中考数学整式专题复习学案.docx
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中考数学整式专题复习学案
2017 年中考数学整式专题复习学案
2017 年中考数学专题练习 2《整式》
【知识归纳】
1.代数式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开
方)把 或表示 连接而成的式子叫做代数式.
2.代数式的值 用 代替代数式里的字母,按照代数式
里的运算关系,计算后所得的 叫做代数式的值整式
(1)单项式:
由数与字母的 组成的代数式叫做单
项式(单独一个数或 也是单项式).单项式中的 叫做这
个单项式的系数;单项式中的所有字母的 叫做这个单项
式的次数.
(2) 多项式:
几个单项式的 叫做多项式.在多项式中,
每个单项式叫做多项式的 ,其中 的 叫做这个多项式的次
数.不含字母的项叫做 .
(3) 整式:
与 统称整式同类项:
在一个多项式中,所
含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫做同类项. 合
并同类项的法则是幂的运算性质:
aman= ; (am)n= ;
am÷an= ; (ab)乘法公式:
(1) ;
(2)(a+b)(a-b)= ;
(3) (a+b)2= ;(4)(a-b)2=整式的除法
⑴ 单项式除以单项式的法则:
把 、 分别相除后,作
为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的
指数一起作为商的一个因式.
⑵ 多项式除以单项式的法则:
先把这个多项式的每
一项分别除以 ,再把所得的商 .因式分解:
就是把一个
多项式化为几个整式的 的形式.分解因式要进行到每一
个因式都不能再分解为止.因式分解的方法:
⑴ ,⑵ ,(3)
0. 提公因式法:
式法:
⑴ ⑵ ,⑶2. 十字相乘法:
.
13.因式分解的一般步骤:
一“提”( ),二“用”(
).
【基础检测】(2016 湖北武汉)下列计算中正确的
是( )
A.aa2=a2B.2aa=2a2C.(2a2)2=2a4D.
6a8÷3a2=2a4
2
2. (2016 吉林)计算(﹣a3) 结果正确的是( )
A.a5 B.﹣a5 C.﹣a6 D.a(2016 吉林)小红要购
买珠子串成一条手链,黑色珠子每个 a 元,白色珠子每个 b
元,要串成如图所示的手链,小红购买珠子应该花费(
)
43
A.(3a+4b)元 B.(4a+3b)元 C.(a+b)元 D.(a+b)
元(2016 辽宁丹东)下列计算结果正确的是( )
A.a8÷a4=a2B.a2a3=a6C.(a3)2=a6D.(﹣2a2)
3=8a6
5.(2016 四川泸州)计算 3a2﹣a2 的结果是( )
A.4a2B.3a2C.2a2D.(2016 黑龙江龙东)下列运
算中,计算正确的是( )
A.2a3a=6a B.(3a2)3=27a6
C.a4÷a2=2a D.(a+b)2=a2+ab+b2
7 (2016 江西)分解因式:
ax2﹣ay2= .
8.(2016 广西百色)观察下列各式的规律:
(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2
(a﹣b)(a2+ab+b2)=a3﹣b3
(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4﹣b4
…
=
可得到(a﹣b)(a2016+a2015b+…+ab2015+b2016)
.
9.(2016 贵州毕节)分解因式 3m4﹣48= .
10.(2016 海南)因式分解:
ax﹣ay= .
11.(2016 海南)某工厂去年的产值是 a 万元,今
+
年比去年增加 10%,今年的产值是 万元.(2016 河北)
若 mn=m+3,则 2mn+3m-5nm+10=_____.(2016 山东菏泽)
已知 4x=3y,求代数式(x﹣2y)2﹣(x﹣y)(x+y)﹣2y2
的值..(2016 山东济宁)先化简,再求值:
a(a﹣2b)(
a+b)2,其中 a=﹣1,b= .
