组合数学2章母函数.docx
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组合数学2章母函数
第二章母函数及其应用
问题:
对于不尽相异元素的部分排列和组合,用第一章的方法是比较麻烦的(参见表2.0.1)。
新方法:
母函数方法。
表2.0.1
条件
组合方案数
排列方案数
对应的集合
相异元素,不重复
rn!
Cn!
!
r!
nr!
Pnr4-
nr
Se1,e2,,en
相异元素,可重复
Cnr1
rn
S={e,,e2,
en}
不尽相异
—^=1=^元糸
(有限重复)
特例
r=n
1
n!
nJn?
!
nm
S={n1e,n2e2,,nmem},n1+n2+…+nm=nnk>1,
(k=1,2,…,m)
r=1
m
m
所有nk>r
Cr
匕mr1
rm
至少有一个nk满足Knk 基本思想: 把离散的数列同多项式或幕级数对应起来,从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幕级数之间的运算。 2.1母函数 (一)母函数 (1)定义 定义2.1.1对于数列an,称无穷级数Gxanxn为该数 n0列的(普通型)母函数,简称普母函数或母函数。 (2)例 例2.1.1有限数列C(n,r),r=0,1,2,…,n的普母函数是。 Gx=C0C: xC2x2C: xn=1xn 例2.1.2无限数列{1,1,…,1,-}的普母函数是 Gx=1xx2xn=-^ 1x (3)说明 •an可以为有限个或无限个; •数列an与母函数对应,即给定数列便得知它的母函数;反 之,求得母函数则数列也随之而定; 例如,无限数列{0,1,1,…,1,…}的普母函数是 x2 •这里将母函数只看作一个形式函数,目的是利用其有关运算性质 完成计数问题,故不考虑“收敛问题”,而且始终认为它是可“逐 项微分”和“逐项积分”的 (4)常用母函数 {ak},k=0,1,… G(x) {ak},k—0,1,… G(x) ak=1 1 1x ak—ak 1 1ax ak=k x ak—k+1 1 1x2 1x2 ak=k(k+1) 2x ak—k2 x1x 3 1x 3 1x ak=k(k+1)(k+ 2) 6x 4 1x ak—,任 k 意 1x k ca ao—0,ak— k -In(1-ax) k ak——,任 k! 意 xe 1k COSx 〜1k sin以 ak— 2k! ak— 2k1! 1k ak— 2k1 larctan以vx nk ak— k “n1 1x (二)组合问题 (1)组合的母函数 定理2.1.1组合的母函数: 设Sn1e1,n2e2,,nmem,且ni+n2+…+nm=n,则S的r可重组合的母函数为 mnin Gx=xj=arxr(2.1.1) i1j0r0 其中,r可重组合数为xr之系数ar,r=0,1,2,…,n. 定理2.1.1的优点: •将无重组合与重复组合统一起来处理; •使处理可重组合的枚举问题变得非常简单 (2)特例 推论1S e1,e2,,en,则r无重组合的母函数为 (2.1.2) G(x)=(1+x)n 组合数为xr之系数C(n,r) 推论2Se2, ,则r无限可重组合的母函数为 n G(x)= xj j0 (2.1.3) 组合数为xr之系数C(n+r-1, r) 推论3Se1,e2, 重组合(r>n)的母函数为 en ,每个元素至少取一个,则r可 (2.1.4) G(x)=xj j1 组合数为xr之系数C(r-1,n-1) 推论4Se1, r可重组合的母函数为 en 每个元素出现非负偶数次,则 G(x)=1x2x4 x2n 1x2n (2.1.5) 组合数为xr之系数 0,当r为奇数 ar= 2ri,当r为偶数 推论5Se1,e2, 可重组合的母函数为 G(x)=xx3x5 en,每个元素出现奇数次,则r x2n1 n nx 1x2 2.1.6) 组合数为xr之系数 0,当rn为奇数 ar cnJX亍,当rn为偶数 推论6设Sn〔e1,n2e2,,nmem,且n2+…+nm= n,要求元素ei至少出现ki次,则S的r可重组合的母函数为 mn,n G(x)=xj=arxr(2.1.7) i1jkirk 其中,r可重组合数为xr之系数ar,r=k,k+1,…,n,k=k1+ k2+…+km (3)—般情形: 设S20a,30b,c,并设元素a 只能出现1〜5,10,13,16次,b只允许出现奇数次,c至少出 现5次且必须出现偶数次,求S的r可重组合的母函数。 2 G(x)=xx 10 13 16 296 xx3 (三)应用 例2.1.3设有2个红球,1个黑球,1个白球,问 (1)共有多少种不同的选取方法,试加以枚举? (2)若每次从中任取3个,有多少种不同的取法? 