全国版版高考数学一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积增分练.docx
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全国版版高考数学一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积增分练.docx
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全国版版高考数学一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积增分练
第2讲 空间几何体的表面积和体积
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1.[2018·南昌模拟]如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点P是平面A1B1C1D1内一点,则三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之比为( )
A.1∶1B.2∶1
C.2∶3D.3∶2
答案 A
解析 根据题意,三棱锥P-BCD的正视图是三角形,且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高;侧视图是三角形,且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高.故三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.故选A.
2.《九章算术》商功章有题:
一圆柱形谷仓,高1丈3尺3寸,容纳米2000斛(1丈=10尺,1尺=10寸,斛为容积单位,1斛≈1.62立方尺,π≈3),则圆柱底面圆周长约为( )
A.1丈3尺B.5丈4尺
C.9丈2尺D.48丈6尺
答案 B
解析 设圆柱底面圆半径为r尺,高为h尺,依题意,圆柱体积为V=πr2h=2000×1.62≈3×r2×13.33,所以r2≈81,即r≈9,所以圆柱底面圆周长为2πr≈54,54尺=5丈4尺,则圆柱底面圆周长约为5丈4尺.故选B.
3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 由三视图,可得原图如图所示,即为底面是平行四边形的四棱锥,∴V=×1×1×1=.故选D.
4.正三棱柱的底面边长为,侧棱长为2,且三棱柱的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为( )
A.4πB.8πC.12πD.16π
答案 B
解析 由正弦定理得=2r(其中r为正三棱柱底面三角形外接圆的半径),∴r=1,∴外接球的半径R==,∴外接球的表面积S=4πR2=8π.故选B.
5.[2017·北京高考]某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )
A.60B.30C.20D.10
答案 D
解析 由三视图画出如图所示的三棱锥P-ACD,过点P作PB⊥平面ACD于点B,连接BA,BD,BC,根据三视图可知底面ABCD是矩形,AD=5,CD=3,PB=4,所以V三棱锥P-ACD=××3×5×4=10.故选D.
6.[2018·遵义模拟]一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是菱形,则该几何体的侧面积为( )
A.+B.+C.+D.+
答案 C
解析 由三视图还原为空间几何体,如图所示,则有OA=OB=1,AB=.
又PB⊥平面ABCD,∴PB⊥BD,PB⊥AB,
∴PD==,PA==,
从而有PA2+DA2=PD2,∴PA⊥DA,
∴该几何体的侧面积S=2×××1+2×××=+.故选C.
7.某几何体的三视图如图所示,则其体积为( )
A.207B.216-
C.216-36πD.216-18π
答案 B
解析 由已知三视图知该几何体为一个棱长为6的正方体,切去一个底面半径为3,高为6的圆锥.其体积V=63-××π×32×6=216-.故选B.
8.[2017·江苏高考]如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是________.
答案
解析 设球O的半径为R,
∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,
∴圆柱O1O2的高为2R,圆柱O1O2的底面半径为R.
∴==.
9.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面积是________.
答案 2(π+)
解析 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分:
底面积即俯视图的面积为2;侧面积为一个完整的圆锥的侧面积,且圆锥的母线长为2,底面半径为1,所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积,为2(π+).
10.[2018·云南昆明联考]已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于________.
答案
解析 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥,如图所示,故该几何体的体积为×4×4×8-××4×4×4=64-=.
[B级 知能提升]
1.[2018·上海模拟]如图是某几何体的三视图,则此几何体的体积是( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 根据三视图知此几何体是边长为2的正方体截去一个三棱锥P-ABC剩下的部分(如图所示),所以此几何体的体积为2×2×2-××1×2×2=.故选D.
2.[2018·北京模拟]某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )
A.2+B.4+
C.2+2D.5
答案 C
解析 由三视图分析知,该几何体是底面为等腰三角形,其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA⊥平面ABC),如图,由三视图中的数据可计算得S△ABC=×2×2=2,S△SAC=××1=,S△SAB=××1=,S△SBC=×2×=,所以S表面积=2+2.故选C.
3.[2017·全国卷Ⅰ]已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为________.
答案 36π
解析 如图,连接OA,OB.
由SA=AC,SB=BC,SC为球O的直径,知OA⊥SC,OB⊥SC.
由平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,OA⊥SC,知OA⊥平面SCB.
设球O的半径为r,则OA=OB=r,SC=2r,
∴三棱锥S-ABC的体积
V=×·OA=,
即=9,∴r=3,∴S球表=4πr2=36π.
4.如图,△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5.求此几何体的体积.
解 解法一:
如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.
则V几何体=V三棱柱+V四棱锥.
由题知三棱柱ABC-NDM的体积为V1=×8×6×3=72.
四棱锥D-MNEF的体积为:
V2=×S梯形MNEF×DN
=××(1+2)×6×8=24,
则几何体的体积为:
V=V1+V2=72+24=96.
解法二:
用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA′=BB′=CC′=8,所以V几何体=V三棱柱=×S△ABC×AA′=×24×8=96.
5.[2018·杭州模拟]已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于两底面面积之和,求棱台的体积.
解 如图所示,在三棱台ABC-A′B′C′中,O′,O分别为上、下底面的中心,D,D′分别是BC,B′C′的中点,则DD′是等腰梯形BCC′B′的高,
又A′B′=20cm,AB=30cm,
所以S侧=3××(20+30)×DD′=75DD′.
S上+S下=×(202+302)=325(cm2).
由S侧=S上+S下,得75DD′=325,
所以DD′=cm,
又因为O′D′=×20=(cm),
OD=×30=5(cm),
所以棱台的高h=O′O
=
==4(cm),
由棱台的体积公式,可得棱台的体积为
V=(S上+S下+)
=×
=1900(cm3).
故棱台的体积为1900cm3.
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