北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形易错题专练Word版含详解.docx
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北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形易错题专练Word版含详解.docx
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北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形易错题专练Word版含详解
2020年北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形易错题专练
一、选择题(共10题)
L如图,AD是4ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断口ADCE是菱
形的是()
的值为()
A.1B.:
4
C.2
D.无法确定
3.如图,在平行四边形ABCD中,对角线BD1AD,AB=10,AD=6,O为BD的中点,E为
边AB上一点,直线EO交CD于点F,连结DE,BF.下列结论不成立的是()
A,四边形DEBF为平行四边
形B.若AE=3.6,则四边形
DEBF为矩形
C.若AE=5,则四边形DEBF为菱形D.若AE=4.8,则四边形
DEBF为正方形
4.如图,巳知正方形ABCD的边长为2,点E是正方形ABCD的边AD上的一点,点A关于BE的对称点为F,若ZDFC=90°,则EF的长为()
D・A
5.如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上一动点,过点P作PE1BC于点E.PF1AB于点F.若菱形ABCD的周长为20,面积为24,则PE+PF的值为()
R24
B・T
A.4
C.6
6
.如图,在平行四边形ABCD中,点0是对角线BD的中点,过点0作线段EF,使点E点F分别在边AD,BC上(不与四边形ABCD顶点重合),连结EB,EC设ED=kAE,下列结论:
①若k=l,则BE=CE;②若k=2,则aEFC与AOBE面积相等:
③若AABEgZiFEC,则EFLBD.其中正确的是()
7.如图,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF;把纸片展平后再次折叠,使点A落在EF上的点A'处,得到折痕BM,BM与FF相交于点N.若直线BA'交直线CD于点0,BC=5,EN=1,则0D的长为()
D.
3
8
.七巧板是大家熟悉的一种益智玩具,用七巧板能拼出许多有趣的图案.小李将块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割七块,正好制成一副七巧板(如图②),已知AB=40cm,则图中阴影部分的面积
A.25cm2B.苧cnF
C.50cm2
D.75cm2
9.如图,四边形0AAB是边长为1的正方形,以对角线0A1为边作笫二个正方形OAiAJz,连接届,得到△AA也;再以对角线0A2为边作第三个正方形OA2AB,连接AA,得到△A也生,再以对角线0A3为边作笫四个正方形OA2AB,连接AA,得到△A2A血,…,设△AAA,△
A1A2A3,△A2A3A4,…,的面积分别为Si,S2,S3,…,如此下去,则S故0的值为
%
1^2020
A.
B.2M8
C.2叫
D.1010
10.把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案,顶点A,D互相重合,中间空白部分
是以E为直角顶点,腰长为2cm的等腰直角三角形.
则纸片的长AD(单位:
cm)为()
•a〃
A.7+3V2
夜
V2
二、填空题(共8题)
B.7+4
C.
D.
8+3
8+4V2
11.如图,菱形ABCD的边长为4,NA=45°,
分别以点A和点
B为圆心,大于^AB的长为半
4
径作瓠,两孤相交于M,N两点,直线MN交AD
于点E,连接CE,则CE的长为
12.如图,点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,N1=N2,则NBPC的度数为
B
13.如图,矩形纸片ABCD,AB=6cm,BC=8cm,E为边CD上一点.将△BCE沿BE所在的直线折叠,点C恰好落在AD边上的点F处,过点F作FMJLBE,垂足为点M,取AF的中点N,连接MN,则MN=
14.如图,巳知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AMVAB,ZiCBE由△dam平移得到,若过点E作EH_LAC,H为垂足,则有以下结论:
①点M位置变化,使得NDHC=60°时,2BE=DM;
②无论点M运动到何处,都有DM=V2HM;
③在点M的运动过程中,四边形CEMD可能成为菱形;
④无论点M运动到何处,NCHM一定大于135°.
以上结论正确的有(把所有符合题意结论的序号都填上).
