第四章 451 函数的零点与方程的解.docx

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第四章451函数的零点与方程的解

§4.5　函数的应用

（二）

4．5.1　函数的零点与方程的解

学习目标

　1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．

知识点一　函数的零点

1．概念：

对于一般函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．

2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：

思考　函数的零点是函数与x轴的交点吗？

答案　不是．函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．

知识点二　函数零点存在定理

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解．

思考1　函数零点存在定理的条件有哪些？

答案　定理要求具备两条：

①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f（a）·f（b）<0.

思考2　在函数零点存在定理中，若f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在（a，b）内存在零点．则满足什么条件时f（x）在（a，b）上有唯一零点？

答案　满足f（x）在（a，b）内连续且单调，且f（a）·f（b）<0.

1．函数f（x）＝3x－2的零点为

.（　√　）

2．若f（a）·f（b）>0，则f（x）在[a，b]内无零点．（　×　）

3．若f（x）在[a，b]上为单调函数，且f（a）·f（b）<0，则f（x）在（a，b）内有且只有一个零点．（　√　）

4．若f（x）在（a，b）内有且只有一个零点，则f（a）·f（b）<0.（　×　）

5．若函数f（x）满足f（a）·f（b）<0，则函数在区间[a，b]上至少有一个零点．（　×　）

一、求函数的零点

例1　

（1）求函数f（x）＝

的零点；

（2）已知函数f（x）＝ax－b（a≠0）的零点为3，求函数g（x）＝bx2＋ax的零点．

解　

（1）当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3（x＝1舍）；

当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2.

所以函数f（x）＝

的零点为－3和e2.

（2）由已知得f（3）＝0即3a－b＝0，即b＝3a.

故g（x）＝3ax2＋ax＝ax（3x＋1）．

令g（x）＝0，即ax（3x＋1）＝0，解得x＝0或x＝－

.

所以函数g（x）的零点为0和－

.

反思感悟　探究函数零点的两种求法

（1）代数法：

求方程f（x）＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．

（2）几何法：

与函数y＝f（x）的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．

跟踪训练1　求下列函数的零点：

（1）f（x）＝（lgx）2－lgx；

（2）f（x）＝x3－2x2－x＋2.

解　

（1）令（lgx）2－lgx＝0，则lgx（lgx－1）＝0，

∴lgx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10，

因此函数f（x）的零点是1,10.

（2）令x3－2x2－x＋2＝0，

得x2（x－2）－（x－2）＝（x－2）（x2－1）

＝（x－2）（x＋1）（x－1）＝0，

解得x＝－1或x＝1或x＝2，

∴函数f（x）有3个零点，分别为－1,1,2.

二、零点的个数问题

例2　判断下列函数零点的个数．

（1）f（x）＝x2－

x＋

；

（2）f（x）＝lnx＋x2－3.

解　

（1）由f（x）＝0，即x2－

x＋

＝0，

得Δ＝

2－4×

＝－

<0，

所以方程x2－

x＋

＝0没有实数根，

即f（x）零点的个数为0.

（2）方法一　函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，

所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．

在同一直角坐标系下，作出两函数的图象（如图）．

由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点．

从而方程lnx＋x2－3＝0有一个根，

即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点．

方法二　由于f

（1）＝ln1＋12－3＝－2<0，

f

（2）＝ln2＋22－3＝ln2＋1>0，

所以f

（1）·f

（2）<0，

又f（x）＝lnx＋x2－3的图象在（1,2）上是连续的，

所以f（x）在（1,2）上必有一个零点，

又f（x）在（0，＋∞）上是递增的，所以零点只有一个．

反思感悟　判断函数零点个数的四种常用方法

（1）利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．

（2）画出函数y＝f（x）的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．

（3）结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f（x）在（a，b）上零点的个数．

（4）转化成两个函数图象的交点个数问题．

跟踪训练2　已知函数f（x）＝

和函数g（x）＝log2x，则函数h（x）＝f（x）－g（x）的零点个数是________．

答案　3

解析　作出g（x）与f（x）的图象如图，

由图知f（x）与g（x）的图象有3个交点，即h（x）有3个零点．

三、判断零点所在的区间

例3　

（1）f（x）＝ex＋x－2的零点所在的区间是（　　）

A．（－2，－1）B．（－1,0）

C．（0,1）D．（1,2）

答案　C

解析　方法一　∵f（0）＝－1<0，f

（1）＝e－1>0，f（x）为R上的连续函数，

∴f（x）在（0,1）内有零点．

方法二　ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，

∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．

如图，

由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为（0,1）．

（2）由表格中的数据，可以断定方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是（　　）

x

0

1

2

3

4

ex

1

2.72

7.39

20.09

54.60

3x＋2

2

5

8

11

14

A.（0,1）B．（1,2）C．（2,3）D．（3,4）

答案　C

解析　设f（x）＝ex－3x－2，f（x）为R上的连续函数，由题表知，f（0），f

（1），f

（2）均为负值，f（3），f（4）均为正值，因此方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间为（2,3）．

