四边形全章备课.docx
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四边形全章备课
四边形单元备课
第一课时平行四边形的性质
(1)
知识技能目标
1.通过平行四边形的概念和实验操作,理解并掌握平行四边形的特征:
平行四边形的对边平行且相等,对角相等;
2.会利用平行四边形的特征进行有关角和边的计算;
3.能列方程解图形计算问题.
过程性目标
通过对图形变换的操作和观察,经历探索平行四边形特征的过程,体会研究几何图形性质的方法.
课前准备
1.通过观察,寻找现实生活中平行四边形的实例;
2.准备一些方格纸、剪刀,几只图钉.
教学过程
一、创设情境
师平行四边形是我们现实生活中常见的一种图形,小学里我们已经有所了解,请同学们说出观察后发现的现实生活中平行四边形的例子.
生竹篱笆格子、工厂的伸缩大门、教室内铺的平行四边形地砖图案…….
师很好!
再请同学们想想小学里是怎样识别一个四边形是平行四边形的?
生 有两组对边分别平行的四边形就是平行四边形.
师 对!
你们的记忆力真棒!
有两组对边分别平行的四边形就叫做平行四边形(parallelogram),平行四边形ABCD可记作“
ABCD ”.下面请同学们找找下列哪些图形是平行四边形?
我们来比一比,看谁找得又快又正确.
在学生找出平行四边形的基础上,师生共同归纳:
平行四边形的一个主要特征:
两组对边分别平行.
师 那么平行四边形还有什么其他特征呢?
二、探究归纳
师 请同学们拿出方格纸,思考:
如何在方格纸上画出
ABCD?
(分组讨论,老师边看边指导).
生步骤1.画两条平行线.
2.在两条平行线上分别取点A和点B,连结AB.
3.沿着水平方向平移AB到DC,就得到
ABCD.
师 我们刚才画平行四边形的过程就是利用了平行四边形的特征,请同学们试一试,用什么方法可以再画一个和
ABCD一样大小的
EFGH?
(学生边讨论边操作,然后介绍方法,教师作适当的点评,并加以表扬.)并比较这两个平行四边形的对应边、对应角的关系?
生这两个平行四边形的对应边、对应角相等.
师在
ABCD中连结AC、BD,它们的交点记为O.将两个平行四边形完全重合地叠在一起,用一枚图钉在O穿过,将
ABCD绕点O旋转180°,请同学们观察旋转后的
ABCD和纸上所画的
EFGH是否重合?
ABCD是一个什么图形?
生是一个中心对称图形.
师
ABCD既然是一个中心对称图形,那么它的对边,对角还有什么关系?
(请同学们继续讨论,并把你们讨论的结果告诉大家).
生 ∵
ABCD是一个中心对称图形,
且O是对称中心,
∴AD=BC,AB=CD,
∠A=∠B, ∠C=∠D.
师生共同归纳:
平行四边形的对边相等,对角相等.
三、实践应用
例1如图,在
ABCD中,已知∠A=40°,求其它各个内角的度数.
解 ∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠C=∠A=40°
∵ AD∥BC,
∴∠B=180°-∠A =180°-40° =140°
∴ ∠D=∠B=140°
例2已知,
ABCD的周长为56cm,AB:
BC=4:
3,求CD、DA的长.
解 设AB=4xcm,BC=3xcm,
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD, AD=BC.
∵AB+BC+CD+DA=56
∴4x+3x+4x+3x=56,
∴x=4.
即CD=16cm,DA=12cm.
例3如图,已知A′B′∥BA,B′C′∥CB,C′A′∥AC.
(1)看一看,数一数,在整个图形中,有多少个平行四边形?
(2)去看一看∠ABC与∠B′,∠CAB与∠A′,∠BCA与∠C′有什么关系?
(3)△ABC的顶点A、B、C分别是△A′B′C′中边B′C′、C′A′、A′B′的中点吗?
解
(1)有3个平行四边形:
C′BCA,
ABCB′,
ABA′C.
(2)由于平行四边形的对角相等,
∴∠ABC=∠B′,∠CAB=∠A′,∠BCA=∠C′.
(3)由于平行四边形对边相等,
∴在
C′BCA中,AC′=BC,
在
ABCB′中AB′=BC,
因此AC′=AB′,
∴点A是B′C′的中点,
同理可知,点B、C分别是C′A′,A′B′的中点.
