不等式高级水平必备.docx
- 文档编号:9311994
- 上传时间:2023-02-04
- 格式:DOCX
- 页数:87
- 大小:72.07KB
不等式高级水平必备.docx
《不等式高级水平必备.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《不等式高级水平必备.docx(87页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
不等式高级水平必备
不等式高级水平必备
Ch1.伯努利不等式Ch2.均值不等式Ch3.幂均不等式Ch4.柯西不等式Ch5.切比雪夫不等式Ch6.排序不等式Ch7.琴生不等式
Ch8.波波维奇亚不等式Ch9.加权不等式
Ch10.赫尔德不等式Ch11.闵可夫斯基不等式Ch12.牛顿不等式
Ch13.麦克劳林不等式Ch14.定义多项式Ch15.舒尔不等式Ch16.定义序列
Ch17.缪尔海德不等式Ch18.卡拉玛塔不等式Ch19.单调函数不等式Ch20.3个对称变量pqr法Ch21.3个对称变量uvw法Ch22.ABC法
Ch23.SOS法
Ch24.SMV法
Ch25.拉格朗日乘数法Ch26.三角不等式Ch27.习题与习题解析
Ch1.伯努利不等式
1.1若实数xi(i1,2,...,n)各项符号相同,且xi1,则:
(1x1)(1x2)...(1xn)1x1x2...xn
(1)式为伯努利不等式.
(1)
12n
当xx...xx时,
(1)式变为:
(1x)n1nx
Ch2.均值不等式
2.1若a1,a2,...,an为正实数,记:
(2)
12n
n
a2a2...a2
⑴Qn
,为平方平均数,简称平方均值;
⑵An
a1a2...an,为算术平均数,简称算术均值;
n
na1a2...an
⑶Gn
,为几何平均数,简称几何均值;
⑷Hn
11
a1a2
n
...1
an
,为调和平均数,简称调和均值.
则:
QnAnGnHn
(3)
iff
a1a2...an时,等号成立.(注:
iff
ifandonlyif当且仅当.)
(3)式称为均值不等式.Ch3.幂均不等式
3.1设a(a1,a2,...,an)为正实数序列,实数r0,则记:
1
arar...arr
r
M(a)12n
(4)
n
(4)式的Mr(a)称为幂平均函数.
3.2若a(a1,a2,...,an)为正实数序列,且实数r0,则:
Mr(a)Ms(a)
(5)
当rs时,(5)式对任何r都成立,即Mr(a)关于r是单调递增函数.
(5)式称为幂平均不等式,简称幂均不等式.
3.3设m(m1,m2,...,mn)为非负实数序列,且m1m2...mn1,若a(a1,a2,...,an)为正
实数序列,且实数r0,则:
1
r1122nn
Mm(a)(marmar...mar)r
(6)式称为加权幂平均函数.
(6)
3.4若a(a,a,...,a)为正实数序列,且实数r0,对Mm(a)则:
Mm(a)Mm(a)
12nrrs
11
1122nn1122nn
即:
(marmar...mar)r(masmas...mas)s
(7)
)
r
当rs时,(7)式对任何r都成立,即Mm(a)关于r是单调递增函数.
(7))式称为加权幂平均不等式,简称加权幂均不等式.
Ch4.柯西不等式
4.1若a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn均为实数,则:
(a2a2...a2)(b2b2...b2)(abab...ab)2
(8)
12n12n1122nn
iff
a1a2
...an时,等号成立.(注:
iff
ifandonlyif当且仅当.)
b1b2bn
(8)式为柯西不等式.