15.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点0,点E在CD的延长线上,连接AE,点
F是AE的中点,连接OF交AD于点G.若DE=2,OF=3,则点A到DF的距离为
16.如图,菱形ABCD的边长是4,ZABC=60Q,点E,F分别是AB,BC边上的动点(不与点A,B,C重合),且BE=BF,若EG//BC,FG//AB,EG与FG相交于点G,当ZkADG为等腰三角形时,BE的长为.
17.如图,正方形ABCD的边长为6,E是边AB的中点,F是边AD上的一个动点,EF=GF,且ZEFG=90°,贝!
|GB+GC的最小值为.
18.如图,在菱形纸片ABCD中,AB=3,ZA=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F,G分别在边AB,AD±,则EF的长为.
三、解答题(共7题)
19.如图,过平行四边形ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线,分别交边AB、BC.CD、DA于点P、M、Q、N.
(1)求证:
△PBEg△QDE;
(2)顺次连接点P、M、Q、N,求证:
四边形PMQN是菱形.
20.如图1,在矩形ABCD中,AB=5,BC=8,点E,F分别为AB,CD的中点.
(1)求证:
四边形AEFD是矩形;
(2)如图2,点P是边AD上一点,BP交EF于点0,点A关于BP的对称点为点M,当点M落在线段EF上时,则有0B=0M.请说明理由;
21.如图,正方形ABCD9G是BC边上任意一点(不与B、C重合),DE1AG于点E,BF//DE,且交AG于点F.
(1)求证:
AF-BF=EF-
(2)四边形BFDE是否可能是平行四边形,如果可能请指出此时点G的位置,如不可能请说明理由.
22.用周长相等的正方形ABCD和长方形AEFG,按如图所示的方式叠放在一起(其中点E在AB上,点G在AD延长线上,EF和DC交于点H),正方形ABCD的边长为m,长方形AEFG长为x,宽为y(y (1)写出x、y、m之间的等量关系; (2)求证: HC=HF; (3)若四边形DHFG为正方形,求x、y(用含有m的代数式表示); (4)比较四边形BEHC与四边形DHFG面积的大小,并说明理由. 23.如图,在正方形ABCD中,E是CD边的中点,AC与BE相交于点F,连接DF. (1)在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形; (2)连接AE,试判断AE与DF的位置关系,并证明你的结论; (3)延长DF交BC于点M,试判断BM与MC的数量关系.(直接写出结论) 24.如图,正方形ABCD的边长为6.E,F分别是射线AB,AD上的点(不与点A重合),且EC工 CF,M为EF的中点.P为线段AD上一点,AP=1,连结PM. (1)求证: CE=CF; (2)当aPMF为直角三角形时,求AE的长; (3)记BC边的中点为N,连结MN,若MN=V17,则△PMF的面积为.(在横线上直接写出答案) 25.如图L矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转,得到矩形BEFG. (1)当点E落在BD上时,则线段DE的长度等于; (2)如图2,当点E落在AC上时,求△BCE的面积; (3)如图3,连接AE、CE、AG、CG,判断线段AE与CG的位置关系且说明理由,并求CE? +AG? 的值; (4)在旋转过程中,请直接写出S&BCE+S3abg的最大值. 答案 一、选择题 1.解: A、若ZBAC=90°,则AD=BD=CD=AE,: 四边形ADCE是平行四边形,则此时四边形ADCE为菱形,符合题意; B、若ZDAE=90°,则四边形ADCE是矩形,不符合题意; C、若AB=AC,则NADC=90。 ,则四边形ADCE是矩形,不符合题意; D、若AB=AE,而AB>AD,则AEWAD,无法判断四边形ADCE为菱形,不符合题意. 故答案为: A. 2.