四、交流反思
师本堂课我们探索了平行四边形的两个特征,请同学谈谈你的收获.
生平行四边形的对边分别平行且相等;
平行四边形的对角相等.
师通过学习,我们又多了说明两条线段平行、相等和两个角相等的方法,请同学们一定要掌握,仔细领会.
下面请同学用几何语言叙述这两个特征.
生1.平行四边形的对边平行且相等;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC(平行四边形的对边平行);
AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等).
2.平行四边形的对角相等.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对角相等).
五、检测反馈
1.已知在
ABCD中,∠A+∠C=80°,求四个角的度数.
2.已知在
ABCD中,周长为40cm,且AB比BC长2cm,求它的各边的长.
3.如图,
ABCD中,∠BAD=130°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,求∠EAF的度数.
4.如图,
ABCD中,AB比AD大2cm,∠DAB的平分线AE交CD于E,∠ABC的平分线BF交CD于F,如果
ABCD的周长为24cm,求CE,EF,FD的长.
34
5.思考题已知平行四边形一个内角的平分线与平行四边形的一边相交,把此边分成两线段的比是2∶3,此平行四边形的周长为32cm,求此平行四边形相邻两边的长.(提示:
应分AE∶ED=2∶3或AE∶ED=3∶2两种情况解
第二课时平行四边形的性质
(2)
知识技能目标
1.理解和掌握发现平行四边形的对角线互相平分的特征;
2.了解两平行线之间距离的概念;
3.会利用平行四边形的特征进行相关的计算和说理.
过程性目标
1.通过实践操作,感受两平行线之间距离处处相等;
2.体会两平行线之间的距离、点到直线之间距离、点与点之间距离的相互联系与转化.
课前准备
准备一些方格纸.
教学过程
一、创设情境
师请同学们画一个
ABCD,对角线AC和BD相交于O,用刻度尺测量OA,OB,OC,OD的大小关系.再画一个试一试.
生OA=OC,OB=OD.
二、探究归纳
师很好!
说明平行四边形的对角线互相平分.
在上节课平行四边形的旋转过程中,我们也观察到
了OA与OB,OC与OD能够互相重合,请同学们用
学过的知识来说明这一现象
生
ABCD是一个中心对称图形,O是它的对称中心,
OA=OC,OB=OD.
师 回答得非常正确,由此我们得出了平行四边形的又一个重要特征:
师生平行四边形的对角线互相平分
四边形ABCD是平行四边形,
OA=OC,OB=OD(平行四边形的对角线互相平分).
师 请同学们拿出方格纸,在方格纸上画两条互相平行的直线,在其中一条直线上任取若干点,过这些点作另一条直线的垂线(老师边看边指导同学画).
师请同学用刻度尺量一下方格纸上两平行线间的距离,你发现了什么现象?
生平行线间的距离相等.
师这种现象说明了平行线的又一个特征:
平行线之间的距离处处相等.
∵l1∥l2, AB⊥l2 ,CD⊥l1
∴AB=CD(平行线之间的距离处处相等).
师如果AB,CD是夹在两平行线l1、l2之间的两条平行线段,那么AB和CD仍相等吗?
(请同学们课后画图思考,并想想为什么?
)
师两条平行线,其中一条直线上任一点到另一条直线的距离,叫做两条平行线之间的距离.
师如上图,两平行线l1、l2之间的距离是指什么?
生指在一条直线l1上任取一点A,过A作AB⊥l2于点B,线段AB的长度叫做两平行线l1、l2间的距离.
师思考:
两平行线之间的距离、点与直线的距离、点与点之间的距离有怎样的区别与联系?
两平行线间的距离
点到直线的距离
点到点的距离
(l1、l2间的距离)转化(点A到l2间的距离)转化(点A到点B的距离)
三、实践应用
例1如图,在
ABCD中,已知对角线AC和BD相交于点O,△ AOB的周长为15,AB=6,那么对角线AC与BD的和是多少?
解 ∵AO+BO+AB=15,又AB=6,
∴AO+BO=15-6=9.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO(平行四边形的对角线互相平分).
即AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)
=2×9=18.
例2如上图,
ABCD的周长为60cm,对角线AC,BD相交于点O,△ AOB的周长比△BOC的周长少8cm,求AB,BC的长.