4.2柯西不等式还可以表示为:
a2a2...a2b2b2...b2abab...ab
(12n)(12n)(1122nn)2
nnn
简称:
“平方均值两乘积,大于积均值平方”
(9)
a1b1a2b2...anbnn
我们将a1b1a2b2...anbn简称为积均值,记:
D.
n
Qn(a)Qn(b)
nnn
则:
[Q(a)]2[Q(b)]2[D(ab)]4,即:
4.3推论1:
若a,b,c,x,y,z为实数,x,y,z0,则:
n
Dn(ab)
(10)
a2a2
a2(aa
...a)2
12...n12n
(11)
b1b2bnb1b2...bn
iff
a1a2
...an时,等号成立.
b1b2bn
(11)
(aa...a)2(bb...b)2
12
n
12
n
式是柯西不等式的推论,称权方和不等式.4.4推论2:
若a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn均为实数,则:
iff
a2b2
11
a2b2
22
a1a2
...
a2b2
nn
...an时,等号成立.
(12)
b1b2bn
4.5推论3:
若a,b,c,x,y,z为正实数,则:
3(abbcca)
x(bc)y(ca)z(ab)
(13)
yzzxxy
Ch5.切比雪夫不等式
5.1若a1a2...an;b1b2...bn,且均为实数.则:
(a1a2...an)(b1b2...bn)n(a1b1a2b2...anbn)
(14)
iff
a1a2...an或b1b2...bn时,等号成立.
(12)式为切比雪夫不等式.
由于有a1a2...an,b1b2...bn条件,即序列同调,
所以使用时,常采用WLOG
a1a2...an……
(注:
WLOGWithoutLossOfGenerality不失一般性)
5.2切比雪夫不等式常常表示为:
(a1a2...an)(b1b2...bn)(a1b1a2b2...anbn)
nnn
简称:
“切比雪夫同调数,均值积小积均值”.
(15)
nnn
即:
对切比雪夫不等式采用同单调性的两个序列表示时,两个序列数的均值之积不大于两个序列数各积之均值.则:
A(a)A(b)[D(ab)]2
An(a)An(b)
即:
Ch6.排序不等式
Dn(ab)
(16)
6.1若a1a2...an;b1b2...bn为实数,对于(a1,a2,...,an)的任何轮换(x1,x2,...,xn),都有下列不等式:
a1b1a2b2...anbnx1b1x2b2...xnbnanb1an1b2...a1bn
(17)式称排序不等式(也称重排不等式).
正序和乱序和反序和
其中,a1b1a2b2...anbn称正序和,anb1an1b2...a1bn称反序和,x1b1x2b2...xnbn称乱序和.故(17)式可记为:
(18)
6.2推论:
若a1,a2,...,an为实数,设(x1,x2,...,xn)为(a1,a2,...,an)的一个排序,则:
(17)
12n1122nn
a2a2...a2axax...ax
Ch7.琴生不等式
(19)
7.1定义凸函数:
对一切x,y[a,b],(0,1),若函数f:
[a,b]R是向下凸函数,则:
f(x
(1)y)
f(x)
(1)f(y)
(20)
(20)式是向下凸函数的定义式.
注:
f:
[a,b]R表示区间[a,b]和函数f(x)在[a,b]区间都是实数.
7.2若f:
(a,b)R对任意x(a,b),存在二次导数f''(x)0,则f(x)在(a,b)区间为向下凸函数;iffx(a,b)时,若f''(x)0,则f(x)在(a,b)区间为严格向下凸函数.
7.3若f1,f2,...,fn在(a,b)区间为向下凸函数,则函数c1f1c2f2...cnfn在在(a,b)区间对
任何c1,c2,...,cn(0,)也是向下凸函数.
7.4若f:
(a,b)R是一个在(a,b)区间的向下凸函数,设nN,1,2,...,n(0,1)为实
数,且12...n1,则对任何x1,x2,...,xn(a,b),有:
f(1x12x2...nxn)1f(x1)2f(x2)...nf(xn)
(21)式就是加权的琴生不等式.
简称:
“对于向下凸函数,均值的函数值不大于函数的均值”.
