工程数学线性代数课后答案详细答案真正同济第五版.docx
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工程数学线性代数课后答案详细答案真正同济第五版
习题解答
r利用对角线准则计算卞刿三肮行列式:
20
L
abc
(1)
1-4
-1
;
(2)
bca
■
t
-18:
3
cab
111
X
1丨
y工+
(3)
abc
1*
(4)
yx
+y乂
云b2c:
jc+y
工y
解
(1)原式=2x(-
-4)X3+0X(~1)x
(-D-blxixg
-lx(-4)x(-l)-2K(^l)X8^0xix3=-4;
(2)原式=acb+bac+cbac1_a1-fr3
~3abc-a3-b3—c31
(3)原式—l*fr*c2++11a*ta--l*c*A2-l*a*ea
=be1+co1+ab1~ba2—cb2—acl
—c2(ba}■卜ab(b~a)-c(b2-az)=(a—b)(b—c)(c-a):
(4)原式=十十十jO十(工+-(工十yF一工'*y'
=-2(x3+7).
2.按自然数从小到大为标准次序’求下列各排列的逆序数:
(1)1234;⑵4132;
(3)342I;(4)2413;
(5)13…(2«-1)24(2n);
(6)13(2n-1)(2n)(2n-2)***2.
解
(1)此排列为自然排列•其逆序数为S
(2)此排列的首位元素的逆序数为山第2位元素1的逆序数为X第3位元素3的逆序数为1*末位元素2的逆序数为乙故它的逆序数为0+1+1古2=4
(3)此排列的前两位元累的逆序数均为S第3位元素2的逆序数为2*末位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0+0+2+3=5;
(4)类似于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2,1,故它的逆序数为D+0+2+1=S;
(5)注意到这2川个数的排列中'前n位元累之间没有逆序对第打+1位元素2与它前面的n-I个数构成逆序对,故它的逆序数为«-X同理,第«+2借元素4的逆序数为旳-佥…;末位元素2»的逆序数为0,故此排列的逆序数
(6)与(5)相仿*此排列的前n+1位元素投有逆序对;第幵十2位元素(2n-2)的逆序数为2;第«+3位元素2牯-4与它前面的In-3T2n~1,2n»2n-2构成逆序对,故它的逆序为4;-;末位元素2的逆序数为2(«-1),故此排列的逆序数为2+4+-+2(H-l)=H(«-O,
3・写出四阶行列式中含有因子gm的项.
解由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元累.而它们又分别位于第2列和第4列,即a竝和“嗣或。
售和盘心注意到排列1324与1342的逆序数分别为1与2,故此行列式中含有刊w补的项^-aua2^au
4124
2141
1202
3-121
;
(2)
10520
1232
0117
5062
⑴
a
与4“。
口厲対A+2“
4.计算下列各行列式:
ab
ac
ae
bd
-cd
de
bf
⑶
(b
rO
1
b
-1
0
-1
0
0
1
d
1202
1202
4124
■qYr〕
0-72-4
10520
TOfi
0-152-20
0117
1"Hi
0117
■i#■-
1
2
0
2
1
2
0
2
0
1
1
7
n+Un
0
1
1-
7
■i
0
-15
2
-20
0
0
17
85
0
-7
2
-4
0
0
g
45
=0(因第3、4行成比例九
4
6
3
6
2
5
1
5
1
0
2
0
=0(因有两行相同):
01+(26
a
0
'!
■'
1+dba
0
1b
1
0
LP("1)(-1)3
—1c
1
0-1
c
1
il
•■«-
0-1
d
00
-1
d
1*血
aad
按门廉开*
1+^6
ad
-1
c1+cd
---(
-1)(-DS
-1
1+a/
0
-10
=(1+a6)(l+cd)+ad・
5.求解下列方程:
(1)2工+11=0;⑵22以2丸,其中―山
I71工+1xabc
I?
/b3c3
互不相等”
「卄110
解⑴左式:
:
(龙+3)2j+11
riv(x*3)
I1工+I
100!
a+3)2戈-ii
2z+1
•T■]]
之工+3).xl二&+3)(<-3).
