离散数学证明题汇编.docx
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离散数学证明题汇编.docx
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离散数学证明题汇编
编号
题目
答案
题型
分值
大纲
难度
区分度
1
用先求主范式的方法证明(P→Q)(P→R)(P→(QR)
答:
先求出左右两个公式的主合取范式
(P→Q)(P→R)(PQ)(PR)
(PQ(RR)))(P(QQ)R)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)
(P→(QR))(P(QR))
(PQ)(PR)
(PQ(RR))(P(QQ)R)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)
它们有一样的主合取范式,所以它们等价。
证明题
10
2.3;2.4
3
3
2
给定连通简单平面图G=
答:
因为|V|=63,且G=〈V,E,F〉是一个连通简单无向平面图,
所以对任一fF,deg(f)3。
由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2可得|F|=8。
再由公式deg(f)=2|E|,deg(f)=24。
因为对任一fF,deg(f)3,故要使上述等式成立,对任一fF,deg(f)=3。
证明题
10
6.4
3
3
3
证明对于连通无向简单平面图,当边数e<30时,必存在度数≤4的顶点。
答:
若结点个数小于等于3时,结论显然成立。
当结点多于3个时,用反证法证明。
记|V|=n,|E|=m,|F|=k。
假设图中所有结点的度数都大于等于5。
由欧拉握手定理得deg(v)=2|E|得5n2m。
又因为G=〈V,E,F〉是一个连通简单无向平面图,
所以对每个面f,deg(f)3。
由公式deg(f)=2|E|可得,2m3k。
再由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2可得2m-m+m=m
从而30m,这与已知矛盾。
证明题
10
6.4
3
3
4
在一个连通简单无向平面图G=〈V,E,F〉中若|V|3,则|E|3|V|-6。
答:
|V|3,且G=〈V,E,F〉是一个连通简单无向平面图,
d(f)3,fF。
由公式deg(f)=2|E|可得,2|E|3|F|。
再由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2可得|V|-|E|+|E|2。
|E|3|V|-6。
证明题
10
6.4
3
3
5
设G=
答:
记|E|=m。
因为G=
从而由公式deg(f)=2|E|可得3k2m
再由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2有
m=n+k-2
及kn+k-2
故k2n-4。
证明题
10
6.4
3
3
6
在半群
答:
任意取定aG,记方程a*x=a的惟一解为eR。
即a*eR=a。
下证eR为关于运算*的右单位元。
对bG,记方程y*a=b的惟一解为y。
b*eR=(y*a)*eR=y*(a*eR)=y*a=b。
类似地,记方程y*a=a的唯一解为eL。
即eL*a=a。
下证eL为关于运算*的左单位元。
对bG,记方程a*x=b的惟一解为x。
eL*b=eL*(a*x)=(eL*a)*x=a*x=b。
从而在半群
现证G中每个元素关于运算*存在逆元。
对bG,记c为方程b*x=e的惟一解。
下证c为b关于运算的逆元。
记d=c*b。
则b*d=(b*c)*b=e*b=b。
b*e=b,且方程b*x=b有惟一解,d=e。
b*c=c*b=e。
从而c为b关于运算的逆元。
综上所述,
证明题
10
8.3
4
4
7
设
定义G上的关系R:
对任意a,b∈G,aRb⇔存在h∈H,k∈K,使得b=h*a*k,则R是G上的等价关系。
答:
a∈G,因为H、K是G的子群,所以e∈H且e∈K。
令h=k=e,则a=e*a*a=h*e*k,从而aRa。
即R是自反的。
a,b∈G,若aRb,则存在h∈H,k∈K,使得b=h*a*k。
因为H、K是G的子群,所以h-1∈H且k-1∈K。
故a=h-1*a*k-1,从而bRa。
即R是对称的。
a,b,c∈G,若aRb,bRc,则存在h,g∈H,k,l∈K,使得b=h*a*k,c=g*b*l。
所以c=g*b*l=g*(h*a*k)*l=(g*h)*a*(k*l)。
因为H、K是G的子群,所以g*h∈H且k*l∈K。
从而aRc。
即R是传递的。
综上所述,R是G上的等价关系。
证明题
10
4.4
3
3
8
设h是从群
(1)h(e1)=e2;
(2)aG1,h(a-1)=h(a)-1;
(3)若HG1,则h(H)G2;
(4)若h为单一同态,则aG1,|h(a)|=|a|。
答:
(1)因为h(e1)h(e1)=h(e1e1)=h(e1)=e2h(e1),所以h(e1)=e2。
(2)a∈G1,h(a)h(a-1)=h(aa-1)=h(e1)=e2,
h(a-1)h(a)=h(a-1a)=h(e1)=e2,故h(a-1)=h(a)-1。
(3)c,d∈h(H),a,b∈H,使得c=h(a),d=h(b)。
故cd=h(a)h(b)=h(ab)。
因为HG,所以ab∈H,故cd∈h(H)。
又c-1=(h(a))-1=h(a-1)且a-1∈H,故c-1∈h(H)。
由定理5.3.2知h(H)G2。
(4)若|a|=n,则an=e1。