【达标检测】
一、选择题
1.已知代数式 的值为 7,则 的值为 ( )
A. B. C.8 D.10
2.下列计算正确的是( )
A.b3b3=2b3 B.x2+x2=x4 C.(a2)3=a6 D.(ab3)
2=ab6
3.下列因式分解正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.多项式 因式分解的结果是( )
A. B.
C. D.
5.若单项式 与 的差是 ,则( ).
A.m≠9 B.n≠3 C.m=9 且 n=3 D.m≠9 且 n≠3
6.若 , ,则 的值是( )
A. B. C. D.
7.下列多项式相乘,结果为 的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
8.请写出一个只含字母 和 ,次数为 3,系数是负数
的单项式 .
9.已知:
单项式 与 的和是单项式,那么 .
10.若 2x=3,2y=5,则 2x+y= .
11.计算:
= ;
12.计算:
, = .
13.因式分解:
x2y﹣2xy2= .
14.分解因式:
a3b-2a2b2+ab3= .
15.已知 am=3 ,an=2 ,则 , .
16.若 x+y=3,xy=2,则(5x+2)―(3xy―5y)=
.
三、解答题化简:
18.(2016 浙江湖州)当 a=3,b=﹣1 时,求下列代数式
的值.
(1)(a+b)(a﹣b);
(2)a2+2ab+b2..请你说明:
当 n 为自然数时,(n+7
)2-(n-5)2 能被 24 整除.
20. (2016 重庆市 A 卷)(a+b)2﹣b(2a+b)
21. 计算:
(1)(2016 重庆市 B 卷)(x﹣y)2﹣(
x﹣2y)(x+y)
22.先化简,再求值:
(x+y)(x-y)-(4x3y-8xy3)
÷2xy,其中 x=-1, .
参考答案
【知识归纳答案】
1.数、数的字母
2.数值、结果
3.
(1)乘积、字母、数字因数、指数的和
(2)项、次数最高的项、次数、常数项.
(3) 、单项式与多项式、
4.字母、指数、把同类项中的系数相加减,字母部分
不变、 aman=am+n; (am)n=amn; am÷an=am-n;
(ab)n=anb
(1)ac+ad+bc+bd;
(2)(a+b)(a-b)=
a2-b2;
(3) (a+b)2=a2+2ab+b2;(4)(a-b)2=a2-
2ab+b2⑴系数、相同字母 ⑵单项式、相加.
8.乘积的
9.:
⑴提公因式法,⑵ 公式法,(3)十字相乘法.
10. m(a+b+c)⑴ (a+b)(a-b) ⑵ (a+b)2,⑶ (a-b)2.
12.:
(x+p)(x+q).
13.:
一“提”(取公因式),二“用”(公式).
【基础检测答案】(2016 湖北武汉)下列计算中正
确的是( )
A.aa2=a2B.2aa=2a2C.(2a2)2=2a4D.
6a8÷3a2=2a4
【考点】幂的运算
【答案】B
D
【解析】A. aa2=a3,此选项错误;B.2aa=2a2,
此选项正确;C.(2a2)2=4a4,此选项错误; .6a8÷3a2=
2a6,此选项错误。
2
2. (2016 吉林)计算(﹣a3) 结果正确的是( )
A.a5B.﹣a5C.﹣a6D.a6
【考点】幂的乘方与积的乘方.
【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算
得到结果,即可作出判断.
【解答】解:
原式=a6,
故选 D(2016 吉林 2 分)小红要购买珠子串成一条手
链,黑色珠子每个 a 元,白色珠子每个 b 元,要串成如图
所示的手链,小红购买珠子应该花费( )
43
A.(3a+4b)元 B.(4a+3b)元 C.(a+b)元 D.(a+b)
元
【考点】列代数式.
【分析】直接利用两种颜色的珠子的价格进而求出手
链的价格.
【解答】解:
∵黑色珠子每个 a 元,白色珠子每个 b
元,
∴要串成如图所示的手链,小红购买珠子应该花费为
:
3a+4b.
