相似三角形比例线段.docx
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相似三角形比例线段
相似三角形一一比例线段
适用学科
初中数学
适用年级
九年级
适用区域
沪科版
课时时长(分钟)
60
知识点
比例线段的概念、比例的基本性质、黄金分割
教学目标
1、理解并掌握两条线段的比和比例线段的概念,并运用比例线段解决简单问题;
2、理解比例的基本性质,并掌握其应用;
3、理解并掌握黄金分割比及其相关概念,并学会应用。
教学重点
1、会应用比例的基本性质解决问题;
2、掌握黄金分割的实际应用。
教学难点
1、比例的基本性质;
2、运用黄金分割解决实际问题。
教学过程
-、课堂导入
1举例说明生活中存在形状相同,但大小不同的图形。
如:
照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含
有30角的三角尺等。
2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框,宽与长之
比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。
你知道0.618这个比值的来历吗?
二、复习预习
1、什么是两个数的比?
2与一3的比;一4与6的比,如何表示?
其比值相等吗?
用小
学学过的方法可说成为什么?
可写成什么形式?
2、比与比例有什么区别?
3、用字母a,b,c,d表示数,上述四个数成比例可写成怎样的形式?
你知道内项、外项的概
念吗?
2422—4
答案:
1、2:
(—3)=—3;—4:
6=—6=—3;3=6,2,—3,—4,6四个数
成比例。
注意四个数字的书写顺序。
2、比是一个值;比例是一个等式。
ac
3、a:
b=c:
d即b=d,a,d叫做比例外项,b,c叫做比例内项。
三、知识讲解
考点1
比例线段
ac
一般地,四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d比,即b=d,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段。
a_c
注意:
线段的比有顺序性,四条线段成比例也有顺序性•如d是线段a、b、c、d成
比例,而不是线段a、c、b、d成比例。
考点2
比例的性质
1、比例的基本性质:
比例式化积、积化比例式
acad=bc
bd
2、合比性质:
分子加(减)分母,分母不变。
cakbckd
匚厂—心、23…)
3、等比性质:
分子分母分别相加,比值不变
ab
4、比例中项:
若一二-即b2=ag则b是a,c的比例中项。
bc
考点3
AC_BC
在线段AB上,点C把线段分成两条线段AC和BC,如果AB「AC,那么称线段AB被点C分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫黄金分割比。
其中
』5—1ac
AB:
AC:
V0.6180.618
2即AB
四、例题精析
【例题1】
【题干】已知线段a=10mm,b=6cm,c=2cm,d=3cm。
问:
这四条线段是否成比例?
为什
么?
【答案】这四条线段成比例
••a=10mm=1cm
.a-1d_3_1
•C_2,b_6_2
ad
••a_b,即线段a、c、d、b是成比例线段。
【解析】直接利用比例线段的概念解答。
【题干】已知冷,求证:
【答案】证明:
bd
.bd
•—
ac
.abcd
ac
ac
abcd
【解析】利用比例的合比性质证明
【题干】根据下列条件,求a:
b的值
ab
(1)2a=3b;
(2)5=4
【解析】比例的基本性质直接运用,其中第2小题两次运用了性质,初学时易差错,要求学
生重视对变形结果的检验,即变形后是否仍然满足两内项之积等于两外项之积
ac
【题干】已知b=d,判断下列比例式是否成立,并说明理由
a+bc+daa+c
(1}~=~;(刀b口。
【答案】解:
(1)成立,理由如下:
d一d
+
C-d
-
b-b
+
(2)成立,理由如下:
设-=^=k,则-二bk,c二dk
bd
acbkckk(bd)
kbdbdbd
【解析】
(1)比较条件和结论的形式得到解题思路,利用等式的基本性质;
(2)采用设比值较为简单,其实质就是等比性质。
【题干】如图,设AB是已知的线段,在AB上作正方形ABCD,取AD的中点E,连接EB,
延长DA至F,使EF=EB,以线段AF为边作正方形AFGH,请说明点H就是AB的黄金分割点。
【答案】证明:
设AB=2a,那么在RtBAE中,BE-AB2AE2二(2司2一a2二5a
EF二BE二,5a,AH=AF二BE—AE=(..5-1)a,BH二AB—AH=(3-,5)a,
AH(,5-1)a..5-1BH(3-5)a5-1
"
AB2a2'AH(、5_1)a2
因此=BH,点H是AB的黄金分割点。
ABAH
【解析】利用黄金分割点的定义证明。
五、课堂运用
【基础】
4
1、
(1)已知线段a=30mm,b=2cm,c=5cm,d=12mm,试判断a、b、c、d是否成比例线段。
(2)已知a、b、c、d是比例线段,其中a=6cm,b=8cm,c=24cm,则线段d的长度
是多少?
【答案】解:
(1)ab、c、d不是成比例线段,理由如下:
a303c82ac
•'b一20一2‘d一12一3…bd
•ab、c、d不是成比例线段,但是ab、d、c成比例线段
a63
(2「ab、c、d是比例线段•J*蔦
24
•'•d二32cm即线段d的长度是32cm
【解析】利用成比例线段的概念解答
2、若箫=2,求y
【答案】
解:
•••警
x+y
•••x+y=2(2x-3y)
•°x+y=4x-6y/-3x=7y
【解析】根据比例的基本性质,利用方程思想解答。
【巩固】
22V
1、若x-3xy+2y=0,求-=
X
1
【答案】;或1
2
22y1
【解析】:
tx-3xy+2y=0「.(x-y)(x-2y)=0/-x=y或x=2y二或1。
根据比例
x2
的基本性质,利用方程思想解答。
2、如图,是我国台湾省的几个城市的位置图,问基隆市在高雄市的哪一个方向?
到高雄
【答案】解:
从图上量出高雄市到基隆市的距离约35mm,设实际距离为s,贝U
351
s一9000000
S=359000000=3i5000000(mm)
即s=315(km)
量得图中•〉=28,我们还能确定基隆市在高雄市的北偏东28的315km处。
答:
基隆市在高雄市的北偏东28的315km处。
【解析】利用比例尺的概念及比例线段的定义解答,要注意设实际距离为s,求角度时要注意
方位。
【拔高】
1、k(a、b、c都是实数),贝Uk=()
cab
A、2B、-1C、2或-1D、无法确定
【答案】C
丈上=-1;当a+b+cb
a+bb十e【解析】当a+b+c=O时,a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b,故
e
却时,利用等比性质
abbe
ae2(abe)
二2,所以k=-1或2。
x—y+z
2、
(1)x:
y:
z=2:
3:
4'求2x^的值。
(2)已知a:
b:
c=3:
4:
5,且2a+3b—4c=—1,求2a—3b+4c的值。
【答案】
2k-3k4k
解:
(1)设x=2k,y=3k,z=4k,则=Z=些』4k=-;
2x+3y—z2x2k+3x3k—4k9k3
(2)设a=3k,b=4k,c=5k,则2a+3b—4c=2x3k+3X4k-4X5k=-2k=-1,所
故2a—3b+4c=2X3k-3X4k+4X5k=14k=7。
【解析】利用设比的方法进行解答。
课程小结
1、理解并掌握比例线段的概念以及比例的性质;
2、比例式变形的常用方法:
(1)利用等式性质;
(2)设比值。
3、比例线段在实际问题中的应用,体会数学在生活中广泛的应用价值。
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