故(h(a))n=h(an)=h(e1)=e2。
从而h(a)的阶也有限,且|h(a)|n。
设|h(a)|=m,则h(am)=(h(a))m=h(e1)=e2。
因为h是单一同态,所以am=e1。
即|a|m。
故|h(a)|=|a|。
若a的阶是无限的,则类似于上述证明过程可以得出,h(a)的阶也是无限的。
故结论成立。
证明题
10
8.2;8.3
5
5
9
设*是集合A上可结合的二元运算,且a,bA,若a*b=b*a,则a=b。
试证明:
(1)aA,a*a=a,即a是等幂元;
(2)a,bA,a*b*a=a;
(3)a,b,cA,a*b*c=a*c。
答:
(1)aA,记b=a*a。
因为*是可结合的,故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。
由已知条件可得a=a*a。
(2)a,bA,因为由
(1),a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a),
(a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。
故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a,从而a*b*a=a。
(3)a,b,cA,(a*b*c)*(a*c)=((a*b*c)*a)*c=(a*(b*c)*a)*c
且(a*c)*(a*b*c)=a*(c*(a*b*c))=a*(c*(a*b)*c))。
由
(2)可知a*(b*c)*a=a且c*(a*b)*c=c,
故(a*b*c)*(a*c)=(a*(b*c)*a)*c=a*c
且(a*c)*(a*b*c)=a*(c*(a*b)*c))=a*c,
即(a*b*c)*(a*c)=(a*c)*(a*b*c)。
从而由已知条件知,a*b*c=a*c。
证明题
10
8.1
2
2
10
I上的二元运算*定义为:
a,bI,a*b=a+b-2。
试证:
为群。
答:
(1)a,b,cI,(a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4,a*(b*c)
=a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4。
故(a*b)*c=a*(b*c),从而*满足结合律。
(2)记e=2。
对aI,a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.。
故e=2是I关于运算*的单位元。
(3)对aI,因为a*(4-a)=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)*a。
故4-a是a关于运算*的逆元。
综上所述,为群。
证明题
10
8.3
4
4
11
R是集合X上的一个自反关系,求证:
R是对称和传递的,当且仅当和在R中有<.b,c>在R中。
答:
“”若由R对称性知,由R传递性得
“”若,有任意,因若所以R是对称的。
若,则即R是传递的。
证明题
10
4.3
2
2
12
f和g都是群
其中C=
1、答:
证,有,又
★★
★
证明题
10
8.2;8.3
§8-2购物环境与消费行为2004年3月20日4
(2)东西全4
13
设R是A上一个二元关系,
虽然调查显示我们的创意计划有很大的发展空间,但是各种如“漂亮女生”和“碧芝”等连锁饰品店在不久的将来将对我们的创意小屋会产生很大的威胁。
试证明若R是A上一个等价关系,则S也是A上的一个等价关系。
“碧芝”最吸引人的是那些小巧的珠子、亮片等,都是平日里不常见的。
据店长梁小姐介绍,店内的饰珠有威尼斯印第安的玻璃珠、秘鲁的陶珠、奥地利的施华洛世奇水晶、法国的仿金片、日本的梦幻珠等,五彩缤纷,流光异彩。
按照饰珠的质地可分为玻璃、骨质、角质、陶制、水晶、仿金、木制等种类,其造型更是千姿百态:
珠型、圆柱型、动物造型、多边形、图腾形象等,美不胜收。
全部都是进口的,从几毛钱一个到几十元一个的珠子,做一个成品饰物大约需要几十元,当然,还要决定于你的心意尽管售价不菲,却仍没挡住喜欢它的人。
答:
(1)
(2)10元以下□10~50元□50~100元□100元以上□S自反的
,由R自反,,
(3)S对称的
S传递的
由
(1)、
(2)、(3)得;S是等价关系。
证明题
10
4.4
7、你喜欢哪一类型的DIY手工艺制品?
3
1.www。
cer。
net/artide/2004021313098897。
shtml。
3
14
5、你认为一件DIY手工艺制品在什么价位可以接受?
1)用反证法证明。
自制性手工艺品。
自制饰品其实很简单,工艺一点也不复杂。
近两年来,由于手机的普及,自制的手机挂坠特别受欢迎。
2)用CP规则证明
十字绣□编制类□银饰制品类□串珠首饰类□
答:
1证明:
⑴P(附加前提)
⑵T⑴E
⑶P
⑷T⑶E
⑸P
⑹T⑷⑸E
⑺T⑹E
⑻T⑺I
⑼T⑵⑻I
⑽P
⑾T⑽E
⑿T⑾E
⒀T⑼⑿I
2、证明
①P(附加前提)
②P
③T①②I
④P
⑤T③④I
⑥T⑤E
⑦CP
证明题
10
2.4
5
5
15
答:
(1)
(2)e是之幺元。
事实上:
由于e是左幺元,现证e是右幺元。
(3)
由
(2),(3)知:
证明题
10
8.1;8.3
4
4
16
设,在上定义关系当且仅当,证明是上的等价关系,并求出
答:
证明:
1):
即R自反。
2):
即,即R对称。
3):
从而,
即R传递。
综上得出,R是等价关系。
且
证明
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