高考数学浙江专版二轮复习与策略 专题13 圆锥曲.docx

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高考数学浙江专版二轮复习与策略专题13圆锥曲

突破点13　圆锥曲线中的综合问题

提炼1

解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握

（1）从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关．

（2）直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值．

（3）在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.

提炼2

用代数法求最值与范围问题时从下面几个方面入手

（1）若直线和圆锥曲线有两个不同的交点，则可以利用判别式求范围．

（2）若已知曲线上任意一点、一定点或与定点构成的图形，则利用圆锥曲线的性质（性质中的范围）求解．

（3）利用隐含或已知的不等关系式直接求范围．

（4）利用基本不等式求最值与范围．

（5）利用函数值域的方法求最值与范围.

提炼3

与圆锥曲线有关的探索性问题

（1）给出问题的一些特殊关系，要求探索出一些规律，并能论证所得规律的正确性．通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律．

（2）对于只给出条件，探求“是否存在”类型问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若推出相符的结论，则存在性得到论证；若推出矛盾，则假设不存在．

回访　直线与圆锥曲线的综合问题

1．（2016·浙江高考）如图131，设椭圆＋y2＝1（a>1）．

图131

（1）求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长（用a，k表示）；

（2）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．

[解]　

（1）设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，

由得（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0，3分

故x1＝0，x2＝－.

因此|AM|＝|x1－x2|＝·.5分

（2）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.7分

记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2>0，k1≠k2.

由

（1）知，|AP|＝，

|AQ|＝，

故＝，9分

所以（k－k）[1＋k＋k＋a2（2－a2）kk]＝0.

由于k1≠k2，k1，k2>0得

1＋k＋k＋a2（2－a2）kk＝0，

因此＝1＋a2（a2－2）．①

因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是

1＋a2（a2－2）>1，

所以a>.13分

因此，任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1

由e＝＝，得0

所求离心率的取值范围为0

2．（2015·浙江高考）已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．

图132

（1）求实数m的取值范围；

（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．

[解]　

（1）由题意知m≠0，

可设直线AB的方程为y＝－x＋b.3分

由消去y，得

x2－x＋b2－1＝0.5分

因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0.①

将线段AB中点M代入直线方程y＝mx＋解得b＝－.②

由①②得m<－或m>.7分

（2）令t＝∈∪，

则|AB|＝·，

且O到直线AB的距离为d＝.10分

设△AOB的面积为S（t），所以

S（t）＝|AB|·d＝≤，

当且仅当t2＝时，等号成立．

故△AOB面积的最大值为.15分

3．（2014·浙江高考）已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：

x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，＝3.

图133

（1）若|PF|＝3，求点M的坐标；

（2）求△ABP面积的最大值．

[解]　

（1）由题意知焦点F（0,1），准线方程为y＝－1.2分

设P（x0，y0），由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得到y0＝2，所以P（2，2）或P（－2，2）．

由＝3得M或M.6分

（2）设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．

由得x2－4kx－4m＝0.8分

于是Δ＝16k2＋16m＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，所以AB的中点M的坐标为（2k,2k2＋m）．

由＝3，得（－x0,1－y0）＝3（2k,2k2＋m－1），

所以由x＝4y0，得k2＝－m＋.10分

由Δ＞0，k2≥0，得－＜m≤.

又因为|AB|＝4·，

点F（0,1）到直线AB的距离为d＝，

所以S△ABP＝4S△ABF＝8|m－1|

＝.

记f（m）＝3m3－5m2＋m＋1，

令f′（m）＝9m2－10m＋1＝0，解得m1＝，m2＝1.12分

可得f（m）在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．

又f＝＞f，所以，当m＝时，f（m）取到最大值，此时k＝±.

所以，△ABP面积的最大值为.15分

热点题型1　圆锥曲线中的定值问题

题型分析：

圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点内容，解决这类问题的关键是引入变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立，数式变换等寻找不受参数影响的量.