解: 如图,过点D作DE//AB交A0于点E, ・四边形ABCO是矩形 ・•・AB//OC•・,DE//AB ・・.AB//DE,DE//OC: .ZBAD=ZADE,ZDOC=ZODE ZBAD+ZDOCZBAD+ZDOCZBAD+ZDOC ZADOZADE+ZODEZBAD+ZDOC 故答案为: A. 3.A.•・•四边形ABCD是平行四边形 : .DC//AB : .ZFDO=ZEBO VO为BD的中点 : .DO=BO ZFDO=ZEBO 在△FDO与△EBO中{DO=BO ZDOF=NBOE : .△FDO仝△EBO(ASA) : .DF=BE 又•: DC//AB ••・四边形DEBF为平行四边形, 故A选项不符合题意; B.假设DE1AB VBD1AD,AB=10,AD=6 : .BD=VAB2-AD2=8 : ‘S"bd=如口XBD=ix6X8=24 DE=1詈=4.8 •DEIAB : .AE=VAD2-DE2=3.6 则当AE=3.6时,DE1AB •・•四边形DEBF为平行四边形 ••・四边形DEBF为矩形, 故B选项不符合题意; C.AE=5,AB=10 ・・・E是AB中点 VBD1AD : .DE=AE=BE 丁四边形DEBF为平行四边形 ,四边形DEBF为菱形, 故C选项不符合题意; D.当AE=4.8时与AE=3.6时矛盾,则DE不垂直于AB,则四边形DEBF不为矩形,则也不可能为正方形,故D选项符合题意,故答案为: D. 4.解: 如图,延长EF交CD于M,连接BM, •••四边形ABCD是正方形,AAB=BC,ZA=ZBCD=90", •••将4ABE沿直线BE对折得到4BEF,: .ZA=ZBFE=ZBFM=900,AB=BF=BC,在Rt△BFM与Rt△BCM中, BF=BC [BM=BM' •'RtABFMgRtABCM(HL),AMF=MC, : .ZMFC=ZMCF, VZMFC+ZDFM=90Q,ZMCF+ZFDM=90°,: .ZMFD=ZMDF, AMD=MF=MC, •・•正方形ABCD的边长为2, AMF=MC=DM=1, 设AE=EF=x, •DE2+DM2=EM2,即(2-x)2+12=(x+1)2. 解得: x=* ...EF= 故答案为: B. 5.解: 连接BP, 「菱形ABCD的周长为20,,AB=BC=20+4=5, 又•・•菱形ABCD的面积为24,,Sabc=24+2=12, 又SamFSasp+ScbpSabp+ScBP=129 : .-AB>PF+-BC>PE=12,22 VAB=BC, : .,AB・(PE+PF)=12 VAB=5, .\PE+PF=12X. 故答案为: B. 6.解: 当k=l时,DE=AE.不能证明aBAE义ZkCDE,,BErCE;故①错误; 当k=2时,DE=2AE, V四边形ABCD是平行四边形,AAD/7BC,AD=BC, 二ZED0=ZFB0, •••点0是BO的中点, AOB=OD, VZE0D=ZF0B, AAEOD^AFOB, ADE=BF, AAD-DE=BC-BF, AAE=CF, ABF=2CF, ••SaeFC=gS^BEC=§•四边形ABCD=gS因边形ABCD, ': Saboe=Sadoe=: Sabde> 4 : △ABE丝△FEC, AAE=FC, ADE=BF, VDE/7BF, ••・四边形DEBF是平行四边形, 不能证明DEBF是菱形, •••EF与BD无法证明互相垂直,故③错误; ••・正确的选项只有②; 故答案为: B. 7.解: VEN=1, ・•・由中位线定理得AM=2, 由折叠的性质可得卜M=2, VAD/7EF, AZAMB=ZAZNM, VZAMB=ZAZMB, : .NNNM=ZAZMB, ,A'N=2, ••・A'E=3fA'F=2 过M点作MGLEF于G, ANG=EN=1, ,A,G=l, 由勾股定理得MG=V22-12=y/3, ABE=DF=MG=M, AOF: BE=2: 3, 解得0F=? , .\0D=痣-更=在. 33 故答案为: B. 8.解: 如图,设OF=EF=FG=x, Bn A0E=0H=2x, 在RtaEOH中,EH=2V2x, 由题意EH=20cm A20=2v2x, Ax=5\[2, ,阴影部分的面积=(5x/2)2=50(cm2),故答案为: C. 9.