故选:
A.(2016 辽宁丹东 3 分)下列计算结果正确
的是( )
A.a8÷a4=a2B.a2a3=a6C.(a3)2=a6D.(﹣2a2)
3=8a6
【考点】同底数幂的除法;同底数幂的乘法;幂的乘
方与积的乘方.
【分析】根据同底数幂相除,底数不变指数相减;同
底数幂相乘,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指
数相乘;积的乘方法则,把每一个因式分别乘方,再把所
得的幂相乘;对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解:
A、a8÷a4=a4,故 A 错误;
B、a2a3=a5,故 B 错误;
C、(a3)2=a6,故 C 正确;
D、(﹣2a2)3=﹣8a6,故 D 错误.
故选:
C.
5.(2016 四川泸州)计算 3a2﹣a2 的结果是( )
A.4a2B.3a2C.2a2D.3
【考点】合并同类项.
【分析】直接利用合并同类项的知识求解即可求得答
案.
【解答】解:
3a2﹣a2=2a2.
故选 C.
6.(2016 黑龙江龙东)下列运算中,计算正确的是(
)
A.2a3a=6a B.(3a2)3=27a6
C.a4÷a2=2a D.(a+b)2=a2+ab+b2
【考点】整式的混合运算.
【分析】分别利用积的乘方运算法则以及同底数幂的
除法运算法则、完全平方公式、单项式乘以单项式运算法
则化简求出答案.
【解答】解:
A、2a3a=6a2,故此选项错误;
B、(3a2)3=27a6,正确;
C、a4÷a2=2a2,故此选项错误;
D、(a+b)2=a2+2ab+b2,故此选项错误;
故选:
B.
7 (2016 江西)分解因式:
ax2﹣ay2= a(x+y)(
x﹣y) .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】应先提取公因式 a,再对余下的多项式利用
平方差公式继续分解.
【解答】解:
ax2﹣ay2,
=a(x2﹣y2),
=a(x+y)(x﹣y).
故答案为:
a(x+y)(x﹣y).
8.(2016 广西百色 3 分)观察下列各式的规律:
(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2
(a﹣b)(a2+ab+b2)=a3﹣b3
(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4﹣b4
…
=
可得到(a﹣b)(a2016+a2015b+…+ab2015+b2016)
a2017﹣b2017 .
【考点】平方差公式;多项式乘多项式.
【分析】根据已知等式,归纳总结得到一般性规律,
写出所求式子结果即可.
【解答】解:
(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2;
(a﹣b)(a2+ab+b2)=a3﹣b3;
(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4﹣b4;
…
可得到(a﹣b)(a2016+a2015b+…+ab2015+b2016)
=a2017﹣b2017,
故答案为:
a2017﹣b20.(2016 贵州毕节 5 分)分
解因式 3m4﹣48= 3(m2+4)(m+2)(m﹣2) .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】先提取公因式,再利用平方差公式把原式进
行因式分解即可.
【解答】解:
3m4﹣48=3(m4﹣42)
=3(m2+4)(m2﹣4)
=3(m2+4)(m+2)(m﹣2).
故答案为:
3(m2+4)(m+2)(m﹣2).
10.(2016 海南 4 分)因式分解:
ax﹣ay= a(x﹣y)
.
【考点】因式分解-提公因式法.
【分析】通过提取公因式 a 进行因式分解即可.
【解答】解:
原式=a(x﹣y).
故答案是:
a(x﹣y).
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法:
:
如果
一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,
从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的
方法叫做提公因式法.
a
11.(2016 海南 4 分)某工厂去年的产值是 a 万元,
今年比去年增加 10%,今年的产值是 (1+10%) 万元.
【考点】列代数式.
【专题】增长率问题.
【分析】今年产值=(1+10%)×去年产值,根据关系
列式即可.