Ch8.波波维奇亚不等式
(21)
8.1若f:
[a,b]R是一个在[a,b]区间的向下凸函数,则对一切x,y,z[a,b],有:
f(xyz)
f(x)
f(y)
f(z)2[f(xy)
f(yz)
f(zx)]
(22)
333222
(22)式就是波波维奇亚不等式.
8.2波波维奇亚不等式可以写成:
f(xyz)f(x)f(y)f(z)f(xy)f(yz)f(zx)
33222
23
(23)
简称:
“对于向下凸函数的三点情况,三点均值的函数与函数的均值之平均值,不小于两点均值的函数值之平均值”.
8.3若f:
[a,b]R是一个在[a,b]区间的向下凸函数,a1,a2,...,an[a,b],则:
f(a1)
f(a2)...
f(an)n(n2)f(a)(n1)[f(b1)
f(b2)...
f(bn)]
(24)
其中:
aa1a2...an,b1a
(对所有的i)
nin1
j
ij
(24)式是普遍的波波维奇亚不等式.
当ax,a
y,a
z,n3时,axyz,b
yz,b
zx,b
xy
123
3122232
代入(23)式得:
f(x)
f(y)
f(z)3f(xyz)2[f(yz)f(zx)f(xy)]
3222
即:
f(xyz)
f(x)
f(y)
f(z)2[f(xy)
f(yz)
f(zx)]
(25)
333222
(25)式正是(22)式.Ch9.加权不等式
9.1若ai(0,),i[0,1](i1,2,...,n),且12...n1,则:
12n1122nn
a1a2...anaa...a
(26)
(26)式就是加权的均值不等式,简称加权不等式.
(26)式形式直接理解为:
几何均值不大于算术均值.
Ch10.赫尔德不等式
11apbq
10.1若实数a,b0,实数p,q1且1,则:
ab
(27)
pqpq
iffapbq时,等号成立.
(27))式称为杨氏不等式.
10.2若a,a,...a
和b,b,...b为正实数,p,q1且111,则:
12n
12npq
11
abab...ab(apap...ap)p(bqbq...bq)q
(28)
1122nn12n12n
(28)式称为赫尔德不等式.
apapap
iff
12...n时,等号成立.
bqbqbq
12n
10.3赫尔德不等式还可以写成:
abab...abapap...ap1bqbq...bq1
1122nn(12n)p(12n)q
nnn
(29)
即:
[D(ab)]2M
(a)
M
(b)
,即:
D(ab)
(30)
Mp(a)Mq(b)
npqn
简称:
“幂均值的几何均值不小于积均值”.
(注:
赫尔德与切比雪夫的不同点:
赫尔德要求是111,切比雪夫要求是同调;赫尔
pq
德的积均值小,切比雪夫的积均值大.)
10.4若a,a,...a
、b,b,...b
和m,m,...m为三个正实数序列,p,q1且111,则:
12n
12n
1
2npq
11
nn
ppnqq
aibimiai
mibimi
(31)
i1
i1
i1
(31)式称为加权赫尔德不等式.
apapap
iff
12...n时,等号成立.
bqbqbq
12n
10.5若aij(i1,2,...,m;j1,2,...,n),1,2,...,n为正实数且12...n1,则:
mnnm
ijij
(aj)(a)j
(32)
i1j1j1i1
(32)式称为普遍的赫尔德不等式.
10.6推论:
若a,a,a
N,b,b,b
N,c,c,c
N,则:
123
123
123
(a3a3a3)(b3b3b3)(c3c3c3)(abcabcabc)3
(33)
123123123111222333
简称:
“立方和的乘积不小于乘积和的立方”.
Ch11.闵可夫斯基不等式
11.1若a1,a2,...,an;b1,b2,...,bn为正实数,且p1,则:
n1n
1n1
iiii
((ab)p)p(ap)p(bp)p
(34)
i1i1i1
iff
a1a2
...an时,等号成立.
b1b2bn
(34)式称为第一闵可夫斯基不等式.