解 ∵AB+BC+CD+DA=60,
(BC+BO+CO)-(AB+AO+BO)=8,
又四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边平行).
AO=CO,BO=DO(平行四边形的对角线互相平分).
从而AB+BC=30,BC-AB=8,
得BC=19,AB=11.
例3已知
ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,说明S△ABC=S△DBC.
解 过点A作AE⊥BC于点E、过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F.
∵AD∥BC,AE⊥BC,DF⊥BC,
∴AE=DF(平行线之间的距离处处相等),
∴
,
即S△ABC=S△DBC.
四、交流反思
师 通过两节课的讨论与学习,我们的收获真不小,已掌握了平行四边形的哪些特征,你能回想出来吗?
1.平行四边形的对边平行且相等;
2.平行四边形的对角相等;
3.平行四边形的对角线互相平分;
4.平行线之间的距离处处相等.
五、检测反馈
1.已知在
ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,指出图形中相等的线段.
2.如图,如果直线l1∥l2,那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的,你能说出理由吗?
你还能在这两条平行线l1、l2之间画出其他与△ABC面积相等的三角形吗?
3.
ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知AO比AB短2cm,BO比AB长2cm,BO是AO的2倍,求AC,BD的长.
4.如图,
ABCD中,AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD,试说明AC、EF互相平分.
第三课时矩形的性质
教学目标
知识与技能:
探索并掌握矩形的有关性质,领会矩形的内涵.
过程与方法:
经历探索矩形有关性质的过程,在直观操作活动中学会简单说理,发展初步的合情推理能力和主动探究习惯,逐步掌握说理的基本方法.
情感态度与价值观:
形成良好的几何感知,体会几何学的逻辑内涵,发展思维.
重点、难点
重点:
理解和掌握矩形的性质.
难点:
发展合情推理能力和主动探究习惯.
教具准备
用四段木条做一个平行四边形的活动木框.如课本P101图16.2.1所示.
教学过程
一、回顾
1.平行四边形有哪些特征?
2.有几种方法可以识别四边形是平行四边形?
3.平行四边形是中心对称图形吗?
它的对称中心是什么样的点?
平行四边形是轴对称图形吗?
如果是,它的对称轴是怎样的直线?
如果不是,请说明理由.
二、创设问题情境,引入新课
1.教师出示教具:
“一个活动的平行四边形木框”,用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上.
拉动一对不相邻的顶点A、C,立即改变平行四边形的形状,如图所示.
学生思考如下问题:
(1)无论∠α如何变化,四边形ABCD还是平行四边形吗?
(2)随着∠α的变化,两条对角线长度有没有变化?
学生凭直觉可以很快地回答上述问题.
随着∠α由锐角变成钝角时,过∠α顶角的对角线由长变短,而另一条对角线由短变长.
当∠α是锐角时,学生可以用刻度尺量出两条对角线的长度,你可判别它们数量之间的关系吗?
当∠α是钝角时,学生也可以用同样办法,得到两对角线的数量关系.
(3)当∠α为直角时,这个时候平行四边形就变成一个特殊的平行四边形──矩形.
这就是你们以前学过的长方形.
教师根据学生的回答.板书:
矩形.
这就是我们今天着手研究的一个课题.
(4)那怎样的平行四边形是矩形呢?
2.同学回答,老师板书:
有一个内角为直角的平行四边形是矩形?
如果人家问怎样的四边形是矩形呢?
那就要说四个内角都是直角(或三个内角是直角)的四边形是矩形.大家想一想矩形是平行四边形吗?
9是)
那么矩形就具有平行四边形的一切特征.
即矩形是中心对称图形;对边分别平行;两组对边分别相等;两组对角分别相等;对角线互相平分.
3.矩形除了以上特征外,还有它的特有的性质吗?
学生思考以下问题:
(1)上面的活动架当∠α为直角时,它们的对角线有何关系?
(2)矩形是轴对称图形吗?
如果是,它的对称轴是怎样的直线?
如果不是请说明理由.
(3)说出日常生活中的矩形图象.
4.让我们一起来归纳矩形的性质,并板书:
(1)矩形具有平行四边形的一切性质.
(2)矩形是轴对称图形.
(3)矩形的对角线相等.
(4)矩形的四个角都是直角.
三、讲解例题(展示小黑板)
例1如课本P102图16.2.3,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形周长的和为86cm,对角线长为13cm,那么矩形的周长是多少?