【解答】解:
根据题意可得今年产值=(1+10%)a 万
元,
故答案为:
(1+10%)a.
=
【点评】本题考查了增长率的知识,增长后的收入 (
1+10%)×增长前的收入.(2016 河北 3 分)若 mn=m+3,
则 2mn+3m-5nm+10=___1___.
解析:
先化简,再替换。
3m-3mn+10=3(m-mn)+10=10-
.(2016 山东菏泽)已知 4x=3y,求代数式(x﹣2y)2﹣(
x﹣y)(x+y)﹣2y2 的值.
【考点】整式的混合运算—化简求值.
【分析】首先利用平方差公式和完全平方公式计算,
进一步合并,最后代入求得答案即可.
【解答】解:
(x﹣2y)2﹣(x﹣y)(x+y)﹣2y2
=x2﹣4xy+4y2﹣(x2﹣y2)﹣2y2
=﹣4xy+3y2
=﹣y(4x﹣3y).
∵4x=3y,
∴原式=0.
【点评】此题考查整式的化简求值,注意先化简,再
代入求得数值即可.
a
15.(2016 山东省济宁市 3 分)先化简,再求值:
(
a﹣2b)+(a+b)2,其中 a=﹣1,b= .
【考点】整式的混合运算—化简求值.
【分析】原式利用单项式乘以多项式,以及完全平方
公式化简,去括号合并得到最简结果,把 a 与 b 的值代入
计算即可求出值.
【解答】解:
原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2,
当 a=﹣1,b= 时,原式=2+2=4.
【达标检测答案】
一、选择题
1.已知代数式 的值为 7,则 的值为 ( )
A. B. C.8 D.10
【答案】C
【解析】
试题分析:
因为 ,所以 ,所以 ,故选 C.
2.下列计算正确的是( )
A.b3b3=2b3 B.x2+x2=x4 C.(a2)3=a6 D.(ab3)
2=ab6
【答案】C
A
故
【解析】1.幂的乘方与积的乘方;2.合并同类项;3.
同底数幂的乘法.、b3b3=b6,故本选项错误;B、x2+x2=2x2
, 本选项错误;C、(a2)3=a6,故本选项正确;D、(ab3)
2=a2b6,故本选项错误.
故选 C.
3.下列因式分解正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的
形式.由此可知 ,故错误; ,故错误; ,故错误.
故选 C
4.多项式 因式分解的结果是( )
A. B.
C. D.
【解析】对于因式分解的题目,如果有公因式,首先
进行提取公因式,然后再利用公式法进行因式分解.原式
=9( -1)=9(x+1)(x-1).故选 D.若单项式 与 的
差是 ,则( ).
A.m≠9 B.n≠3 C.m=9 且 n=3 D.m≠9 且 n≠3
【答案】C
【解析】根据同类项的减法计算法则可得:
m-n=2n,
n=3,解得:
m=9,n=3.21 世纪教育网
6.若 , ,则 的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析:
因为 , ,所以 ,故选 D.
7.下列多项式相乘,结果为 的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
ABC
【解析】 、原式= -10a+16; 、原式= -6a-16; 、
原式= +6a-16;D、原式= +10a+16.故选考点:
多项式的
乘法法则
二、填空题(每题 3 分,共 30 分)
8.请写出一个只含字母 和 ,次数为 3,系数是负数
的单项式 .
【答案】 或 .
【解析】单项式的次数是指单项式中所有字母的指数
之和,单项式的系数是指单项式中的数字因数.
9.已知:
单项式 与 的和是单项式,那么 .
【答案】7
【解析】因为单项式 与 的和是单项式,所以单项式
与 是同类型,所以 m=4,n-1=2,所以 m=4,n=3,所以 7.
10.若 2x=3,2y=5,则 2x+y= .
【答案】【解析】考查同底数幂的乘法.