I工+1
于是方程的解为山严-3,可二厲皿严-厲;
(2)注意到方程左式为4阶范德蒙徳行列式,由例12的结果得因ard,c互不相等,故方程的解为=atx2=Z?
j73=(:
.
aba1b2
a4bA
6.证明:
a*ai
hb£
2aa+
b2b
=
(<2~
■
I1
1
axby
ay+bz
az+
bx
ay+bz
azb
JC
ax卡
by
=3
az+bx
ax+by
ay+
bz
a2(a
+1)2
(a
+2)1
(
a
+3)》
b2(b
(b
+2)2
(
b
+3严
c2(c
+D1
a
+2尸
(
c
d2(d
{d
+2尸
(
d
十3尸
(1)
⑶
+63)
=0;
11
=(a-fe)(a-c)(a-d)(6-c)(6~J)(c-J)(a+i?
+c+d);
t)
0
(5)
=碍工"十心-1工
+-*k+a,x+fla.
«u
证
(1)左式
a2-It1
2(a*6)
0
ab—b2b2a*62b01
(«-6)2ab-b1
0
0
b2
2b
1
(a—/j)j=右式;
(2)将左式按第1列拆开得
axay+bzaz+bn
hyay+bzaz+bx
左式=
ayazbxa工十by
+
bzaz+bjcax+by
二aD|+bD工
azcljc+byay+
bxa^c+byay+bz
其中
.T
ay
+Ziz
az+bT
JC
ay十6z
Z|
+bx
q-如i
y
az
w+by
'":
a
y
az+bx
X
c3ta
ax
+by
ay+bz
ax+by
y
y忑
yay+bzazbx
yzaz+bx
zaz"卜bxax+by
.’b
zxflj+Z)y
Cl—fr
xaxbyuy+bz
xyay+bz
£y
yzjc
jcyz
乃f2
zxy
1打
yzx
巾I■门
xy上
\zxy
y
.V
于是
D=aD}
二右式"
2a+1
2a+5
(3)左式
2b4-I
2bI
26+5
2f+5
2d
2^+5
26+1
2c+\
=0(固有两列相同A
(4)左式=r3-ar!
ri-ari
c-fl
<(c*a)
oa
b(b*a)bl(b^~a2)r1(r1- 1 b 61{A+u)r2(c+£2)J3(c/+a) I11 0c~bd~b 0j> Fi,—+£1)T3 ...-._f-a)(c-a)(-a) -a) dl(dz~al) 1 jy y-d2tda)~bd{ba)=t/(ab+d}(d-b). 11 c(a+i4-c)d(a+b+d) 故…af 亦y =(c~++d)-c(a+£>+c)] =—/? )[(^—c)(a+b)+d2-c1] —(c-b)(db)(d~e)(a+Z? +f+^)f 因此,左式=(i^a)(c—a)(J*n)(r,~/>)(^—A)(J-c)(a+i+c+r/)=右式.证一递推法•按第1列展开,以彈立递惟公式, =xD.+(-l)1"+^a=zD-+a0.又*归纳基础为: D*=%(注癒不是于是 D„t]=工D.+金” =x(hD卄|+a|)+fla =jr2Dlt-l+ai^+a =^HDj+a^tx"++arr+ =a()+tt|x++"■+■ 证二按最后一行展开得 JI De=艺(—1严小勺 71 =斗= =a0+at3: +aTx? 4-+丘.-)工"°、+- 7.设n阶咅列式D"叙%人把D上下翻转、或逆时针旋转9叭或依副对角线翻转、依欧得 Dt=i;tD2=: J,Di=i: T S*■'5«n'**|盘訂…fin 证明D,=D3=(-1)"('*D=P* 证 (1)先计算口.为此通过交换行将0变换成6从而找出D与D的关系. D}的燧后一行是D的第I行,把它依次与前面的行交换,直至换到第1行,共竝行幫-1次交换卡这时最后一行是。 的第2行,把它依次与前面的行交换,直至换到第2行,共进行片-2次交换辛……,宜至最后一行是D的第卉-1行,再通过一次交换将它换到第甘一I行,这样就把D.变换成D,共进行 p1 ("-1}+(“-2〉十…十1=知1(打-1) 次交换’放D严(7)卜7口・ 注r上述交换行列式的行(列)的方法,在解题时,经當用到,它的特点悬在把盘垢一行换到某一行的同时,保持其余冲-i个行之间原有的先后次序(但行的序号可能改变)”2・同理把D左右翻转所得行列式为( (2〉计算D齐注意到D2的第1,2,行恰好依次是D的第“冲- 1列,故若把巧上下翻转得厲“则D.