熟练掌握,不含某一项就让这一项的系数等于0是解题的关键.
8.通过计算比较图1,图2中阴影部分的面积,可以验证的计算式子是( )
A.a(b﹣x)=ab﹣axB.b(a﹣x)=ab﹣bx
C.(a﹣x)(b﹣x)=ab﹣ax﹣bxD.(a﹣x)(b﹣x)=ab﹣ax﹣bx+x2
【分析】要求阴影部分面积,若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算,若规则图形可以直接利用公式进行求解.
【解答】解:
图1中,阴影部分=长(a﹣x)宽(a﹣2b)长方形面积,
∴阴影部分的面积=(a﹣x)(b﹣x),
图2中,阴影部分=大长方形面积﹣长a宽x长方形面积﹣长b宽x长方形面积+边长x的正方形面积,
∴阴影部分的面积=ab﹣ax﹣bx+x2,
∴(a﹣x)(b﹣x)=ab﹣ax﹣bx+x2.
故选:
D.
【点评】本题考查多项式乘多项式,单项式乘多项式,整式运算,需要利用图形的一些性质得出式子,考查学生观察图形的能力.
9.设A=(x﹣3)(x﹣7),B=(x﹣2)(x﹣8),则A、B的大小关系为( )
A.A>BB.A<BC.A=BD.无法确定
【分析】根据多项式乘以多项式的法则,先把A、B进行整理,然后比较即可得出答案.
【解答】解:
∵A=(x﹣3)(x﹣7)=x2﹣10x+21,B=(x﹣2)(x﹣8)=x2﹣10x+16,
∴A﹣B=x2﹣10x+21﹣(x2﹣10x+16)=5>0,
∴A>B;
故选A.
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则,注意不要漏项,漏字母,有同类项的合并同类项.
10.由m(a+b+c)=ma+mb+mc,可得:
(a+b)(a2﹣ab+b2)=a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3=a3+b3,即(a+b)(a2﹣ab+b2)=a3+b3①我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式.下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是( )
A.(x+4y)(x2﹣4xy+16y2)=x3+64y3B.(a+1)(a2+a+1)=a3+1
C.(2x+y)(4x2﹣2xy+y2)=8x3+y3D.x3+27=(x+3)(x2﹣3x+9)
【分析】根据多项式乘法的立方公式判断即可.
【解答】解:
(x+4y)(x2﹣4xy+16y2)=x3+64y3,A正确,不符合题意;
(a+1)(a2﹣a+1)=a3+1,B不正确,符合题意;
(2x+y)(4x2﹣2xy+y2)=8x3+y3,C正确,不符合题意;
x3+27=(x+3)(x2﹣3x+9),D正确,不符合题意,
故选:
B.
【点评】本题考查的是多项式与多项式相乘的法则,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
11.如果4个不同的正整数m、n、p、q满足(7﹣m)(7﹣n)(7﹣p)(7﹣q)=4,那么,m+n+p+q等于( )
A.10B.2lC.24D.28
【分析】由已知可知7﹣m、7﹣n、7﹣p、7﹣q为4个不同的整数,再将4表示成4个不同整数相乘的形式,即可求得值.
【解答】解:
∵m、n、p、q为4个不同的正整数,
∴7﹣m、7﹣n、7﹣p、7﹣q为4个不同的整数,
又∵4=2×2×1×1,
∴4=﹣1×(﹣2)×1×2,
∴7﹣m、7﹣n、7﹣p、7﹣q为﹣2、﹣1、1、2,
∴(7﹣m)+(7﹣n)+(7﹣p)+(7﹣q)=﹣2+(﹣1)+1+2=0,
∴m+n+p+q=28.
故选D.
【点评】本题考查了多项式乘多项式的性质,解题的关键是把4表示成4个不同整数相乘的形式.
二.填空题
12.已知a2﹣a+5=0,则(a﹣3)(a+2)的值是 ﹣11 .
【分析】先把所求代数式展开后,利用条件得到a2﹣a=﹣5,整体代入即可求解.
【解答】解:
(a﹣3)(a+2)=a2﹣a﹣6,
∵a2﹣a+5=0,
∴a2﹣a=﹣5,
∴原式=﹣5﹣6=﹣11.
