专升本国家专升本高等数学二分类模拟一元函数微分学三doc.docx

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专升本高等数学（-）分类模拟一元函数微分学（三）

一、选择题

丄、若下列各极限都存在，其中等式不成立的是

2、已知函数f（X）在点Xo处可导，Hf*（x0）=2.则4Th等于

A.0B・1C.2D・4

3、设f（x）在X。

处不连续，则

A.f（x0）必存在B.f1（x0）必不存在

lim/（jr）lim/Xx）

C.L心必存在D.TF、必不存在

4、椭圆x2+2y2=27上横坐标与纵坐标相等的点处的切线斜率为

_丄丄.

A・-1B・2C.2D・1

5、设y=x_3+3,则y，等于

A・—3x—°B・一3厂2C・3x-4D・-3x_4+3

6、设£（x）=cos2x,贝Ijf1（0）等于

A.-2B.-1C・0D・2

7、设函数f（x）=e_x2,贝Ijfn（x）等于

A.e_x2（2x2-1）B.e2（1-2x2）

二、填空题

则f‘（o）=

9、曲线y=yx在点（o,1）处的切线的斜率k为

/（龙）=（岛+1）

10、设函数

匸1

设函数，_1十2巴则W•

设函数y=sinIn（x3）,则y，=.

设函数y=cos（e_x）,则yf（0）=

设函数

心）

设函数y=ecosx,则y”=

y=^

设函数占

设函数f（x）=x3lnx,则fn

（1）=

设函数y（r_2）=ax+xa+aa（a>0,a/1）,则yE=

设函数y=e2x,则yn（0）=・

设函数y=cos2（-x）,贝ljdy=•

解答题

f（x）=

讨论函数

工＞2

在点x=1,x=2处的连续性和可导性.

设函数f（x）在点x=0处可导,且f1（0）=1,求

（

3云一2工、工£0,

.郸nox+氛工＞°在沪0处可导，求“b的值.

求下列函数的导数.

26、

27、

28、

设函数y

设函数丄十広,求w・

1+JC

y=arctan■,_

设函数1—工，求w.

29、设函数》=4+分•Sm［nX，求八求下列隐函数的导数.

30、求由方程ey=xy所确定的隐函数y=y（x）的导数血•

31、设y=y（x）由方程ex-ey=sin（xy）所确定，求归用对数求导法求导数.

32>设函数y=（lnx）x,求y'・

33、设函数y=（tanx）sinx,求y—求下列函数的高阶导数.

34、设函数y=xJ_nx,求y".

=工

35、设函数,求y”・

36、设函数y=（丄+x?

）arctanx,求y”・

37、设函数』一由（工+丿1十工）求

求微分.

38、设函数y=x°sinx,求dy・

39、设函数y=lm（l-x2）,黍dy.

40、设函数y=JXcosx,求dy.

Intan寻+

41、设函数/,求dy.

答案：

一、选择题

z=O

1>C［解析］利用导数f（x）在点X。

处的定义进行判断.

lin/3一网=lin/3工⑹=八0）

选项A中，i工nd.U

原等式成立.

选项B中,

1曲=心）_心=心）

原等式成立.

选项c中,成立.

选项D中,

lim

/（■To）—f（竝二X）

=lim

0jf4］

yXzo——f（竝）

—Az

=fg）

等式成立.

2、D

［解析］

lim込+犁_心）=2［詁（氐十弋二g）=2八如=2X2=4unidLh

3、B

［解析］根据函数的可导与连续的关系可知，f（x）在X。

处不连续，则f（x）在X。

处不可导.

［解析］

方程两边对x求导数，可得2x+4y-y*=0,

•由于切点处的横坐标与纵坐标

4^B

1

相等，B|Jx=y.因此所求的切线斜率为，一2.

5^A

［解析］yf=3x-\

6、C

［解析］f1（x）=-2sin2x,f（0）=-2sin0=0.

7、C

［解析］y'=jx2.（_x2）»=-2xe~x2,yn=-2e_x2+4xe_x2=2e_x2（2x2-l）.

二、填空题

1

8、忑

linr心）一用）=2lim/（Q+2x）T/（0）=2/（0Xx-^0工yO匕龙

2/（0）=y/（0）=4*

依题意，有.乙，于是有°

9、-1

y.=（e-）>=-e-\根据导数的几何意义有,

10、

f_Z7]//_1

24~x\/x

•士）卜耳

17、eC0SX（sin2x-cosx）

y1=ecosx•（-sinx）,yn=ecosx-sin2x+ecosx•（-cosx）=ecosx（sin2x-cosx）.

18、

19、

丄

f1（x）=3x2lnx+x3-E=3x2lnx+x2,

1

fn（x）=6xlnx+3x2-力+2x=6xlnx+5x,f11

（1）=5.