的第1,2,行依次尼D的第1,2*…小列,即乔】=£)「一于是由 (1) D,=(-1沪_1>D3=(-I)卜—门£f■(-』)討・7D. (3)计算D,注意到若把住逆时针躱转90■得方.则Ds的第1卫,…小列恰好JtD的第»,n-L-~a歹叭于是再把Dt左右翻转就得到D.由 (1)之注及⑵,有 注本例的结论值得记取+即对行列式D作转置、依副对第蝮制转、庇转180^得行列式不变;件上下翻转、左右翻转、逆(舰】时针艇转9(T所得行列武为(-小心%, &卄算下列各行列式 a1 (1)Dn=*,其中对甬线上元素都是s未写出的元素都是5 1◎ ⑵D.= 日 * : a…a 工…a •■ V■ a a…x 护(a-l)*小(a-j? )" (a-I)* ■'・•・(a-nV: 1 ⑶ »■« ■■B » ■ » aa1 …G~~M 11 …] 提示^利用范德蒙總行列式的结杲. •H ★其中未写岀的元素都是0; ⑸DwBdet(a4)f其中=I(->1; 1+%1…1 11十包…1 ⑹D严.”*,其中叭口八y.HO* t l! «4 1'1・"1十打” 0* *a 0 按幫一列 展开 (1)解一把0«,按第一行展开得 (一1厂小 解二 (2)本题中D„是教材例8中行列式的一般形式,它是一牛非常有用的行列 式■在且后各章中育不少应用. …J: +(M—1)« 解利用各列的元素之和相同.提取公因式*jr+(n-1)a —(x-a)"'1[x+(n—1)a]* (3)解把所给行列式上下翻转,即为范德蒙德行列式,若再将它左右翻转,由于上下翎转与左右翻转所用交换次数相等,故行列式经上下翻转再左右翻转(相当于转i£(r,参看题刀耳值不变•于是按范德蒙德行列式的结果,可得 11…1 na—jr+1 (a-w)*(<1-n+1}** (4)解本题与例II相仿,解法也大致相同,用递推法. r严6 D”: _= J叽! Qc,心\ AAB.----s.ta.--d= 0E4.7 即有递推公式 D和=(a„dm-bnc„)D2{-,d. 另一方面,归纳基础为D2= 利用这些结果,递推得 ■(ai^i-枷G)-口(松皿-btct). I (5)鹏 0 1 2… H-1 0 1 "“n—2算—[ 1 0 1… n一 : G»1 1 -1 ftA■■J -1 2 iii 1 ■ ■ 0… 曹■ n— ■ 3 1 * ■*d] ■ -1 ■ * ■ *'■ W * * • 71—1 n"2 n-3… 0 1 1 …1 -1 D.= n -2 0 2n-3w-1 -2-1 -2-I (6)解将原行列式化为上三角形行列式,为此,从第2行起’各行均减去第1行’得与例1.340仿的行列式 阶■FJI [+al1…1 一叭flj bl…1 0伽 *« *» "V i=2f■■■,n »« ■ill •V --i -a1■“an 0…aa ■1.: .i 其中“1+«(+6,*釦(1十訊)于是 °="讪噫》 3)-12 9.^D=]3,D的(f,j)元的代数余子式葩作A,求 201—1 1-53-3 AI】+3Ajj—2Am+2Au* 解与例巧相仿/囂十誓于用13-2’2替换D的第 3行对应元素所得行列式,即 =24* 10. 5xl+6j7a jj+5je;+6x3 用克拉默法则解下列方程组; j|+Xj+—51 0. j72十5xj+6工”=0h xI+2x2~+4i4=-2; (1>i” 2^|-3j}jtj-5j*=-2>3xi+j: 2+2j^.