【点评】本题考查多项式乘以多项式的法则和整体代入思想,熟练掌握运算法则是解题的关键.
13.若(﹣2x+a)(x﹣1)的结果中不含x的一次项,则a3= ﹣8 .
【分析】首先利用多项式乘以多项式计算出(﹣2x+a)(x﹣1),然后再根据题意可得2+a=0,再解即可.
【解答】解:
(﹣2x+a)(x﹣1)=﹣2x2+2x+ax﹣a=﹣2x2+(2+a)x﹣a,
∵结果中不含x的一次项,
∴2+a=0,
解得:
a=﹣2,
∴a3=﹣8,
故答案为:
﹣8.
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式,关键是掌握多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
14.如果(2x+m)(x﹣5)展开后的结果中不含x的一次项,那么m= 10 .
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算,合并后根据结果不含x的一次项,即可确定出m的值.
【解答】解:
(2x+m)(x﹣5)=2x2﹣10x+mx﹣5m=2x2+(m﹣10)x﹣5m,
∵结果中不含有x的一次项,
∴m﹣10=0,解得m=10.
故答案为:
10.
【点评】此题考查了多项式乘多项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
15.图中的四边形均为矩形,根据图形的面积关系,写出一个正确的等式:
(m+n)(a+b+c)=ma+mb+mc+na+nb+nc .
【分析】根据图中,从两个角度计算面积即可得出答案.
【解答】解:
(m+n)(a+b+c)=ma+mb+mc+na+nb+nc;
故答案:
(m+n)(a+b+c)=ma+mb+mc+na+nb+nc(答案不唯一)
【点评】本题考查多项式乘以多项式,解题的关键是熟练运用运算法则,本题属于基础题型.
16.已知多项式x2+ax﹣4(a为常数)是两个一次多项式x+1和x+n(n为常数)相乘得来的,则a= ﹣3 .
【分析】根据多项式乘以多项式的法则即可求出a的值.
【解答】解:
∵(x+1)(x+n)=x2+ax﹣4
∴x2+(n+1)x+n=x2+ax﹣4
∴
解得:
a=﹣3
故答案为:
﹣3
【点评】本题考查多项式乘以多项式,解题的关键是熟练运用整式的运算法则,本题属于基础题型.
17.如图,现有边长为a的正方形纸片1张、边长为b的正方形纸片2张,边长分别为a,b的长方形纸片3张,把它们拼成一个长方形.请利用此拼图中的面积关系,分解因式:
a2+3ab+2b2= (a+b)(a+2b) .
【分析】根据边长为a的正方形纸片1张、边长为b的正方形纸片2张,边长分别为a,b的长方形纸片3张,他们的面积之和为a2+3ab+2b2,拼图得出的图形是边长分别为a+b,a+2b的长方形,面积为(a+b)(a+2b).
【解答】解:
拼图前6个图形的面积为:
a2+3ab+2b2,
拼图后,得到长方形,边长为a+b,a+2b的长方形,面积为(a+b)(a+2b).
∵拼图前后面积不变,
∴a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b).
故答案为(a+b)(a+2b).
【点评】本题考查了多项式乘以多项式的实际应用﹣因式分解,是基础知识要熟练掌握.
18.如图,矩形ABCD的面积为 x2+5x+6 (用含x的代数式表示).
【分析】表示出矩形的长与宽,得出面积即可.
【解答】解:
根据题意得:
(x+3)(x+2)=x2+5x+6,
故答案为:
x2+5x+6.
【点评】此题考查了多项式乘以多项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
三.解答题
19.小明与小乐两人共同计算(2x+a)(3x+b),小明抄错为(2x﹣a)(3x+b),得到的结果为6x2﹣13x+6;小乐抄错为(2x+a)(x+b),得到的结果为2x2﹣x﹣6.
(1)式子中的a,b的值各是多少?
(2)请计算出原题的答案.
【分析】
(1)根据两人出错的结果列出关于a与b的方程组,求出方程组的解即可得到a与b的值;
(2)将a与b的值代入计算即可求出正确的结果.
