应用数值分析研究报告生课程课后习题答案07章.docx
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应用数值分析研究报告生课程课后习题答案07章
应用数值分析【研究生课程】课后习题答案07章
第七章习题解答
n
1、试证明牛顿一柯特斯求积公式中的求积系数Ci(n)满足Ci(n)1。
i0
nxj
证明:
取Xii(i0,1,L,n)的插值节点,相应的Lagrange插值基函数为h(x),由
joij
n
插值基函数的性质知li(x)1,于是可得:
i0
S3(f)0.8848o
4、推导中点求积公式p(¥)f耳),P(¥)f(¥),易求得P(x)f(i叨心),设
abab
r(x)
f(x)P(x),易知r(x)有二重零点一厂,于是有r(x)K(x)(x—)2,记
f(t)P⑴K(x)(t¥)2,则(t)有三个零点x,^(二重),由广义Rolle定理知
ab
由于(x甘)2在区间(a,b)上不变号,利用积分第二中值定理可得
条件。
解:
由复化梯形公式的误差限:
%(f)
由复化Simpson公式误差限:
解:
取t2,a0,b
外推流程如下:
T3(t)
T2(t)
14.23024947
10.15174340
10.20127249
10.20457443
于是有
x.厂x2dx10.20457443
0
h
0f(x)dx
8、试确定下列求积公式中的待定系数,指出其所具有的代数精度。
h2''
-[f(0)f(h)]h[f(0)f(h)];
代入
f(x)
x,令求积公式精确成立,
于是有
左-
33
h亠h3
右2h,可得
1
32
12
代入
f(x)
x3,于是左
h4
右
h4
h4
£左
—
—
右,求积公式成立,
4
2
4
4
代入
f(x)
4十h5
x,左:
,
5
右
2
£
3
丄
6
左右
,求积公式不精确成立,
f(x)1,x代入求积公式,易知求积公式精确成立,
解:
①分别将
综合以上可知,该求积公式具有三次代数精度。
②将f(x)1,x,x2分别代入求积公式,令求积公式成立,则有
AoAiA22h
h(A°A2)0
h2(A0A2)-h2
3
9、对f(x)c[a,b],已知求积公式为
试确定求积系数Ai和积分点X2,使代数精度尽可能高,指出代数精度是多少。
解:
对f(x)1,令求积公式成立,可得到A2,
对f(x)x2,左0.6667,右0.606010、试利用Lagrange线性插值导出如下求积公式
e%f(x)dx
解:
以节点x0,X1作f(x)的插值多项式L'x)——f(x))——f(xj,则有
XoX1X1X。
31
11、试利用以下两种方法计算丄dx,并与精确值比较。
1x
1用三点GaussLegendre公式;
2用Romberg求积公式作三次外推。
解:
①设三点GaussLegendre求积节点为t0―1^,t10,t2―1^,相应求积系数为
55
5851人abba丄…
A°,A1,A2,a1,b3,f(x),令_t,贝y
999x22
1.09803922,
31dx「fabLtdt山2心Lti
1x21222i022
解:
构造在[0,1]上关于权函数
②利用Romberg求积公式作三次外推,结果如下:
t
「(t)
T2(t)
T3(t)T4(t)
0
1.33333333
1
1.16666667
1.11111111
2
1.11666667
1.10000000
1.09925926
3
1.10321068
1.09872535
1.098640371.09863055
误差为R2
5
1.826110
12、对Gauss
n
Legendre求积公式,证明
k0
Ak2。
证明:
GaussLegendre求积公式至少具有0次精度,故取f(x)x1,求积公式精确
1nn
成立,即1f(x)dxAkf(Xk),亦即Ak2。
证毕。
k0k0
11
13、对积分f(x)ln—dx导出两点Gauss求积公式。
0x
1517
1(x)x4,同理可得2(x)"X-,求2(x)的零点可得
1
x00.11200881x10.60227691,进而可求得求积系数为A。
0l°(x)dx0.71853932,
1
A°b(x)dx0.28146068,于是所求的两点Gauss求积公式为
厲仆0)Afg
1
f(x)lndx
x
14、利用三点GaussHermite求积公式计算积分。
解:
①由三点GaussHermite求积公式的节点冷-1.2247448714人=0淤2=1.2247448714,相
应求积系数为A0=0.2954089752A=1.1816359006A2=0.2954089752,计算结果为
2
IA.cosxk1.38203307;
k0
②与①类似可得积分1=0.40283042
15、利用三点GaussLaguerre求积公式计算积分。
21
①exdx:
②dx
1x2
22
解:
①原积分I°exexxdx0exf(x)dx,其中f(x)exx,由由三点
GaussLaguerre求积公式的节点x。
0.4157745568x1=2.2942803063x2=6.2899150829,
相应求积系数为Ac=0.7110930099A=0.2785177336A2.010*******,计算结果为
2
IA k0 ②与①类似可得积分1=1.49790652 1o 16、对积分0f(x)(1x)dx,求构造两点Gauss求积公式,要求 ①在[0,1]上构造带权(x)1x2的二次正交多项式; ②用所构造的正交多项式导出求积公式。 解: ①解: 构造在[0,1]上关于权函数 (x)1x2的正交多项式o(x),1(x),2(x), 1 x00.17306907x10.66903619,进而可求得求积系数为A。 0l°(x)dx0.39523617, dc hy0.5,Xiaihx(i0,1丄,n),yajhy(j0,1,L,m),于是所求积分为 m ln(x2y)dxdy(dc)(ba) D 1.7279007。 (1)并化简可得 fi1)O(h2) (1)可得 GaussLegendre求积公式 b f(x)dxA1f(X1)A2f(X2) a 试确定求积系数A,A2和积分点xi,x2,并用此求积公式计算积分0J_x2dx。 解: 由Legendre二次多项式的零点即求积节点为 ti 岭,相应求积系数为 Ai1A 1,令 b f(x)dxa ba ~2~ Aif 于是可得Xi (i i,2) ,亦即Xi ab 2 ab 3(ba) 6 Aif(xi) X2 a ~2 b3(b -6 AJ(X2) a) Aba Ai丁 代入相应的公式可得 A(ii,2),亦即 Ai A2 0.ix2dx i(i33)2i(i^2 2.9532764。 11.17136992 1 A°h(x)dx0.27143053, ②由①可得所求的两点Gauss求积公式为 12 0f(x)(1x)dxA)f(X0)Af(X1)0.39523617f(0.17306907)+0.27143053(0.66903619) 17、试用NewtonCotes计算二得积分 ln(x2y)dxdy D 其中D{(x,y)|1.5x2.0,0y3.0},取四位小数计算。 解: 对x,y方向均采用Cotes公式,f(x,y)ln(x2y)a1.5,b2,c1,d4,nm4, ba hx0.125, n
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