十1l.Ti=0; 2-3 -5 11 卩 i 1 1 0 1- -2 3 [° -5- •3 -7 1|o 亠2- ■1 8 \11 II-13 8 01 II'5 14 *2尸 00 -5 14 5)1 q 5 1 1 1 -22-1 4 3 3 0 5 亠2-3-J -5 3 -2 0 -4 01 2 11 口- 2rt -to -1 0 9 0 0 -13 8 3 35 按门 -27 23 -2 -2 -7 -12 -15 3 -10 9 5 -5 11 -2 3 -3 -1 8 23 -13 =-284; -31 -2-4 -22 33 -2 -2 0 -5 11 ra~2r(口-3r( -7 -47 -29 14 -27 0 32 23 0 I. _22 -10 7 9 1 5 1 0 -7 -2 0 -12 -3 0 75 -1 23 0 -13 33 0 -31 15 -1 8 1 1 5 1 3 -7 I 0 -7 「15 I1 -47S 01 -2914 3 8 =-4261 -7 11 1 1 5 1 1 1 5 1 2 -1 0 1 -2 -7 2 3 -3 □-3心 *5 -3 -12 1 2 0 Io 一2 -1 -15 D」= 1 0 0 0 1 1 0 0 一13 -5 5 -7 -47 「29 -13 T7 -5 -29 =142. 由克拉默法则•得 4 而 ⑵D= 5600 560 600 1560 临C,哄开 5 156 — 156 0156 015 015 0015 5 1 0 6 5 1 0 6 5 =5 5 1 6 5 6 1 0 5 =65j (*) 于是0=325-114=211; 6 0 由 5 D2= 0 0 05 01 0 6 5 1 6 0 6 0 0 5 6 5 5 6 5 0 6 0 0 1 0 6 5 1 0 0 6 5 1160 500 056 + 160 015 056 按门展开 =-19+180= 161; 61 50 10 01 0 0 6 5 =5-114=-109? 5 6 01 氐= 1 5 60 按"展开 0 1 50 0 0 t1 rti(* )式 ■1+65=64. 0 15 01 00 5+15 由克拉默法则,得 _Dt_151一D—]6i6_109_6_64 乃-万一.jtt比一廿丽吊=©■二~2n^<=_D=m' 11.问瓶护取何值时,齐欧线性方程组 S工]十+j3=o, “I+2/tr: +jc3=0 有非零解? 解由定理5'・此时方程组的系数行列式必须为山 故只宿当^=0^A=1时•方程组才可能有非零解.•当严=0,原方程组成为 fXi]+x2+jj—0T [工[+Xj—0t 显然X)=l1j: 3=t-Atjr3^-1是它的一牛非零解; 当A=lf原方程组成为 J)+xj+x30,[帀+fjUCj+-0, 旳十工灼+Xy=Qt蛊然“I=-l,jj=0^1=1是它的一个非零解一因此,当站=0或A=1时•方程组有非零解. 注定理賓或定理亍)仅表明齐氏线性方程组聲有非零解,它的系数行列 式必为零•至于这条件是否充分将在第三章中予以解抉•目前还是应验证它有非零解"下题也是同样1S形” 12问A取何值时,齐次线性方程组 f(1~A)jI-2孔+4j: 3=0, ■*2斗+-X)巧+Tj=0( +X: +(1-A>Jt3=0 有菲零解? 解若方程组有非零解,由定理5S它的系数行列式D=0. 1 1-A一2 23-A L1 1J 2 1-^|]-A 1I1-A 0172A-1 0-3+A4—.(1"A)z 3-A -A(A-2)(A-3). -2 1-A2^—1 +*■> 1-XA -3+A4-(1-A)! A**33A—A2 1-A 故D=0=>A=0或人=2或A=3t并且不难验证; 当人=0时’工产-2^2-11j: 3=1;当A=2H'}tjT]--2严=3*巧=1: 当人=3时口严-1.^=5,^=2均是该方程组的非零解.所H当A=0.2,3时方程组有非零解. 习题解答 〔5 7 oj 11J 1 3 1 (4)| 1 4 °) 0 — 1 2 -1 3 4/ 1 = 3 1 •4 0- -2」 S A13 aJ r ⑸(和T- 巧1 巧) flu 力 5 % ojj* Ij 4 3 1 7 i: 解 ⑴ 1 -2 3 2 5 7 0 Jx3 J j'j 3 (1) ⑵(1,2⑶ "k I.计算下列黑积: (4 6 3' 2 2 ;⑶. 1 k 3 (_L2)s ⑵
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