【解答】解:
(1)∵(2x﹣a)(3x+b)=6x2+(2b﹣3a)x﹣ab=6x2﹣13x+6,
∴2b﹣3a=﹣13①,
∵(2x+a)(x+b)=2x2+(2b+a)x+ab=2x2﹣x﹣6,
∴2b+a=﹣1②,
联立方程①②,
可得
,
解得:
;
(2)(2x+a)(3x+b)=(2x+3)(3x﹣2)=6x2+5x﹣6.
【点评】此题考查了多项式乘多项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
20.探究应用:
(1)计算:
(x+1)(x2﹣x+1)= x3+1 ;(2x+y)(4x2﹣2xy+y2)= 8x3+y3 .
(2)上面的乘法计算结果很简洁,你发现了什么规律(公式)?
用含a、b的字母表示该公式为:
(a+b)(a2﹣ab+b2)=a3+b3 .
(3)下列各式能用第
(2)题的公式计算的是 C .
A.(m+2)(m2+2m+4)B.(m+2n)(m2﹣2mn+2n2)
C.(3+n)(9﹣3n+n2)D.(m+n)(m2﹣2mn+n2)
【分析】根据多项式乘以多项式的法则即可计算出答案.
【解答】解:
(1)(x+1)(x2﹣x+1)=x3﹣x2+x+x2﹣x+1=x3+1,
(2x+y)(4x2﹣2xy+y2)=8x3﹣4x2y+2xy2+4x2y﹣2xy2+y3=8x3+y3,
(2)(a+b)(a2﹣ab+b2)=a3+b3;
(3)由
(2)可知选(C);
故答案为:
(1)x3+1;8x3+y3;
(2)(a+b)(a2﹣ab+b2)=a3+b3;(3)(C)
【点评】本题考查多项式乘以多项式,同时考查学生的观察归纳能力,属于基础题型.
21.观察下列各式
(x﹣1)(x+1)=x2﹣1
(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1
(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1
…
①根据以上规律,则(x﹣1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= x7﹣1 .
②你能否由此归纳出一般性规律:
(x﹣1)(xn+xn﹣1+…+x+1)= xn+1﹣1 .
③根据②求出:
1+2+22+…+234+235的结果.
【分析】①观察已知各式,得到一般性规律,化简原式即可;
②原式利用得出的规律化简即可得到结果;
③原式变形后,利用得出的规律化简即可得到结果.
【解答】解:
①根据题意得:
(x﹣1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7﹣1;
②根据题意得:
(x﹣1)(xn+xn﹣1+…+x+1)=xn+1﹣1;
③原式=(2﹣1)(1+2+22+…+234+235)=236﹣1.
故答案为:
①x7﹣1;②xn+1﹣1;③236﹣1
【点评】此题考查了多项式乘以多项式,弄清题中的规律是解本题的关键.
22.我们知道,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数字等式,例如图1可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.请解答下列问题:
(1)写出图2中所表示的数学等式 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ;
(2)利用
(1)中所得到的结论,解决下面的问题:
已知a+b+c=9,ab+bc+ac=26,求a2+b2+c2的值;
(3)小明同学用2张边长为a的正方形,3张边长为b的正方形,5张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形,那么该长方形较长一边的边长为多少?
(4)小明同学又用x张边长为a的正方形,y张边长为b的正方形,z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为(25a+7b)(2a+5b)长方形,那么9(x+y+z)= 2016 .
【分析】
(1)直接求得正方形的面积,然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可;
(2)将a+b+c=9,ab+bc+ac=26代入
(1)中得到的关系式,然后进行计算即可;
(3)先列出长方形的面积的代数式,然后分解代数式,可得到矩形的两边长;
(4)长方形的面积xa2+yb2+zab=(25a+7b)(9a+5b),然后运算多项式乘多项式法则求得(25a+7b)(2a+45b)的结果,从而得到x、y、z的值,代入即可求解.
【解答】解:
(1)正方形的面积可表示为=(a+b+c)2;
正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,
所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
(2)由
(1)可知:
a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)=92﹣26×2=81﹣52=29.
(3)长方形的面积=2a2+5ab+3b2=(2a+3b)(a+b).
所以
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- 第九章 93 多项式乘多项式 第九 多项式
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