学生思考交流后.
师生共同分析:
要求矩形ABCD的周长,就必要求出AB、BC、CD、AD的长度,由于AB=DC,AD=BC,那么只要求出AB、BC或CD、AD即可.
而矩形的对角线相等且互相平分,又对角线AC=13cm,所以OA=OB=OC=OD=
cm=6.5cm.
这样通过四个小三角形的周长和得到答案.
点拨:
上面从求AB、BC、CD、AD的长度来考虑是一种常见的方法,这里是很难实现的与上次讲述的从整体考虑也是一种好方法,即求AB+BC+CD+AD的值,本题应该从这方面入手.
解:
因为△AOB、△BOC、△COD、△AOD的周长的和为86cm,四边形ABCD是矩形,
所以AC=BD=13cm,AO=OB=OC=OD
则AO+OB+AB+BO+OC+BC+CO+CD+OD+AO+OD+AD=86(cm)
即AB+BC+CD+AD=86-2AC-2BD=86-2×13-2×13=34(cm)
所以矩形ABCD的周长为34cm.
四、随堂练习,巩固新知
课本P102练习第1,2题.
1.如图所示,在矩形ABCD中,找出相等的线段与相等的角,
由于ABCD是矩形,它具有平行四边形的一切性质,则AB=DC,AD=BC,AO=OC,BO=OD,∠BAD=∠BCA,∠ABC=∠CDA
除了平分四边形的一切性质还有它的特殊性质,所以图中的等线段有:
AC=BD,AO=OB=OC=OD,AB=DC,AD=BC.
图中的等角有:
∠1=∠2=∠5=∠6,∠3=∠4=∠8=∠7,∠9=∠10,∠11=∠12.
2.如图所示,矩形ABCD的两条对角线交于O,且∠AOD=120°,你能说明AC=2AB吗?
分析:
要说明AC=2AB,由于四边形ABCD是矩形,所以AC=2AO,这样只要说明2AO=2AB,即AO=AB即可,而AO=BO,只要说明∠AOB=60°就可以了,由于∠AOD=120°,所以得到∠AOB=60°并不困难.
解:
由于ABCD是矩形,所以OA=OB=OC.
由于∠AOD=120°,所以∠AOB=60°.
那么△AOB是等边三角形.
故AO=AB,即2AO=2AB,
就是AC=2AB.
五、全课小结,提高认识
本节是研究矩形的特征和识别,其主要内容如下:
1.矩形的性质:
(1)矩形具有平行四边形的一切性质.
(2)矩形的四个内角都是直角.
(3)矩形的对角线相等且互相平分.
2.矩形的识别:
(1)四个内角都是直角的四边形是矩形.
(2)一个内角是直角的平行四边形是矩形.
(3)两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
(4)两条对角线相等的平行四边形是矩形.
同时,矩形既是中心对称图形又是轴对称图形,它也具有中心对称图形和轴对称图形的一切性质.
六、作业布置
1.课本P107习题16.2第1题.
2.选用课时作业设计.
第一、二、三课时作业设计
一、判断题
1.矩形是轴对称图形,对角线是它的对称轴.()
2.平行四边形也是轴对称图形其对称轴也是对角线.()
3.AD是直角三角形ABC的中线,那么AD就等于它斜边BC的一半.()
二、选择题
4.矩形ABCD的长为5,宽为3,点E、F将AC三等分,则△BEF的面积为().
A.
D.5
5.已知矩形ABCD的AB=2BC,在CD上取点E,使AE=EB,那么∠EBC等于().
A.60°B.45°C.30°D.15°
6.已知E、F分别是矩形ABCD的对边BC和AD上的点,且BE=
BC,AF=
AD,连结AC、EF,那么().
A.AC平分EF,但EF不平分ACB.AC与EF互相平分
C.EF平分AC,但AC不平分EFD.AC与EF不会互相平分
7.如果矩形ABCD的对角线AC和BD所成的锐角是60°,那么().
A.AC+BD=AB+BC+CD+DAB.BD=2ABC.AC+BD=AB+BCD.以上都不对
8.一个矩形和一个平行四边形的边分别相等,若矩形面积为这个平行四边形的面积的2倍,则平行四边形的锐角的度数为().
A.15°B.30°C.45°D.60°
9.过四边形各顶点分别作对角线的平行线,若这四条平行线围成一个矩形,则原四边形一定是().
