高考理科数学全国卷2含详细答案.docx
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高考理科数学全国卷2含详细答案
-------------
绝密 ★ 启用前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
在
--------------------
本试卷共 23 题,共 150 分,共 5 页,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.已知向量 a,b 满足 a 1,a b 1 ,则 a 2a b
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
x2 y2
5.双曲线 0,b 0 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码
A. y 2x B. y 3x C.y 2
D.y 3
此
--------------------形码区域内。
6.在 ABC 中, cos C
2
5
5 ,BC
1,AC 5,则 AB =
__3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;
号
证
准
__1 2i
_
_名A.9B.8C.5D.4
姓题
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,
字体工整、笔迹清楚。
--------------------
在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
有一项是符合题目要求的.)
__ 1. 1 2i
-------------------- 3 4
2.已知集合 A x,y x2 y2 3,x Z ,y Z ,则 A 中元素的个数为
x x
3.函数 f(x)
A. 42 B. 30 C . 29 D . 25
1 1 1 1
2 3 4 99 100 ,设计了右侧的
程序框图,则在空白框中应填入
A. i i 1
B. i i 2
C.i i 3
D.i i 4
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 ,哥德巴赫猜想是
“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”,如 30=7+23 . 在不超过 30 的素数中,随机
选取两个不同的数,其和等于 30 的概率是
1 1 1
12 B. 14 C. 15 D. 18
无
--------------------
9.在长方体 ABCD A B C D 中, AB BC 1,AA
1 1 1 1
成角的余弦值为
1 3,则异面直线 AD 1 与 DB 1 所
5 B.
A. 1
5
6 C.
5
5 D.
2
2
10.若 f(x) cosx sinx 在a,a 是减函数,则 a 的最大值是
4 D.
效
----------------
A.
4 B.
2 C.
3
理科数学试题 A第 1 页(共 24 页)
理科数学试题 A 第 2 页(共 24 页)
11.已知 f(x)是定义域为,的奇函数,满足 f(1 x)f(1 x) .若 f
(1) 2 ,则
f
(1) f
(2) f(3)f(50)
A.50B.0C.2D .50
下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y(单位:
亿元)的折线图.
12.已知 F ,F 是椭圆 C :
12
x2 y2
a2 b2 1(a b 0)的左、右焦点,A 是 C 的左顶点,点 P 在
过 A 且斜率为3
1 2
F F P 120 ,则 C 的离心率为
1 2
A. 2
1
2 C.
1 1
3 D. 4
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.曲线 y2ln(x 1)在点 0,0 处的切线方程为_____________.
x 2 y 50,
14.若 x,y 满足约束条件 x 2 y 30,则 zxy 的最大值为________.
x 50,
15.已知 sincos1,cossin0 ,则 sin__________.
16.已知圆锥的顶点为 S,母线 SA 、SB 所成角的余弦值为 7
若 SAB 的面积为 5 15 ,则该圆锥的侧面积为__________.
三、解答题(共 70 分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第 17~21 题为必
考题,每个试题考生都必须作答。
第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
)
(一)必考题:
共 60 分。
17.(12 分)
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额,建立了 y 与时间变量 t的两个线性回
归模型.根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t的值依次为 1,2,…,17)建立模型① :
y 30.4 13.5t;根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t的值依次为 1,2,…,7)建立
模型② :
y 99 17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?
并说明理由.
19.(12 分)
设抛物线 C :
y2 4x 的焦点为 F ,过 F 且斜率为 k(k>0)的直线 l与 C 交于 A 、B 两
点, AB 8.
(1)求 l的方程;
(2)求过 A ,B 且与 C 的准线相切的圆的方程.
记 S 为等差数列 a
nn
的前 n 项和,已知 a
1
7,S
3
15 .
(1)求 a
(2)求 S ,并求 S 的最小值.
nn
20.(12 分)
18.(12 分)
理科数学试题 A第 3 页(共 24 页)
理科数学试题 A 第 4 页(共 24 页)
如图,在三棱锥 PA B C 中 , ABBC2 2,
PAPBPCAC4,O 为 AC 的中点.
(1)证明:
PO ⊥平面 ABC ;
(2)若点 M 在棱 BC 上,且二面角 MPAC 为 30 ,
求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值.
21.(12 分)
已知函数 f(x) exax2 .
(1)若 a=1,证明:
当 x0 时, f(x) 1 ;
(2)若 f(x)在 0,只有一个零点,求 a.
