21已知半径为a的导体球面上分布着面电荷密度为的电荷式中精.docx
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21已知半径为a的导体球面上分布着面电荷密度为的电荷式中精
2.1已知半径为a的导体球面上散布着面电荷密度为ss0cos的电
荷,式中的s0为常数。
试求球面上的总电荷量。
z
dsr
r
y
o
x
解:
球面上的总电荷量等于面电荷密度沿r=a的球面上的积分。
在球
面上选择一个小的球环,面积为dsr,对应的弧长为dlad,所以,
dsr2asindl2asinad。
qsdss0cosdss0cos2a2sind0
ss0
2.14题,在以下条件下,对给定点求divE的值:
(1)
E
[
ex
(2xyzy2)
ey
(x2z2xy)
ez
x2y]V/m,求点P(2,3,
1)处
divE
1
的值。
(2)E
[e
2z2sin
2
ez2sin2
ez22zsin2
]V/m,
求点P2(
2,
110
z
1)处divE
的值。
解:
(1)divE
x
(2xyz
y2)
y
(x2z
2xy)
z(x2y)
2yz
2x
2
3(
1)
2
2
10
divE
1
[
(2
z2sin2
)]
1
(
z2sin2)
(2
2zsin2)
z
(2)
4z2sin2
2z2cos2
2
2sin2
9.06
2.15题,半径为a的球中充满密度为ρ(r)的体电荷,已知电位移散布
为:
er(r3
Ar2),(0
r
a)
D=erDr=
a5
Aa4
er(
r2),
(r
a)
此中A为常数,试求电荷密度ρ(r)。
解:
利用高斯定理的微分形式,即
D=
得
D=12
(r2Dr)
D=12
r
r
在r≤a地区中:
[r2(r3
Ar2)]
5r2
4Ar
r
r
在r≥a地区中:
1
[r
2
a5
Aa
4
0
D=
2
(
r
2
)]
r
r
2.20,在半径a=1mm的非磁性资料圆柱形实心导体内,沿
z轴方
向经过电流I=20A,试求:
(1)
0.8mm处的B;
(2)
1.2mm处的
B;(3)圆柱内单位长度的总磁通。
解:
(1)圆柱形导体内的电流密度为
Jez
I
2ez
20
3
)
2A/m2
ez6.37106A/m2
a
(110
利用安培环路定律得
2B
0J
2
B0.8mm
e
1
0J
e3.2103T
2
(2)利用安培环路定律得
B1.2mme
0I
e3.33103T
2
(3)圆柱内单位长度的总磁通为
BdS
a1
0Jd
1
0J
2
a
02
2
2
0
2106Wb
2.22经过电流密度为J的平均电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱
形空腔,其横截面如图题2.22所示。
试计算各部分的磁感觉强度,
并证明空腔内的磁场是平均的。
解:
y
P
rbra
ca
J
obo
a
x
b
因空腔中电流密度为零,可视为同时存在J和-J的电流密度,
这样,可将本来的电流散布视为以下两个电流散布的叠加:
一个电流
密度为J,平均散布在半径为b的圆柱内;另一个电流密度为-J,均
匀散布在半径为a的圆柱内。
空间的场,即是它们共同产生的。
由安培环路定律
Bdl
0I,可获得电流密度为
J、平均分
c
布在半径为b的圆柱内的电流产生的磁场为:
1
0I
0I
2rb
0Jez
rb
rb
Bb
e
ez
er
r
2
r
2
1
2
2
2
ezrb
rb>b
2r
3
0Jb
b
半径为a、电流密度为-J的圆柱的磁场为:
1
0Jezra
ra0I
0I
2ra
Ba
2e
2ezer
2r
2r
1
0Jb2ez
3
rara>a
2r
a
此中,ra、rb分别是点oa和ob出席点P的地点矢量。
将上边两式叠加,可得空间各地区的场:
B
1
0Jez
b2
rb
a2
圆柱外:
2
(
3
r
3ra)
r
a2
1
0Jez
1
ra)
圆柱内的空腔外:
B
2
(rb
r
3
r
空腔内:
B
1
0Jez
(1rb
1ra)
1
0Jez
c
2
r
r
2
c
可见,空腔内是平均场。
2.24有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动,整个装置位于正弦时
变磁场
B
ez5cos
tmT
之中,以下图。
滑片的地点由
x0.35(1
cos
t)m
确立,轨道终端接有电阻
R0.2
,
求电流
i。
y
a
i
b
0.2m
B
R
x
c
d
0.7m
解:
穿过导体回路abcda的磁通为
BdS
ezBezad
ab
5cos
t0.2(0.7
x)
cos
t[0.7
0.35(1
cost)]
0.35cost(1
cost)
所以,感觉电流为
i
in
1d
10.35
sint(1
cost)
R
Rdt
R
1.75
sin
t(12cos
t)
mA
2.26求以下状况下的位移电流密度的大小
(1)某挪动天线发射的电磁波的磁场强度
Hex0.15cos(9.36108t3.12y)A/m
(2)一大功率变压器在空气中产生的磁感觉强度
Bey0.8cos(3.77102t1.26106x)T
(3)一大功率变压器在填补的油中产生的电场强度
Eex0.9cos(3.77102t2.81106z)MV/m
设油的相对介电常数r5