【解答】:
∵2x=3,2y=5,∴2x+y=2x2y=3×5=15..
计算:
= ;
【答案】5
【解答】:
.
12.计算:
, = .
【答案】3x-1 4x
【解析】
(1)原式=(-9)÷(-3x)+3x÷(-
3x)=3x-1
(2)原式= = =4x.
13.因式分解:
x2y﹣2xy2= .
【答案】xy(x﹣2y).
【解析】多项式中有公因式,所以提取公因式 xy,
得到 x2y﹣2xy2= xy(x﹣2y).
14.分解因式:
a3b-2a2b2+ab3= .
【答案】ab(a-b)2.
【解析】
试题解析:
a3b-2a2b2+ab3=ab(a2-2ab+b2)=ab(a-b
)2.
考点:
提公因式法与公式法的综合运用.
15.已知 am=3 ,an=2 ,则 , .
【答案】18; .
【解析】
试题解析:
a2m+n=(am)2an=32×2=18;
am-n=am÷an=3÷2= .
考点:
1.同底数幂的除法;2.同底数幂的乘法;3.
幂的乘方与积的乘方.
(将(
16. 2016 湖北荆州) 二次三项式 x2+4x+5 化成 x+p
)2+q 的形式应为 .
【分析】直接利用完全平方公式将原式进行配方得出
答案.
【解答】解:
x2+4x+5
=x2+4x+4+1
=(x+2)2+1.
故答案为:
(x+2)2+1.
【点评】此题主要考查了配方法的应用,正确应用完
全平方公式是解题关键.
三、解答题(每题 5 分,共 40 分)化简:
【分析】:
先算乘法,再合并同类项即可.
【解答】:
原式(2016 浙江湖州)当 a=3,b=﹣1 时,
求下列代数式的值.
(1)(a+b)(a﹣b);
(2)a2+2ab+b2.
【分析】
(1)把 a 与 b 的值代入计算即可求出值;
(2)原式利用完全平方公式变形,将 a 与 b 的值代
入计算即可求出值.
【解答】解:
(1)当 a=3,b=﹣1 时,原式=2×4=8;
(2)当 a=3,b=﹣1 时,原式=(a+b)2=22=4.
19.请你说明:
当 n 为自然数时,(n+7)2-(n-5)2
能被 24 整除.
【分析】原式利用平方差公式分解得到结果,即可做
出判断.
【解答】:
原式=(n+7+n-5)(n+7-n+5)=24(n+1),
则当 n 为自然数时,(n+7)2-(n-5)2 能被 24 整
除.
20. (2016 重庆市 A 卷)(a+b)2﹣b(2a+b)
【分析】根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则
计算即可;
【解答】解:
(a+b)2﹣b(2a+b)
=a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2
=a2;
【点评】本题考查的是整式的混合运算,掌握完全平
方公式是解题的关键.
((2(
21. 计算:
(1)2016 重庆市 B 卷 5 分)x﹣y)﹣x﹣2y)
(x+y)
【考点】整式的混合运算.
【分析】根据平方差公式、多项式乘多项式法则进行
计算;
【解答】解:
(x﹣y)2﹣(x﹣2y)(x+y)
=x2﹣2xy+y2﹣x2+xy+2y2
=﹣xy+3y2;
【点评】本题考查的是整式的混合运算,掌握平方差
公式、多项式乘多项式法则是解题的关键.
22.先化简,再求值:
(x+y)(x-y)-(4x3y-8xy3)
÷2xy,其中 x=-1, .
【答案】-x2+3y2;0.
【解析】考查了 1、整式的混合运算;2、化简求值.
试题分析:
原式第一项利用平方差公式化简,第二项
利用多项式除单项式法则计算,去括号合并得到最简结果
,将 x 与 y 的值代入计算即可求出值.
试题解析:
原式=x2-y2-2x2+4y=-x2+3y2,
当 x=-1, 时,原式=-1+1=0.
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