解: 如图 •••四边形0AAB是正方形, /•OA=AAi=AiBi=1, ••S尸ox1X1=-, VZ0AAi=90°,.,.0Ai2=12+12=2,/•OA2=A2A3=2, •*-S2="x2X1=1, 同理可求: S3=: x2X2=2,S4=4-, •o—on-2—49 •o_92018••02020—49 故答案为: B. 10.解: 如图,过点M作MHLA,R于H,过点N作NJ_LA'W于J. 由题意是等腰直角三角形,EM=EN=2,MN=272,•四边形EMHK是矩形, AEK=A,K=MH=1,KH=EM=2,是等腰直角三角形, ARH=MH=1,RM=\2,同法可证NW=VE, 由题意AR=RA'=A'W=WD=4, AAD=AR+RM+MN+NW+DW=4+V2+2\/2+V2+4=8+4低,故答案为: D. 二、填空题 由题意可知,MN垂直平分AB, AAE=BE, 二NEBA=NA=45°,则NAEB=90°,在等腰直角三角形ABE中,AB=4, •\BE=AE=2阮, •・•四边形ABCD为菱形, AAD/7BC, AZEBC=ZAEB=90<>,在RtZkBCE中,由勾股定理,则CE=卜2+(2V2)2=2y/6;故答案为: 2痣. 12.解: •••四边形ABCD是正方形, AZACB=ZBAC=45°,AZ2+ZBCP=45°,VZ1=Z2,AZ1+ZBCP=45°,VZBPC=1800-Nl-NBCP,AZBPC=135°,故答案为: 135. 13.解: 连接AC,FC. 由翻折的性质可知,BE垂直平分线段CF, AFM±BE,AF.M,C共线,FM=MC, VAN=FN,AMN=gAC, •・•四边形ABCD是矩形,・・・NABC=90", AAC=\/AB2+BC2=762+82=10(cm),AMN=7AC=5(cm),故答案为5. 14.解: 如图,连接DH,HM. 由题可得,AM=BE, AAB=EM=AD, •••四边形ABCD是正方形,EH1AC, AEM=AD,ZAHE=90°,ZMEH=ZDAH=45°=ZEAH, AEH=AH, AAMEH^ADAH(SAS),.\ZMHE=ZDHA,MH=DH, •••NMHD=NAHE=90。 ,ZkDHM是等腰直角三角形,;.DM=瓜HM,故②符合题意; 当NDHC=60°时,ZADH=60°-45°=15°, AZADM=45°-15°=30°, ARtAADMDM=2AM, 即DM=2BE,故①符合题意; VCD/7EM,EC/7DM, A四边形CEMD是平行四边形, VDM>AD,AD=CD, ADM>CD, ••・四边形CEMD不可能是菱形,故③符合题意, • 且AMVAB, ・•点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合), •••NAHMVNBAC=45。 , AZCHM>135°,故④符合题意; 由上可得符合题意结论的序号为故答案为: 15.如图,过点A作AH1.DF的延长线于点H, •••在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点0, ,。 为AC中点 •・・F点是AE中点, ...0F是aACE的中位线, ACE=20F=6 ;・G点是AD的中点, •••FG是aADE的中位线, AGF=7DE=1 4 ,CD=CE-DE=4, AAD=CD=4 在RtZ^ADE中,AD=4,DE=2 -AE=V42+2Z=2V5 ADF=AE=V54 ASaafd=: ad•gf=”d•ah 即;X4X1=;XV5XAH ・・.AH=迪s 工点A到DF的距离为空, 故答案为: 竺. 16.解: 如图,连接AC交BD于0, 二菱形ABCD的边长是4,ZABC=60°, AAB=BC=4,ZABD=30°,AC±BD,B0=D0,AO=CO, VEG//BC,FG〃AB, ••・四边形BEGF是平行四边形, 又•;BE=BF, ,四边形BEGF是菱形, AZABG=30°, 工点B,点G,点D三点共线, VAC1BD,ZABD=30c, ;・A0=;AB=2,B0=VAB2-AO2=<42-22=2\3, **•BD=4,49 同理可求BG=V3BE,即BE二兽, 若AD=DG'=4时, ABG^BD-DG^473-4, •4雷-4彳"I ••BE=——=4; 、33 若AG''=G''D时,过点G''作G''H_LAD于H, AAH=HD=2, •ZADB=30°,G^HIAD, ,DG''=2HG'', ••21.2—.2 •HD+HG”—DGn, 解得: HG’'=—,DG,,=2HGrl=—,33 ABG<,=BD-DGrr=473--=—,33 ABE"=g, 综上所述: BE为l或4一#. 