(4)工频(f=50Hz)下的金属导体中,Jex0.1sin(377t117.1z)MA/m2
设金属导体的
0,
0,
5.8
107s/m。
解:
(1)在真空中,传导电流为
0,所以由
H
D,获得位移电流为:
t
ex
ey
ez
Jd
D
H
ez
Hx
t
x
y
z
y
Hx
0
0
ez
y
[0.15cos(9.36
108t
3.12y)]A/m2
ez0.468sin(9.36
108t
3.12y)A/m2
故Jd
0.468A/m2
(2)由
D
B
0H,获得位移电流为:
H
t
ex
ey
ez
Jd
D
1
B
1
ez
1
By
t
x
y
z
x
0
0
0
0
By
0
ez
1
[0.8cos(3.77
102t
1.26
106x)]
0
x
ez0.802sin(3.77102t1.26
106x)A/m2
故Jd
0.802A/m2
(3)
D
r
oE=5
0[ex0.9
106cos(3.77102t
2.81106z)]
ex5
8.8510120.9
106cos(3.77102t
2.81
106z)
J
d
D
e15
103sin(3.77102t
2.81
106z)A/m2
t
x
故Jd15103A/m2
E=J
1
7
ex106
sin(377t117.1z)
5.8
(4)
10
ex1.72102sin(377t117.1z)V/m
DE=ex8.85
1012
1.72
102sin(377t
117.1z)
Jd
D
ex15.26
1014
377cos(3.77102t117.1z)
t
ex57.53
1012cos(3.77
102t
117.1z)A/m
故Jd
57.53
1012A/m2
2.27同轴线的内导体半径a=1mm,外导体的内半径b=4mm,内外导体间为空气,以下图。
假定内、外导体间的电场强度为
Ee100cos(108tkz)V/m。
(1)求与E相伴的H;
(2)确立k
的值;(3)求内导体表面的电流密度;(4)求沿轴线0z1m地区
内的位移电流。
a
b
解:
(1)由麦克斯韦方程组获得
E0H,所以
t
H
1
E
e1
E
z
t
0
0
e100ksin(108t
kz)
0
将上式对时间t
积分,获得H
e
100k
8
cos(108tkz)
0
10
(2)为确立k值,将上述H代入
H
0
E获得
t
E
1
H
11e[
(H
)]
t
0
0
z
e
100k2
8
8sin(10tkz)
0
0
10
将上式对时间t
积分,获得E
e
100k2
8
16cos(10tkz)
0
0
10
将其与题中的E比较,获得k2
0
01016
1
所以:
k
rad/m
3
同轴线内、外导体之间的电场和磁场表示为:
E
e
100
cos(108t
1
z)V/m
3
H
e
100cos(108t
1z)A/m
120
3
(3)将内导体视为理想导体,利用理想导体的界限条件即可求出内
导体表面的电流密度
JsenHae
e
100
cos(108t
1
z)
120
3
ez265.3cos(108t
1
z)A/m
3
位移电流密度为:
Jd
0
E
0[e
100
cos(108t
1
z)]
t
t
3
e
8.85
102
8
1
2
sin(10t
z)A/m
3
(4)在0z1m地区内的位移电流为:
1
102
1
8t
1
id
JddS
0
Jd
e2
dz=
2
8.85
sin(10
z)dz
s
0
3
=
2
8
1
1
28.8510
3[cos(10t
z)]
0
3
0.55sin(108t
1
)A
6
2.30煤质1的电参数为
1
4
0,
1
20,
1
0;煤质2的电
参数为1
2
0,
1
3
0,
1
0。
两种煤质分解面上的法向单位
矢量为en
ex0.64
ey0.6
ez0.48,由煤质2指向煤质1。
若已
知煤质1内周边分解面上的点P处的磁感觉强度
B1
(ex
2ey
3ez)sin300tT,求P点处以下量的大小:
B1n,B1t,B2n,B2t。
解:
B1在分界面法线方向的重量为:
B1nB1en(ex2ey3ez)(ex0.64ey0.6ez0.48)2T
B
B2
B2
3.16T
1t
1
1n
利用磁场界限条件,获得B2n
B1n
2T
利用磁场界限条件,获得
B
2t
2
B
3
3.16
4.74T
1
1t
2
2.31煤质1
的电参数为
1
50,
1
3
0,1
0;煤质2可视
为理想导体
(2)。
设y=0为理想导体表面,y>0的地区(煤
质1)内的电场强度为E
ey20cos(2
108t
2.58z)V/m,试
计算t=6ns时:
(1)点P(2,0,0.3)处的面电荷密度
s;
(2)点P
处的H;(3)点P处的面电流密度Js。
解:
(1)s
enDy0,z0.3
ey
ey20
50cos(2
108t
2.58z)
80.6109C/m2
(2)由
E
H,获得
t
H1
1
Ey
1
8
t
E
(ex
z)
ex3
0z[20cos(210t2.58z)]
1
8
ex30
20
2.58sin(2
10t
2.58z)
对时间t积分,获得
1
20
2.58
sin(2
8
2.58z)dt
Hex
10t
3
0
ex
20
2.588
cos(2
108t
2.58z)
3
0
2
10
ex62.3
103A/m
()Js
en
Hy
0ey
(exHx)y0ez62.3103A/m
3