11.2若a1,a2,...,an;b1,b2,...,bn为正实数,且p1,则:
nn
1
pn1
iiii
(a)p(b)p(apbp)p
(35)
i1i1i1
iff
a1a2
...an时,等号成立.
b1b2bn
(35)式称为第二闵可夫斯基不等式.
11.3若a1,a2,...,an;b1,b2,...,bn;m1,m2,...,mn为三个正实数序列,且p1,则:
n1n
1n1
iiiiiii
((ab)pm)p(apm)p(bpm)p
(36)
i1i1i1
iff
a1a2
...an时,等号成立.
b1b2bn
(36)式称为第三闵可夫斯基不等式.
Ch12.牛顿不等式
12.1若a1,a2,...,an为任意实数,考虑多项式:
12n01n1n
P(x)(xa)(xa)...(xa)cxncxn1...cxc
的系数c0,c1,...,cn作为a1,a2,...,an的函数可表达为:
c01;
c1a1a2...an;
(37)
c2a1a2a1a3...an1anaiaj;(ijn)
c3aiajak;(i
……
cna1a2...an.
jkn)
对每个k1,2,...,n,我们定义pk
ckk!
(nk)!
c
C
n
kn!
k
(38)
则(37)式类似于二项式定理,系数为:
c
k
Cp
.
knk
12.2若a1,a2,...,an为正实数,则对每个k1,2,...,n1有:
ppp
2
k1k1k
(39)
iff
a1a2...ak时,等号成立.
(39)式称为牛顿不等式.Ch13.麦克劳林不等式
13.1若a1,a2,...,an为正实数,按(38)定义,则:
111
p1p22...pkk...pnn
(40)
iff
a1a2...ak时,等号成立.
(40)称麦克劳林不等式.Ch14.定义多项式
14.1若x1,x2,...,xn为正实数序列,并设1,2,...,n为任意实数.
记:
F(x,x,...,x)x1x2...xn;
12n12n
T[1,2,...,n]为F(x1,x2,...,xn)所有可能的积之和,遍及1,2,...,n的所有轮换.
14.2举例说明
⑴T[1,0,0]:
表示共有3个参数的所有积之和,共有3!
6项.第1个参数的指数是1,第2和第3个参数的指数是0.
故:
T[1,0,0](31)!
(x1y0z0y1x0z0z1y0x0)2(xyz).
⑵T[1,1]:
表示共有2个参数的所有积之和,共有2!
2项.第1个和第2个参数的指数是1.
故:
T[1,1](21)!
(x1y1)2xy.
⑶T[1,2]:
表示共有2个参数的所有积之和,共有2!
2项.第1个参数的指数是1,第2
个参数的指数是2.
故:
T[1,2](21)!
(x1y2y1x2)xy2x2y.
⑷T[1,2,1]:
表示共有3个参数的所有积之和,共有3!
6项.第1个参数的指数是1,第2个参数的指数是2,第3个参数的指数是1.
故:
T[1,2,1]2(xy2zx2yzxyz2).
即:
T[1,2,1]T[2,1,1]
⑸T[2,1,0]:
表示共有3个参数的所有积之和,共有3!
6项.第1个参数的指数是2,第2个参数的指数是1,第3个参数的指数是0.
故:
T[2,1,0]x2yx2zy2xy2zz2xz2y.
⑹T[3,0,0]:
表示共有3个参数的所有积之和,共有3!
6项.第1个参数的指数是3,第
2个和第3个参数的指数是0.
故:
T[3,0,0]2(x3y3z3).
⑺T[a,b,c]:
表示共有3个参数的所有积之和,共有3!
6项.第1个参数的指数是a,第
2个参数的指数是b,第3个参数的指数是c.
故:
T[a,b,c]xaybzcxayczbxbyczaxbyazcxcyazbxc
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 不等式 高级 水平 必备