的第一题计分。
22.[选修 4-4:
极坐标与参数方程](10 分)
y 4sin ( 为参数),直线 l的参数方程
y 2 tsin (t为参数).
(1)求 C 和 l的直角坐标方程;
(2)若曲线 C 截直线 l所得线段的中点坐标为 1,2 ,求 l的斜率.
23.[选修 4-5:
不等式选讲](10 分)
设函数 f(x) 5 x a x 2 .
(1)当 a 1 时,求不等式 f(x) 0 的解集;
(2)若 f(x) 1 ,求 a 的取值范围.
(二)选考题:
共 10 分。
请考生在第 22、23 题中任选一题作答。
如果多做,则按所做
理科数学试题 A第 5 页(共 24 页)
理科数学试题 A 第 6 页(共 24 页)
绝密★启用前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案解析
一、选择题
1.【答案】D
【解析】
1 2i 1 2i 2 3 4i 3 4
1 2i 1 2i 1 2i 5 5 5
i,故选 D .
2.【答案】A
【解析】 A{( 1,1),( 1,0),( 1, 1),(0,1),(0,0),(0, 1),(1,1),(1,0),(1, 1)},元素的
个数为 9,故选 A .
3.【答案】B
【解析】f( x)
e
x
x
2
ex
f(x),即 f(x)为奇函数,排除 A ;由 f
(1) e
1
e
0
e4e 411111
排除 D ;由 f(4)(e2)(e)(e) ef
(1) 排除 C ,故选 B .
1616e2eee
4.【答案】B
【解析】 a (2ab)2a 2
5.【答案】A
a b 2 1 3 ,故选 B .
cc2a 2b 2b
【解析】离心率 e33 ,所以
aa 2a 2a
y2x ,故选 A .
6.【答案】A
2 ,渐近线方程为
【解析】 cosC2 cos2
C 3
1 ,
2 5
由余弦定理得 AB
BC
2
AC
2
2BC AC cosC 4 2 ,故选 A .
7.【答案】B
【解析】依题意可知空白框中应填入i i 2 .第 1 次循环:
N1,T1 ,i 3 ;
2
1111
T,i 101 ,结束循环得
39924100
S111111
23499100
,所以选 B .
8.【答案】C
【解析】不超过 30 的素数有:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 ,共 10 个.从中选取两个
711共
不同的数,其和等于 30 的有:
与 23 、 与19 、13 与17 , 3 对.则所求概率为
故选 C .
9.【答案】C
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则 A (1,1,0) ,
3 1
C 2 15
10
,
D (1,0, 3),D (1,0,0),B (0,1, 3),所以 AD
11
1
(0, 1, 3),
DB
1
( 1,1, 3),
则 cosAD ,DB
1
1
AD
AD
1
1
DB
DB
1
1
2 5
2 5 5
,故选 C .
10.【答案】A
【解析】因为 f(x) cosx sinx
所以 a 的最大值是
,故选 A .
4
2 cos(x
4 )在区间 [
3
]上是减函数,
4 4
11.【答案】C
【解析】因为 f( x)f(x),所以 f(1 x)f(x 1),则 f(x 1)f(x 1),
f(x)的最小正周期为 T4 .
又 f
(1)2 , f
(2)f(0) 0 , f(3)f
(1)2 , f(4)f(0) 0 ,所以
f
(1) f
(2) f(3)f(50)
12[f
(1) f
(2) f(3) f(4)] f(49) f(50)
f
(1) f
(2) 2
,选 C .
12.【答案】D
【解析】如图,因为PF F 为等腰三角形,
12
F F P120 且 F F
1212
2c ,所以 PF F
1 2
30 ,则
P 的坐标为 (2c, 3c),故 k
PA
3c 3
2c a 6
c 1
a 4
故选 D .
二、填空题
13.【答案】 y2x
【解析】 y
2
x 1
y |
x 0
2 ,则曲线 y 2 ln(x 1)在点 (0,0)处的切线方程
为 y2x .
14.【答案】9
【解析】可行域为 ABC 及其内部,当直线 yxz 经过点 B (5,4)时,z
max
9 .
1
15.【答案】
2
【解析】 sincos
2
2
sin 2sin cos cos2 1 ,
cossin
2
2
cos2 2 cos sin sin 0 ,
22
则 sin 2sin coscos2cos22 cos sinsin 0 1 1 ,
即 22 sin cos2 cos sin1sin()1
2
.