　已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）上一点P与椭圆右焦点的连线垂直于x轴，直线l：

y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点（均不在坐标轴上）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，若△AOB的面积为，试判断直线OA与OB的斜率之积是否为定值？

【导学号：

58962055】

[解]　

（1）由题意知解得3分

∴椭圆C的标准方程为＋＝1.4分

（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），

由得（4k2＋3）x2＋8kmx＋4m2－12＝0，5分

由Δ＝（8km）2－16（4k2＋3）（m2－3）＞0，得m2＜4k2＋3.6分

∵x1＋x2＝，x1x2＝，

∴S△OAB＝|m||x1－x2|＝|m|·＝，8分

化简得4k2＋3－2m2＝0，满足Δ＞0，从而有4k2－m2＝m2－3（*），9分

∴kOA·kOB＝＝＝

＝＝－·，由（*）式，得＝1，12分

∴kOA·kOB＝－，即直线OA与OB的斜率之积为定值－.15分

求解定值问题的两大途径

1.→

2．先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．

[变式训练1]　（2016·北京高考）已知椭圆C：

＋＝1过A（2,0），B（0,1）两点．

（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：

四边形ABNM的面积为定值．

[解]　

（1）由题意得a＝2，b＝1，

∴椭圆C的方程为＋y2＝1.3分

又c＝＝，∴离心率e＝＝.5分

（2）证明：

设P（x0，y0）（x0＜0，y0＜0），则x＋4y＝4.6分

又A（2,0），B（0,1），

∴直线PA的方程为y＝（x－2）．

令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋.9分

直线PB的方程为y＝x＋1.

令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋.12分

∴四边形ABNM的面积S＝|AN|·|BM|

＝

＝

＝＝2.

从而四边形ABNM的面积为定值.15分

热点题型2　圆锥曲线中的最值、范围问题

题型分析：

圆锥曲线中的最值、范围问题是高考重点考查的内容，解决此类问题常用的方法是几何法和代数法.

　（2016·全国乙卷）设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（1）证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

[解]　

（1）因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，

所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，

故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.

又圆A的标准方程为（x＋1）2＋y2＝16，从而|AD|＝4，

所以|EA|＋|EB|＝4.2分

由题设得A（－1,0），B（1,0），|AB|＝2，

由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1（y≠0）.4分

（2）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k（x－1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．

由得（4k2＋3）x2－8k2x＋4k2－12＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

所以|MN|＝|x1－x2|＝.

过点B（1,0）且与l垂直的直线m：

y＝－（x－1），点A到直线m的距离为，6分

所以|PQ|＝2＝4.

故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12.8分

可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为（12,8）.12分

当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，

故四边形MPNQ的面积为12.

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8）.15分

与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法

1．数形结合法：

利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．

2．构建不等式法：

利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．

3．构建函数法：

先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．

[变式训练2]　（名师押题）已知抛物线C：

x2＝2py（p＞0），过其焦点作斜率为1的直线l交抛物线C于M，N两点，且|MN|＝16.

（1）求抛物线C的方程；

（2）已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D（0,4），若动圆P与x轴交于A，B两点，求＋的最大值．

[解]　

（1）设抛物线的焦点为F，则直线l：

y＝x＋.

由得x2－2px－p2＝0，

∴x1＋x2＝2p，∴y1＋y2＝3p，

∴|MN|＝y1＋y2＋p＝4p＝16，∴p＝4，

∴抛物线C的方程为x2＝8y.4分

（2）设动圆圆心P（x0，y0），A（x1,0），B（x2,0），

则x＝8y0，且圆P：

（x－x0）2＋（y－y0）2＝x＋（y0－4）2，

令y＝0，整理得x2－2x0x＋x－16＝0，

解得x1＝x0－4，x2＝x0＋4，6分

设t＝＝＝＝，

当x0＝0时，t＝1，　①7分

当x0≠0时，t＝.

∵x0＞0，∴x0＋≥8，

∴t≥＝＝－1，且t＜1，　②

综上①②知－1≤t≤1.11分

∵f（t）＝t＋在[－1,1]上单调递减，

∴＋＝t＋≤－1＋＝2，

当且仅当t＝－1，即x0＝4时等号成立．

∴＋的最大值为2.15分

热点题型3　圆锥曲线中的探索性问题

题型分析：

探索性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在.若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.

　如图134，在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，D（1,0）为线段OF2的中点，且＋5＝0.

图134

（1）求椭圆E的方程；

（2）若M为椭圆E上的动点（异于点A，B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD，ND并分别延长交椭圆E于点P，Q，连接PQ，设直线MN，PQ的斜率存在且分别为k1，k2.试问是否存在常数λ，使得k1＋λk2＝0恒成立？

若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

[解题指导]　

（1）→→→→

（2）→→

→

→→

→→

[解]　

（1）∵＋5＝0，∴＝5，∵a＋c＝5