解 (1)设想用X,y,z分别代表红、黑、白三种球,两个红球的取法与X0,X1,X2对应起来,即红球的可能取法与1+x+X2中X的各次幕一一对应,亦即X0=1表示不取,X表示取1个红球,X2表示取两个。 对其它球,依此类推。 则母函数 2 G(x,y,z)=(1+x+x)(1+y)(1+z) =1+(x+y+z)+(x2+xy+xz+yz)+(x2y+x2z+xyz)+ 2 (xyz) 共有5种情况,即 1数字1表示一个球也不取的情况,共有1种方案; 2取1个球的方案有3种,分别为红、黑、白三种球只取1个; 3取2个球的方案有4种,即2红、1红1黑、1红1白、1黑1白; 4取3个球的方案有3种,即2红1黑、2红1白、三色球各一; 5取4个球的方案有1种,即全取。 若令x=y=z=1,就得所有不同的选取方案总数为 G(1,1,1)=1+3+4+3+1=12 (2)若只考虑每次取3个的方案数,而不需枚举,则令y =X,z=X,便有 2234 G(x)=(1+x+x)(1+x)(1+x)=1+3x+4x+3x+x 由X3的系数即得所求方案数为3。 例2.1.4有18张戏票分给甲、乙、丙、丁4个班(不考虑座位号),其中甲、乙两班最少1张,甲班最多5张,乙班最多6张,丙班最少2张,最多7张,丁班最少4张,最多10张,问有多少种不同的分配方案? 解 (1)分析问题: 这实质上是由甲、乙、丙、丁四类共28个元素中可重复地取18个元素的组合问题。 其中S5e1,6e2,7e3,10e4,m=4,n=n1+n2+n3+n4=5+6+7+10=28,k=k1k2k3k4=1+1+2+4=8,r=18。 由推论6知相应的母函数为 67 ii XX i1i2 140种分配方案。 G(x)= 求解: 5 i X i1 共有 10 i X i4 81828 =x+…+140x+…+x 所以, (3)特殊情况处理: 若将戏票数改为下限数ki=0(i=1,2,3,4),这时 r=4张,各班所分戏票的 5 G1(x)=xi i0 6 i X 0 7 i X 0 10 i X i0 =14x35x4 x28 G2(X)= Xi 0 4x 1_ 1X435x4 5 4495x28 中x4的系数是一样的, 因为将xi扩展为i0 数,故用G2(x)计算要比用G1(x)方便得多。 同理,当r=6时,可以用 Xi并不影响 0 4的系 5 G3(x)=xi i0 来代替G1(x)求x6的系数。 r只(rn),要求其中没有任何两只是成对的,问共有多少种不同的取法? 例2.1.5从n双互相不同的鞋中取出 解法一: 用母函数方法。 即视为S2e^,2e2,,2en,但同 类中的两个ei不一样,即S应为 Se11,e12,e21,e22,,en1,en2 故其r重组合的母函数为 nnnrr G(x)=(1+2x)n=2rxr r0r 即不同的取法共有arn2r种。 r 由于每类元素最多只能出现一次,故G(x)=12xn中不能有 x2项,再由同双的两只鞋子有区别知,x的系数应为2。 解法二: 用排列组合。 先从n双鞋中选取r双,共有n种选法,r 再从此r双中每双抽取一只,有2r种取法,由乘法原理,即得结果同上。 解法三: 仍用排列组合。 先取出k只左脚的鞋,再在其余nk双 鞋中取出rk只右脚的鞋k nnnn1 ar= r0r1r1 0,1,2,,r,即得取法数为 nn2nnr 2r2r0 由此得组合恒等式 n n n n 1 n n 2 n nrnr =2r 0 r 1 r 1 2 r 2 r 0r 此类问题的一般提法是: 设集合S中共有m类元素,其中第i类有ni个,且同类的元素也互不相同,即S=e11,e12,,e1n1;e21,e22,,e2n2;;em1,em2,,emnm。 现从中取出r个,若规定第i类元素不能少于ki个,则S的r组合的母函数为mninjj G(x)=;xJ i1jkiJ 例如,把5本相同的书分给甲、乙、丙3个班,再发到个人手上,每人最多发一本。 考虑将分给某班的某本书发给该班的同学A与将其发给同学B被认为是不同的分法(每个同学最多一本),而且甲、乙两班最少1本,甲班最多5本,乙班最多6本,丙班最少2本,最多9本,问有多少种不同的分配方案? 这时,S—en,e12,,e15;e21,e22,,e26;e31,e32,,e39, m3,n=n2n3=5+6+9=20,k=k1k2k3=1+1+2=4, r=5。 故r组合母函数为, G(x)= 55i66ixxi1ii1i 99 i2i i x 56 94 = x4 11 2 5 69569 56 95 + x+… 1 13122 21 2 5 6920 + x20 5 69 =1080x4 +7380x5+…+x20 所以,共有7380种分配方案。 说明: 这里不能认为此问
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