中考二次函数压轴题专题分类训练.docx
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中考二次函数压轴题专题分类训练
中考二次函数压轴题专题分类训练
题型一:
面积问题
【例1】(2009湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交
y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)求△CAB的铅垂高CD及S△CAB;
(3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点
P,使S△PAB=9
S△CAB,
8
若存在,求出
P点的坐标;若不存在,请说明理由.
y
C
B
D
1
O
1
A
x
图2
【变式练习】
1.(2009广东省深圳市)如图,在直角坐标系中,点
A
的坐标为(
-
2,0),连结
,将线
OA
段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;
(3)在
(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?
若存在,求出点C
的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)如果点P是
(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?
若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.
y
B
AOx
1
2.(2010绵阳)如图,抛物线y=
ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为
A(-4,0)、B
(2,0),与
y
轴交于点,顶点为
.(1,2)为线段
BC
的中点,
的垂直平分线与
x
C
DE
BC
轴、
y
轴分别交于、.
FG
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点
D的坐标;
(2)在直线EF上求一点H,使△CDH的周长最小,并求出最小周长;
D
y
(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当
K运动到什么位置时,
C
△EFK的面积最大?
并求出最大面积.
G
E
A
F
O
Bx
3.(2012铜仁)如图,已知:
直线yx3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c
经过A、B、C(1,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线yx3上有一点P,使ABO与ADP相似,
求出点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上,是否存在点E,使ADE的面积等于四边形APCE的面积?
如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由.
2
题型二:
构造直角三角形
【例2】(2010山东聊城)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛
物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,
并求此时点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠PCB=90o的点P的坐标.
E
【变式练习】
1.(2012广州)如图,抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左
侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
3
2.(2009成都)在平面直角坐标系
xOy中,已知抛物线y=a(x1)2
c(a0)与x轴交于
A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为
M,若直线MC的函数表达式为
ykx3,与x轴的交点为N,且COS∠BCO=
310。
10
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)在此抛物线上是否存在异于点
C的点P,使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条
直角边的直角三角形?
若存在,求出点
P的坐标:
若不存在,请说明理由;
(3)过点A作x轴的垂线,交直线
MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线
与线段NQ总有公共点,则抛物线向上最多可平移多少个单位长度
?
向下最多可平移多少个单
位长度?
y
1
O1x
3.(2012杭州)在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数y=k(x2+x﹣1)的图象交于点
A(1,k)和点B(﹣1,﹣k).
(1)当k=﹣2时,求反比例函数的解析式;
(2)要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,求k应满足的条件以及x的
取值范围;
(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值
4
4.如图
(1),抛物线yx2
x4与y轴交于点A,E(0,b)为y轴上一动点,过点E的
直线
y
xb
与抛物线交于点
、.
BC
(1)求点A的坐标;
(2)当b=0时(如图
(2)),
ABE与
ACE的面积大小关系如何?
当b
4时,上述关
系还成立吗,为什么?
(3)是否存在这样的b,使得BOC是以BC为斜边的直角三角形,若存在,求出b;若不存在,说明理由.
yy
C
C
E
E
BO
x
O
x
B
A
A
图
(1)
图
(2)
第26题
5
题型三:
构造等腰三角形
【例3】如图,已知抛物线
2
3
)与x轴交于点
yaxbx
a
0
A(1
,
0)
B(
3
0)
,
(
≠
和点
-,
与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴上是否存在一点Q使得△ACQ为等腰三角形?
若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三
角形?
若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式练习】
1.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物线
经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m<n)分别
是方程x2﹣2x﹣3=0的两根.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.
①当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标;
②求△BOD面积的最大值,并写出此时点D的坐标.
6
2.如图,抛物线yax25ax4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴
上,点C在y轴上,且AC=BC.
(1)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式;
(2)探究:
若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点,是否存在△PAB是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由.
y
C
B
1
A
01
x
3.(2010黄冈)已知抛物线
yax2
bxc(a
0)顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线
上一点P(x,y)向直线y
5
M,连FM(如图).
作垂线,垂足为
4
(1)求字母a,b,c的值;
(2)在直线x=1上有一点F(1,3),求以PM为底边的等腰三角形
PFM的P点的坐标,并证
4
明此时△PFM为正三角形;
(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由.
7
题型四:
构造相似三角形
【例4】(2011临沂)如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标;
(3)P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使
得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式练习】
1.(2012天水)如图,已知抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得△DCA的面积最大?
若存在,求出
点D的坐标及△DCA面积的最大值;若不存在,请说明理由.
(3)P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,
使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若
不存在,请说明理由.
8
2.如图,二次函数的图象经过点D(0,73),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截
9
得的线段AB的长为6.
(1)求二次函数的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?
如果存在,求出点Q的坐标;如果
不存在,请说明理由.
【例5】(2012苏州)如图,已知抛物线y=错误!
未找到引用源。
x2-错误!
未找到引用源。
(b+1)x+错误!
未找到引用源。
(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C.
(1)点B的坐标为,点C的坐标为(用含b的代数式表示);
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以
点P为直角顶点的等腰直角三角形?
如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两
个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)?
如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,
请说明理由.
9
【变式练习】
1.(2012上海宝山)如图,平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),线段AB垂直于y轴,
垂足为B,将线段AB绕点A逆时针方向旋转
90°,点B落在点C处,直线BC与x轴的交
于点D.
(1)试求出点
D的坐标;
y
(2)试求经过
A、B、D三点的抛物线的表达式,
并写出其顶点E的坐标;B
(3)在
(2)中所求抛物线的对称轴上找点F,使得
A
以点A、E、F为顶点的三角形与
△ACD相似.