16.【答案】 40 2
15
,所以 sin ASB,
88
S
SAB
1 15
SA SB sin ASB SA 2
2 16
5 15 ,
所以 SA4 5 .
又 SA 与圆锥底面所成角为 45 ,即SAO45 ,
则底面圆的半径 OA2 10 ,圆锥的侧面积
SOASA40 2
(一)必考题:
共 60 分.
17.【答案】
(1) a
n
2n 9 .
(2) S
n
(n 4)2 16 , n 4 时, S 的最小值为 16 .
n
【解析】
(1)设等差数列 a的公差为 d ,则
n
1 7 , S
由 a
3
3a
1
3d 15 得 d 2 ,
所以 a
n
7 (n 1) 2 2n 9 ,即 a 的通项公式为 a
n
n
2n 9 ;
(2)由
(1)知 S
n
n( 7 2n 9)
2
n 2 8n ,
因为 S
n
(n 4)2 16 ,
所以 n4 时, S 的最小值为 16 .
n
18.【答案】
(1)模型①:
226.1 亿元;模型②:
256.5 亿元.
(2)见解析.
【解析】
(1)将 t 19 代入模型①:
y
,
30.4 13.5 19 226.1 (亿元)
所以根据模型①得该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 226.1 亿元;
将 t9 代入模型②:
y99 17.5 9
,
256.5 (亿元)
所以根据模型②得该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 256.5 亿元.
(2)模型②得到的预测值更可靠.理由如下:
答案一:
从折现图可以看出,2010 年至 2016 年的数据对应的点并没有紧密地均分分布
在回归直线 y
30.4 13.5t的上下,2009 年至 2010 年的环境基础设施投资额出现了明显
的大幅度增加,这说明模型①不能很好的反应环境基础设施投资额呈线性增长.而2010 年
至 2016 年的数据对应的点紧密的分布在回归直线 y
99 17.5t的附近,这说明模型②能
更好地反应环境基础设施投资额呈线性增长,所以模型②得到的预测值更可靠.
答案二:
从计算结果来看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额为 220 亿元,利用模
型①得到的该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 226.1 亿元的增幅明显偏低,
而利用模型②得到的该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 256.5 亿元的增幅明
显更合理,所以模型②得到的预测值更可靠.
19.【答案】
(1) yx 1 .
(2) (x 3)2
(y 2)2
16 或 (x 11)2
(y 6)2
144 .
联立方程组
y k(x 1)
,得 k 2 x2 (2k 2 4)x k 2 0 ,
y2 4x
令 A(x ,y ),B (x ,y ),则 x
11221
根据抛物线的定义得 ABx
1
x
2
x
2
2k 2 4
k 2
2 8 ,
, x x
1 2
1 .
即
2k 2 4
k 2
6 ,解得 k 1 (舍去 k 1 ),
所以 l的方程为 yx 1 ;
(2)设弦 AB 的中点为 M ,由
(1)知 x1
2
x
2
3 ,所以 M 的坐标为 (3,2),
则弦 AB 的垂直平分线为 yx5 ,令所求圆的圆心为 (m ,5m ),半径为 r ,
根据垂径定理得 r
2 2
2 2
2m 12m 34 ,
由圆与准线相切得 m1
2m 2 12m 34 ,解得 m 3 或 m 11 .
则所求圆的方程为:
(x 3)2(y2)216 或 (x 11)2(y 6)2144
20.【答案】
(1)见解析.
(2)3
4
.
【解析】
(1)证明:
连接 OB ,
PAPC , O 为 AC 的中点,POAC ,
ABBC2 2,AC4 ,
AB
2
BC
2
AC 2 ,即 AB BC , OB 1
2
AC 2 ,
22
又 PO2 3,PB4 ,则 OBPOPB 2 ,即 OPOB ,
ACOBO ,PO平面 ABC ;
(2)由
(1)知 OB ,OC ,OP 两两互相垂直,
以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则 B (2,0,0), C (0,2,0), A (0, 2,0), P (0,0,2 3),
BC( 2,2,0), AP(0,2,2 3), CP(0, 2,2 3)
则 OMOBBC(2 2 ,2 ,0), AM(2 2 ,22,0),
令平面 PAM的法向量为 n(x,y,z),
z
nAP2 y2 3z0
由,
nAM(22 )x (22)y0
取 x31 ,
P
得 n( 31, 31 ,1)
易知平面 PAC 的一个法向量为 m(1,0,0),
A
O
M
C
y
所以
cos n,m
n m
n m
3( 1)
3( 1)2 3( 1)2 (1 )2
B
x
7
3( 1)
2 2 7
cos30 3
2
解得
1 4 2 2
3, 3, ),
3 3 3 3
因为 cosn,CP
为3
.