17.解: 如图,取AD的中点M,连接GM,英长MG交BC的延长线于J,在AB上截取AN,使得AN=AF,连接FN.作点C关于GJ的对卷点K,连接GK,BK. 丁四边形ABCD是正方形. AAD=AB, VAM=MD.AE=EB, AAM=AE, VAF=AN, AFM=NEf VZA=ZGFE=90°, AZAFE+ZAEF=90°,ZAFE+ZGFM=9O0,ZANF=ZAFN=45°,: .ZGFM=ZFEN, VFG=FE, .-.△FGM^AEFN(SAS), : .ZGMF=ZENF, VZANF=ZAFN=45°,AZGMF=ZFNE=135°, AZDMG=45°, 设MJ交CD于R, VZD=ZJCR=90°, AZDMR=ZDRM=ZCRJ=ZCJR=45°,ADM=DR=CR=CJ=3, VC,K关于MJ对称, AKJ=CJ=2,ZMJK=ZMJC=45Q,GC=GK,AZKJB=90°, ABK=‘KJ? +BJ2=J32+(3+6)2=3\/10, VGC+GB=GK+GB^BK, AGC+GB>3\/10, ,GC+GB的最小值为3v’而, 故答案为: 3a6. 18.解: 如图,连接BE,BD, 丁四边形ABCD为菱形,ZA=60°,,AB=3=BC=CD,ZA=60°=NC, •••△BCD是等边三角形, IE是CD中点, ,DE=I=CE,BEJ_CD,ZEBC=30°, ABC=2CE=3 BE=\,BC2—CE2=, VCD/7AB, ,NABE=NCEB=90°,由折叠可得AF=EF,vef2=be2+bf2, •屈=? +(3-EF)2,4 •・.EF=: , 故答案为: v- 三、解答题 19.(D证明: •・•四边形ABCD是平行四边形,AEB=ED,AB〃CD, AZEBP=ZEDQ, 在4PBE和aODE中, ZEBP=ZEDQ {EB=ED, ZBEP=ZDEQ AAPBE^AQDE(ASA); (2)证明: 如图所示: S VAPBE^AQDE, ,EP=EQ, 同理: △BMEgADNE(ASA), AEM=EN, .•・四边形PMQN是平行四边形, VPQ1MN, ••・四边形PMQN是菱形. 20.(D证明: •・•四边形ABCD是矩形,,AB=CD,AB〃CD,ZA=90°,VAE=EB,DF=FC, AAE=DF,AE〃DF, ・•・四边形AEFD是平行四边形,VZA=90°, ,四边形AEFD是矩形. (2)解: 如图2中,连接PM.BNL 丁四边形AEFD是矩形,AEF//AD, VBE=AE,AB0=0P,由翻折可知,NPMB=NA=90°,A0M=0B=0P. 21. (1)证明: •••正方形ABCD,AAB=AD,ZBAF+ZDAE=90°,VDEXAG, AZDAE+ZADE=90°, AZADE=ZBAF, 又;BF//DE, AZBFA=90°二NAED, AAABF^ADAE(AAS), AAF=DE,AE=BF, : .AF-BF=AF-AE=EF; (2)不可能,理由是: 如图,若要四边形BFDE是平行四边形, 巳知DE〃BF,贝1J当DE=BF时,四边形BFDE为平行四边形,VDE=AF, /.BF=AF,即此时NBAF=45°,而点G不与B和C重合, ♦••NBAFW45。 ,矛盾, 二四边形BFDE不能是平行四边形. 22. (1)解: : 正方形ABCD和长方形AEFG周长相等,: .4m=2x+2y,即x+y=2m; (2)解: : HC=m-y,HF=x-m=2m-y-m=m-y, : .HC=HF; (3)解: •.•四边形DHFG为正方形, : .DH=HF,即y=m-y, 解得y=£, 3
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