反思感悟　确定函数f（x）零点所在区间的常用方法

（1）解方程法：

当对应方程f（x）＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．

（2）利用函数零点存在定理：

首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）<0.若f（a）·f（b）<0，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点．

（3）数形结合法：

通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

跟踪训练3　若方程xlg（x＋2）＝1的实根在区间（k，k＋1）（k∈Z）上，则k等于（　　）

A．－2B．1

C．－2或1D．0

答案　C

解析　由题意知，x≠0，则原方程即为lg（x＋2）＝

，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg（x＋2）与y＝

的图象，如图所示，

由图象可知，原方程有两个根，一个在区间（－2，－1）上，一个在区间（1,2）上

，

所以k＝－2或k＝1.

根据零点情况求参数范围

典例　函数f（x）＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．

解　由f（x）＝0得a－1＝2|x|－x2，

因为函数f（x）＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，

所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，

画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，

观察图象可知，0

[素养提升]　函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，也可转化成两函数交点的横坐标，这样就建立了数与形的联系，利用函数图象描述问题，充分体现直观想象的数学核心素养．

1．函数f（x）＝log2x的零点是（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　A

解析　令f（x）＝log2x＝0，解得x＝1.

2．函数f（x）＝2x－

的零点所在的区间是（　　）

A．（1，＋∞）B.

C.

D.

答案　B

解析　易知f（x）在（0，＋∞）上单调递增．

由f（x）＝2x－

，得f 

＝

－2<0，

f

（1）＝2－1＝1>0，∴f 

·f

（1）<0.

∴零点所在区间为

.

3．对于函数f（x），若f（－1）·f（3）<0，则（　　）

A．方程f（x）＝0一定有一实数解

B．方程f（x）＝0一定无实数解

C．方程f（x）＝0一定有两实根

D．方程f（x）＝0可能无实数解

答案　D

解析　∵函数f（x）的图象在（－1,3）上未必连续，故尽管f（－1）·f（3）<0，但方程f（x）＝0在（－1,3）上可能无实数解．

4．函数f（x）＝（x－1）（x2＋3x－10）的零点有________个．

答案　3

解析　∵f（x）＝（x－1）（x2＋3x－10）

＝（x－1）（x＋5）（x－2），

∴由f（x）＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.

5．若

是函数f（x）＝2x2－ax＋3的一个零点，则f（x）的另一个零点是________．

答案　1

解析　由f 

＝2×

－

a＋3＝0得a＝5，

则f（x）＝2x2－5x＋3.

令f（x）＝0，即2x2－5x＋3＝0，

解得x1＝

，x2＝1，所以f（x）的另一个零点是1.

1．知识清单：

（1）函数的零点定义．

（2）函数零点存在定理．

2．方法归纳：

转化法、数形结合法．

3．常见误区：

（1）忽视函数零点存在定理的应用条件．

（2）不能把函数、方程问题相互灵活转化．

1．下列函数不存在零点的是（　　）

A．y＝x－

B．y＝

C．y＝logax2（a>0且a≠1）

D．y＝

答案　D

解析　令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；

B中函数的零点为－

和1；

只有D中函数无零点．

2．函数f（x）＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间（　　）

A．（5,6）B．（3,4）C．（2,3）D．（1,2）

答案　B

解析　f（3）＝log33－8＋2×3＝－1<0，

f（4）＝log34－8＋2×4＝log34>0.

又因为f（x）在（0，＋∞）上为增函数，

所以其零点一定位于区间（3,4）．

3．已知f（x）为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于（　　）

A．0B．1C．－1D．不能确定

答案　A

解析　因为奇函数的图象关于原点对称，

所以若f（x）有三个零点，则其和必为0.

4．已知函数f（x）＝

则函数f（x）的零点为（　　）

A.

，0B．－2,0

C.

D．0

答案　D

解析　当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.

当x>1时，令1＋log2x＝0，得x＝

（舍）．

综上所述，函数f（x）的零点为0.

5．方程x＋log3x＝3的解为x0，若x0∈（n，n＋1），n∈N，则n等于（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　C

解析　设f（x）＝x＋log3x－3，

则f

（1）＝1＋log31－3＝－2<0，

f

（2）＝2＋log32－3＝log32－1<0，

f（3）＝3＋log33－3＝1>0，

又易知f（x）为单调增函数，

所以方程x＋log3x＝3的解在（2,3）内，因此n＝2.