4
n CP
n CP
8 3
4
3
3
,所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值
21.【答案】
(1)见解析.
e2
(2) a.
4
【解析】
(1)方法 1:
欲证明当 x0 时, f(x) 1 ,即证明
ex
x2 1
1.
令 g(x)
ex ex (x2 1) 2xex (x 1)2 ex
,则 g (x) 0 ,
x2 1
则 g (x)为增函数, g(x)g(0) 1 ,得证.
方法 2:
a1 时, f(x) ex
令 f (x)g(x) ,则 g (x) ex
x2 ,则 f (x) ex
2 ,
2x ,
x[0,ln2)时, g (x) 0 , g (x)为减函数, x(ln2,) 时, g (x)0 , g (x)为
增函数,
所以 f(x)f(0) 1 ,
因此 a1 , x0 时, f(x) 1 .
(2)方法 1:
若 f(x)在 (0,)只有一个零点,则方程
ex
x2
a 只有一个实数根.
令 h(x)
ex
x2
,等价于函数 y h(x)的图像与直线 y a 只有一个公共点.
x2ex2xexx 2 ex
又 h (x),
x4x3
x(0,2)时,h (x) 0 ,h(x)为减函数,x(2,) 时,h (x)0 ,h(x)为增函数,
所以 h(x)
min
e2
4
e2
则 a时, f(x)在 (0,)只有一个零点.
4
方法 2:
若 f(x)在 (0,)只有一个零点,则方程
ex
x
ax 只有一个实数根.
ex
令 h(x),等价于函数 yh(x)的图像与直线 yax 只有一个公共点.
x
当直线 yax 与曲线 yh(x)相切时,设切点为 (x ,),
0
0
xexexx 1 ex
又 h (x), 则 h (x )
0
x
0
1 ex0 ex0
2 2
0 0
x
0
2 ,此时
4
min h
(1) e,
e2
ah (x ).
0
又当 x(0,1)时, h (x) 0 , h(x)为减函数,
x(1,)时, h (x)0 , h(x)为增函数,
所以 h(x)
且 x0 时 h(x), x时 h(x).
y
根据 yh(x)与 yax 的图像可知,O 1 2
e2
a时,函数 yh(x)的图像与直线 yax 只有一个公共点,即 f(x)在 (0,)只
4
有一个零点.
(二)选考题:
共 10 分.
x
(2)2 .
x2y2
【解析】
(1)消去参数 ,得 C 的直角坐标方程为1 ;
416
消去参数 t,得 l的直角坐标方程为 sinxcosysin2 cos0 ;
( l的直角坐标方程也可写成:
ytan (x 1) 2(
2 ) 或 x 1 .)
x1 tcosx2y 2
(2)方法 1:
将 l的参数方程:
(t为参数 ) 代入 C :
y2 tsin416
1 得:
2tsin
4 1 tcos
2 2
16 ,即 1 3cos2 t2 4 2 cos sin t 8 0 ,
由韦达定理得 t
1
t
2
4 2 cos sin
1 3cos2
,
依题意,曲线 C 截直线 l所得线段的中点对应 t
2
t
2
0 ,即 2 cos sin 0 ,得
tan2 .
因此 l的斜率为2 .
方法 2:
令曲线 C 与直线 l的交点为 A(x ,y ),B (x ,y ),
1122
x 2y 2
111
416
则 由得
x 2y 2
221
416
x
1
x
2
x x y y y y
1 2 1 2 1 2
x
1
x
2
2,y
1
y
2
4 .
所以 x1
x y y y y
2 1 2 0 1 2
2 4 x x
1 2
2 ,即 l的斜率为 2 .
23.【答案】
(1) [ 2,3].
(2){a |a2 或 a6} .
【解析】
(1) a1 时, f(x) 5x 1x 2 ,
x1 时, f(x)5x 1x22x40 ,解得 2x1 ;
1x2 时, f(x) 5x 1x220 ,解得 1x2 ;
x2 时, f(x) 5x 1x22x60 ,解得 2x3 ,
综上所述,当 a1 时,不等式 f(x) 0 的解集为[ 2,3].
又
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