1
O1
x
(图7)
2.(
2012上海杨浦区)已知直线
y
1x
1与x轴交于点A,与y轴交于点B,将△AOB绕
2
点
O
顺时针旋转
90
,使点
A
落在点
C
B
落在点
D
yax
2
bxc过点A、D、
,点
,抛物线
,其对称轴与直线
AB
交于点
,
C
P
(1)求抛物线的表达式;
(2)求∠POC的正切值;
y
(3)点M在x轴上,且△ABM与△APD相似,求点M的坐标。
1
O1x
10
3.(2012宁波)如图,二次函数
y=ax2
+bx+c的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0),交y
轴于C(0,﹣2),过A,C画直线.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P在x轴正半轴上,且
PA=PC,求OP的长;
(3)点M在二次函数图象上,以
M为圆心的圆与直线
AC相切,切点为H.
①若M在y轴右侧,且△CHM∽△AOC(点C与点A对应),求点M的坐标;
②若⊙M的半径为
,求点M的坐标.
11
题型五:
构造梯形
【例6】已知,矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示,点A的坐标为(4,0),点C
的坐标为
,直线
2
(0,
2)
y
x
与边
相交于点
.
BC
D
(1)求点D的坐标;
3
(2)抛物线y
ax2
bx
c经过点A、D、O,求此抛物线的表达式;
(3)在这个抛物线上是否存在点M,使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形?
若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式练习】
1.已知平面直角坐标系
xOy
中,抛物线
y
=
ax
2-(+1)
x
与直线
y
=
kx
的一个公共点为
A(4,
a
8).
(1)求此抛物线和直线的解析式;
(2)若点P在线段OA上,过点P作y轴的平行线交
(1)中抛物线于点Q,求线段PQ长度的最大值;
(3)记
(1)中抛物线的顶点为M,点N在此抛物线上,若四边形AOMN恰好是梯形,求点N
的坐标及梯形AOMN的面积.
12
2.(2011义乌)已知二次函数的图象经过
(2,0)、(0,12)
两点,且对称轴为直线
x
=
A
C
4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;
(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?
若存在,求出点
D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒2个单位长度的速度由点P向点O运动,过点M作直线MN//x轴,交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折,得
到△P1MN.在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒,求S关于t的函数关系式.
3.如图1,二次函数yx2
pxq(p0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C
(0,-1),△ABC的面积为5
.
4
(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与△ABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形?
若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
13
题型六:
构造平行四边形
【例7】(2010陕西)如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(—1,0),B(3,0),C
(0,—1)三点。
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标。
【变式练习】
1.(2012成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数(m为常数)的图象
与x轴交于点A(﹣3,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)经过A,C两点,并与x轴的正半轴交于点B.
(1)求m的值及抛物线的函数表达式;
(2)设E是y轴右侧抛物线上一点,过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在
这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点E的坐标
及相应的平行四边形的面积;若不存在,请说明理由;
(3)若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点,过点P任意作一条与y轴不
平行的直线交抛物线于M1(x1,y1),M2(x2,y2)两点,试探究是否为定值,
并写出探究过程.
14
2.如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过
(-4,0)
、(0,
-4)、(2,0)三点.
A
B
C
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点
M的横坐标为m,△MAB的面积为S,求S关
于m的函数关系式,并求出
S的最大值;
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能使以点
P、
、、
O
为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点
Q
的坐标.
QB
3.(2011威海)如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣3,0),点B(1,0),交y轴于
点E(0,﹣3).点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线l过点F且与y轴平行.直线y=﹣x+m过点C,交y轴于D点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点K为线段AB上一动点,过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值;
(3)在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.
15
【例8】已知平面直角坐标系
(如图1),一次函数
3
的图像与
y
轴交于点
,
xOy
yx3
A
4
点M在正比例函数y3x的图像上,且MO=MA.二次函数
2
y=x2+bx+c的图像经过点A、M.
(1)求线段AM的长;
(2)求这个二次函数的解析式;
(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函
数的图像上,点D在一次函数y
3x3的图像上,且四边形
ABCD是菱形,求点C的坐标.
4
【变式练习】
1.将抛物线c1:
y
3x2
3沿x轴翻折,得到抛物线c2,如图1所示.
(1)请直接写出抛物线c2的表达式;
(2)现将抛物线
c
1向左平移
个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为
,与
x
轴的交
m
M
点从左到右依次为
A、B;将抛物线
c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶
点为,与
x
轴的交点从左到右依次为
、.
N
D
E
①当B、D是线段AE的三等分点时,求
m的值;
②在平移过程中,是否存在以点
、、、
为顶点的四边形是矩形的情形?
若存在,
ANE
M
请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
16
题型七:
线段最值问题
【例9】(2011菏泽)如图,抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,
且A(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.
【变式练习】
1.(2009山东省菏泽市)如图,已知抛物线
2
与
轴交于点
(0,3),与
y=ax
+bx+c
y
x
A
轴分别交于B(1,0)、C(5,0)两点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若一个动点P自OA的中点M出发,先到达x轴上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的
坐标,并求出这个最短总路径的长.
y
A
OBCx
17
2.(2011广东深圳)如图13,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0)
(1)求抛物线的解析式
(2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若
直线PQ为抛物线的对称轴,点G为PQ上一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、F、H
四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、H的坐标;若不存在,请说明理
由.
(3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线,垂足为M,过点M作直线MN
∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出点T的坐标;若不存在,
说明理由.
18
【能力提升】
1.(2011福州)
已知,如图11,二次函数yax2
2ax
3a
(a0)
图象的顶点为H,与x轴
交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l
:
y
3x
3对称.
3
(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动
点,连接HN、NM、MK,
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- 中考 二次 函数 压轴 专题 分类 训练