6．已知函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是________．

答案　－

，－

解析　由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，

∴

即a＝5，b＝－6，

∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－

，－

，

即为函数g（x）的零点．

7．函数f（x）＝x2－2x在R上的零点个数是________．

答案　3

解析　函数f（x）＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数．如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象．

由图象可知有3个交点，即f（x）＝x2－2x有3个零点．

8．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________．

答案　0

解析　∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，

∴Δ＝－3b2<0，∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根．

∴函数f（x）＝ax2＋bx＋c无零点．

9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点．

（1）f（x）＝－x2＋2x－1；

（2）f（x）＝x4－x2；

（3）f（x）＝4x＋5；（4）f（x）＝log3（x＋1）．

解　

（1）令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，

所以函数f（x）＝－x2＋2x－1的零点为1.

（2）令f（x）＝x2（x－1）（x＋1）＝0，

解得x＝0或x＝1或x＝－1，

故函数f（x）＝x4－x2的零点为0，－1和1.

（3）令4x＋5＝0，则4x＝－5，

因为4x>0，－5<0，所以方程4x＋5＝0无实数解．

所以函数f（x）＝4x＋5不存在零点．

（4）令log3（x＋1）＝0，解得x＝0，

所以函数f（x）＝log3（x＋1）的零点为0.

10．已知函数f（x）＝2a·4x－2x－1.

（1）当a＝1时，求函数f（x）的零点；

（2）若f（x）有零点，求a的取值范围．

解　

（1）当a＝1时，f（x）＝2·4x－2x－1.

令f（x）＝0，即2·（2x）2－2x－1＝0，

解得2x＝1或2x＝－

（舍去）．

∴x＝0，∴函数f（x）的零点为0.

（2）若f（x）有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解，

于是2a＝

＝

x＋

x，

令

x＝t，则g（t）＝t＋t2＝

2－

.

∵t>0，

∴g（t）在（0，＋∞）上单调递增，其值域为（0，＋∞），

∴2a>0，即a的取值范围是（0，＋∞）．

11．若函数y＝

|x－1|＋m有零点，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1]B．[－1，＋∞）

C．[－1,0）D．（0，＋∞）

答案　C

解析　因为函数y＝

|x－1|＋m有零点，

所以方程

|x－1|＋m＝0有解，

即方程

|x－1|＝－m有解，

因为|x－1|≥0，

所以0<

|x－1|≤1，即0<－m≤1，

因此－1≤m<0.

12．函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若f

（1）>0，f

（2）<0，则f（x）在（1,2）上零点的个数为（　　）

A．至多有一个B．有两个

C．有且仅有一个D．一个也没有

答案　C

解析　若a＝0，则f（x）＝bx＋c是一次函数，

由f

（1）·f

（2）<0得零点只有一个；

若a≠0，则f（x）＝ax2＋bx＋c为二次函数，

若f（x）在（1,2）上有两个零点，

则必有f

（1）·f

（2）>0，与已知矛盾．

若f（x）在（1,2）上没有零点，

则必有f

（1）·f

（2）≥0，与已知矛盾．

故f（x）在（1,2）上有且仅有一个零点．

13．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．

答案　（0,4）

解析　由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，

作出函数y＝|x2－4x|的图象，

则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0

14．已知函数f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．

答案　a

解析　画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，

观察图象可知，函数f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a

15．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f（x）－g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）＝x2－3x＋4与g（x）＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是（　　）

A.

B．[－1,0]

C．（－∞，－2]D.

答案　A

解析　由题意可得函数y＝f（x）－g（x）＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点，函数图象的对称轴为直线x＝

，

所以函数的最小值为－

－m.

当x＝0时，y＝4－m，当x＝3时，y＝－2－m<4－m，

所以－

－m<0≤－2－m，

解得－

16．已知函数f（x）＝－3x2＋2x－m＋1.

（1）当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；

（2）若函数恰有一个零点在原点处，求m的值；

（3）若f（x）＝0有两个根，且一个根大于2，一个根小于2，求实数m的取值范围．

解　

（1）函数有两个零点，

则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，

易知Δ>0，即4＋12（1－m）>0，可解得m<

.

由Δ＝0，可解得m＝

；由Δ<0，可解得m>

.

故当m<

时，函数有两个零点；

当m＝

时，函数有一个零点；

当m>

时，函数无零点．

（2）由题意知0是对应方程的根，

故有1－m＝0，可解得m＝1.

（3）由题意可得f

（2）>0，即－7－m>0，则m<－7.

故实数m的取值范围为（－∞，－7）．