A.对角线相等的四边形B.对角线垂直的四边形
C.对角线互相平分且相等的四边形D.对角线互相垂直且平分的四边形
10.E为矩形ABCD的边CD上的一点,AB=AE=4,BC=2,则∠BEC是().
A.15°B.30°C.60°D.75°
11.如图1所示,矩形ABCD的对角线交于O,AE⊥BD于E,∠1:
∠2=2:
1,则∠1的度数为().
A.22.5°B.45°C.30°D.60°
(1)
(2)(3)(4)
12.下列叙述错误的是().
A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.矩形的对角线相等D.对角线相等的四边形是矩形
13.下列性质矩形不一定具备的是().
A.对角线相等B.四个内角都相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直
三、填空题
14.如图2所示,O为矩形ABCD的对角线交点,DF平分∠ADC交AC于E,BC于F,∠BDF=15°,则∠COF=______.
15.矩形ABCD中,AB=8,BC=6,E、F、G是AD的四等分点,则△BEF的面积是_____.
16.若矩形两邻边之比为3:
4,周长为28cm,则它的边长为______.
17.已知矩形的对角线与较长边所夹的角等于30°,那么较短边与两对角线所围成的三角形是________三角形.
18.矩形ABCD的周长为40cm,O是它的对角线交点,△AOB比△AOD周长多4cm,则它的各边长之比为________.
19.如图3所示,矩形ABCD中,AE⊥BD于E,∠DAE=3∠BAE,则∠BAE=_____,∠EAD=_____,∠EAC=_____.
20.矩形ABCD中,M为AD的中点,MB⊥MC,矩形的周长为24,则AB=_____,BC=_______.
21.O为矩形ABCD的对角线交点,∠AOB=2∠BOC,对角线AC=12,则CB=_______.
22.如图4所示,在矩形ABCD中,AB=2BC,在CD上取点E,使AE=AB,则∠EAB=_____,∠BEC=________.
23.M为矩形ABCD的BC上一点,DN⊥AM于N,AB=3,BC=7,AM=5,则DN=______.
四、解答题
24.如图所示,矩形ABCD中,AC、BD相交于O,AE平分∠BAD交BC于E,若∠CAE=15°的度数,求∠BOE的度数.
25.如图所示,矩形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,CE⊥BD于E,OF⊥AB于F,BE:
DE=1:
3,OF=2cm,求AC的长.
26.如图所示,矩形ABCD中,长为7,宽为6,点E、F将BD三等分,求△AEF的面积.
27.如图所示,在矩形ABCD中,四个内角平分线相交于E、F,若AB=8cm,Ad=20cm,求EF的长度.
28.如图所示,矩形ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边长的点F处,如果∠BAE=60°,求∠DAE的度数.
29.某班在布置新年联欢会场,需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条,如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=30cm,AB=50cm,依次裁下宽为1cm的矩形纸条a1,a2,a3,…,若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm,问,每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条总数是多少?
参考答案
一、1.×2.×3.×
二、4.C5.B6.B7.B8.B9.B10.D11.B12.D13.D
三、14.75°15.616.6cm8cm6cm8cm17.等边18.8cm12cm8cm12cm
19.22.5°67.5°45°20.4821.622.30°75°23.
四、24.∠BOE=75°25.AC=8cm26.727.12cm28.15°29.26
第三课时菱形的性质
教学目标
知识与技能:
了解菱形的基本性质,掌握其特征.
过程与方法:
经历探索菱形的性质的过程,在操作活动和观察、分析过程中发展学生主动探究意识和初步审美意识,进一步了解说理的基本方法.
情感态度与价值观:
发展合情推理能力,体会菱形的实际应用价值.
重点、难点
重点:
掌握菱形的性质.
难点:
培养合情推理和说理方法.
教具准备
准备剪刀和尺,以及可伸缩的衣帽架、实物.
教学过程
一、复习
1.平行四边形有何特征?
如何识别一个四边形是平行四边形?
2.矩形有何性质?
如何识别一个四边形是矩形?
如何识别一个平行四边形是矩形?
在学生思考、交流的过程中,老师适时进行指导.
二、创设问题情境,导入新知
出示可伸缩的衣帽架实物.
老师在演示的过程中提问:
图中的基本图形你熟悉吗?
学
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