20>axln2a+a（a-1）xd~2

y（n_1）=axlna+axa_1,y（n）=axln2a+a（a-1）xa_2

21、yf=e2x-（2x）f=2e2x,yn=2e2x-（2x）f=4e2x,yn（0）=4・

22>-sin2xdx

yf=2cos（-x）-[cos（-x）]f=2cos（-x）[-sin（-x）]（-x）1=-sin2x,dy=-sin2xdx.

三、解答题

24、在

23、

x=

1处，

limZ（.3x）-/<0）=3lim^）.-/（0）=3/（o）=3x1=3.ixz0

/（l—0）=iimfCr）=lim（2H-l）=lJ（l+0）=limfQ）=lini（6—2Q=4・lim/（x）

因为f（l-O）^f（1+0）,即Ll不存在，因此f（X）在X=1处不连续，也不可导.

/（2—0）=lim/（x）—lim（6—2x）=2>

/（2+0）=lim/（x）=lim/—4-x2+4>）=2.

在X=2处，"L八Lf

且f

（2）=2,因为f（2-0）=f（2+0）=f

（2）,因此f（x）在x=2处连续.

化

（2）=1局心"）

r（6~2x）—2o

工一2争I=—2、

1

r（、A仃、—2

耳

（2）=lin/S二[⑵=lim—~~Z—=_2

25、己知f（x）在

因为f»_

（2）=ff+

（2）=-2,所以f（x）在x=2处可导，且f1

（2）=-2.x=0处可导,贝！

Jf（x）在x=0处连续.

/CO—0）=lim/（x）=lini（3x2—2x）=01

/（0+0）==lim（sinax+&）=6,

lCTjrTf

/（0）=0.

因为f（0-0）=f（0+0）=f（0）,所以b=0・

上（0〉=lim£®弐勉=—2,

代（0）=1曲色匚伴=帕审吨

30、方程两边同吋对x

等式两边同时取自然对数，得

吉—Rn（T十吉,

f_2戈i（—sinx）

2/1T?

CO辽/1+?

27、

（£nr）"（l+工'）一”lnr（l十疋），（lar+1）

（1）—xlnzc•2运

y—_…一一一

1+龙\卢=1]—工一（1+工）■（―]）

（1一工）

1—工丿n|（1+工）

1+乔二药

=_1_

28、

_（]_工）中匸匚rF_TT7■

，'=（）z•sinlar+/FRr2•（sinlnz）/

JC

讥命■sinlnz+7FF?

■eosin.■丄

__X・1■^/l+x2I

=—：

：

■"-7■sinlnjrncoslnz.

2沢石壬"

求导，得

eY-y1=y+x-y1,

（ey-x）y』y,

/_y

y~v_•

e北31、方程两边同吋对x求导，得

ex-ey-y1=cos（xy）・（y+xy1）,[ey+xcos（xy）]y1=ex-ycos（xy）•

#=ef—ycos（工y）'卅+工（心（巧）・

当x=0时，代入所给方程，BPe°-ey=sinO,得y=0.

=于一*05（可）

32、

工=0M卜jrcos（xy）

lny=xln（lnx）,

33、等式两边同时取自然对数，得

RZ）+

丄*y=ln（lrLr）+x•

等式两边同时对x求导，得y

y=（lmr）

所以

lny=sinxln（tanx）,

—•y/=cosT•In（taar）+sin；c•

等式两边同时对x求导，得y

丄

$-y,=cosx-In（tanx）+secx,所以

y1=（tanx）sinx[cosx-In（tanx）+secx].

34、

11

■■■■■■・l

y1=（x）1lnx+x（lnx）*=lnx+x-无=Inx+l,yn=（lnx+1）1=工liir—Jl•丄.-,

fTllLZ—1

y=

11

■A—

taarcos工

35>

（M-

（2）产（2」（血）3

—+2（lar）-3・丄2_lnx

XX

]

1+2

y1=2xarctanx+（1+x-丄丨亠

2攵

yn=2arctanx+137、

y=—（力+yr+?

）,=—7==

左+\/i+疋文+/（壬？

"1・（/i+yy=-T^~2・—=—-~t

1+北2/1+7'（1+疋强

=2xarctanx+l,

v==—

（TiT?

）2

38、yn=4x3sinx+x4cosx,

39、

36、

\_1

21+戈丁丿JIHp,

2x

宀右1-"倍

d^=ycLr=-T77rcLr

■2;I

dy=y1dx=（4x3sinx+x4cosx）dx.

40、y1=e_x（-x）1cosx+e"x（-sinx）=-e"x（sinx+cosx）,

dy=y1dx=-e~x（sinx+cosx）dx.

£+皂皿•（liir+w•丄）=炳口+0%1仲+1儿,_2工2\Xf

tan万cos万

dy=y1dx=[cscx+exlnx（lnx+1）]dx.

41、