八年级数学全等三角形培优数学竞赛.docx
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八年级数学全等三角形培优数学竞赛
八年级培优班数学全等三角形复习题
1.如图1,已知在等边△ABC中,BD=CE,AD与BE相交于P,则∠APE的度数是 。
2.如图2,点E在AB上,AC=AD,BC=BD,图中有 对全等三角形。
3.如图3,OA=OB,OC=OD,∠O=60°,∠C=25°,则∠BED等于 度。
4.如图4所示的2×2方格中,连接AB、AC,则∠1+∠2= 度。
5.如图5,下面四个条件中,请你以其中两个为已知条件,第三个为结论,推出一个正确的命题。
( )
①AE=AD;②AB=AC;③OB=OC;④∠B=∠C。
6.如图6,在△ABC中,∠BAC=90°,延长BA到点D,使AD=
AB,点E、F分别为边BC、AC的中点。
(1)求证:
DF=BE;
(2)过点A作AG∥BC,交DF于点G,求证:
AG=DG。
7.如图7,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,AB>AD,下列结论正确的是( )
A. AB-AD>CB-CD B. AB-AD=CB-CD
C. AB-AD<CB-CD D. AB-AD与CB-CD的大小关系不确定
9.如图9,在△ABC中,AC=BC=5,∠ACB=80°,O为△ABC中一点,∠OAB=10°,∠OBA=30°,则线段AO的长是 。
10.如图10,已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB。
求证:
(1)AP=AQ;
(2)AP⊥AQ。
11.如图11,在△ABC中,∠C=60°,AC>BC,又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等边三角形,而点D在AC上,且BC=DC。
(1)证明:
△C′BD≌△B′DC;
(2)证明:
△AC′D≌△DB′A;
12.如图12,在△ABC中,D、E分别是AC、BC上的点,若△ADB≌EDB≌EDC,则∠C的度数为 。
13.如图13,已知△ABC的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是 。
14.如图14,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于H点,请你添加一个适当的条件:
,使△AEH≌△CEB。
15.如图15,在△ABC中,已知AB=AC,要使AD=AE,需要添加的一个条件是 。
16.有一腰长为5㎝,底边长为4㎝的等腰三角形纸片,沿着底边上的中线将纸片剪开,得到两个全等的直角三角形纸片,用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 个不同的四边形。
17.如图16,△ABF和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的,若∠1:
∠2:
∠3=28:
5:
3,则∠α的度数为 。
18.如图17,已知CE⊥AD于E,BF⊥AD于F,你能说明△BDF和△CDE全等吗?
若能,请你说明理由;若不能,在不用增加辅助线的情况下,请添加其中一个适当的条件,这个条件是 ,来说明这两个三角形全等,并写出证明过程。
19.如图19,在△ABC中,AB=AC,过点A作GE∥BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的延长线分别交GE于点E、G。
试在图中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明。
20.如图20,在△AFD和△BEC中,点A、E、F、C在同一直线上,有下面四个论断:
①AD=CB;②AE=CF;③∠B=∠D;④AD∥BC。
请用其中有一个作为条件,余下的一个作为结论,编一道数学问题,并写出解答过程。
21.如图21-①,小明剪了一个等腰梯形ABCD,其中AD∥BC,AB=DC;又剪了一个等边△EFG,同桌的小华拿过来拼成如图②的形状,她发现AD与FG恰好完全重合,于是她用透明胶带将梯形ABCD与△EFG粘在一起,并沿EB、EC剪下。
小华得到的△EBC是什么三角形?
请你作出判断并说明理由。
22.如图22,在△ABC与△DEF中,给出以下六个条件:
①AB=DE;②BC=EF;③AC=DF;④∠A=∠D;⑤∠B=∠F;⑥∠A=∠D,以其中三个条件作为已知,不能判断△ABC与△DEF全等的是( )
A. ①⑤② B. ①②③ C. ④⑥① D. ②③④
23.如图23
(1),在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,将△ADE沿线段DE向下折叠,得到图23
(2),下列关于图23
(2)的四个结论中,不一定成立的是( )
A. 点A落在BC边的中点 B. ∠B+∠1+∠C=180°
C. △DBA是等腰三角 D. DE∥BC
24.如图24,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是( )
A. ∠M=∠N B. AB=CD C. AM=CN D. AM∥CN
25.如图25,在△ABC中,点D在AB上,点E在BC上,BD=BE。
(1)请你再添加一个条件,使得△BEA≌△BDC,并给出证明,你添加的条件是:
。
并给出证明。
(2)根据你添加的条件,再写出图中的一对全等三角形:
(只要求写出一对全等三角形,不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母,不必写出证明过程)。
26.如图26,在△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于D点,E在AD上,且DE=CD,求证:
BE=AC。
27.已知:
如图27,给出下列三个式子:
①EC=BD;②∠BDA=∠CEA;③AB=AC;请将其中的两个式子作为题设,一个式子作为结论,构成一个真命题(收发室形式:
如果……,那么……),并给出证明。
28.如图28,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,已知∠ADC=∠BCD,AD=BC,求证:
AO=BO。
29.如图29,在△ABC和△DEF中,B、E、C、F在同一直线上,下面有四个条件,请你在其中选3个作为题设,余下一个作为结论,写一个真命题,并加以证明。
①AB=DE;②AC=DF;③∠ABC=∠DEF;④BE=CF。
30.如图30,已知△ABC为等边三角形,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且△DEF也是等边三角形。
(1)除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,并证明你的猜想是正确的;
(2)你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化想到得到?
写出变化过程。
31.如图31,点B在AE上,∠CAB=∠DAB,要使△ABC≌△ABD,可补充的一个条件是:
(写一个即可)。
32.如图32,AC交BD于点O,请你从下面三项中选出两个作为条件,另一个为结论,写出一个真命题,并加以证明。
①OA=OC;②OB=OD;③AB∥DC。
33.如图33,要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥,由于条件限制,无法直接度量A、B两点间的距离。
请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案。
(1)画出测量图案;
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示);
(3)设计AB的距离(写出求解或推理过程,结果用字母表示)。
34.如图34,在△ABC中,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,AE=CE,AB与CF有什么位置关系?
证明你的结论。
35.如图35,OP是∠AOC和∠BOD的平分线,OA=OC,OB=OD。
求证:
AB=CD。
36.如图36,已知AB=AC,
(1)若CE=BD,求证:
GE=GD;
(2)若DE=mBD(m为正数),试猜想GE与GD有何关系。
(只写结论,不证明)
37.复习“全等三角形”知识时,都是布置了一道作业题:
“如图37
(1),已知在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内任意一点,将AP绕点A顺时针旋转至AQ,使∠QAP=∠BAC,连接BQ、CP,则BQ=CP。
”
小亮是个爱动脑筋的同学,他通过图
(2)的分析,证明了△ABQ≌△ACP,从而证得BQ=CP,之后,他将点P移到等腰三角形ABC之外,原题中其他条件不变,发现“BQ=CP”仍然成立,请你就图
(2)给出证明。
38.文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形,写出“已知”“求证”(如图38),她们对各自所作的辅助线描述如下:
文文:
“过点A作BC的中垂线AD,垂足为D”;
彬彬:
“作△ABC的角平分线AD”。
数学老师看了两位同学的辅助线作法后说:
“彬彬的作法是正确的,而文文的作法需要订正。
”
(1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里;
(2)根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程。
39.将两块全等的含30°角的三角尺如图39
(1)摆放在一起,它们的较短直角边长为3。
(1)将△ECD沿直线
向左平移到图
(2)的位置,使E点落在AB上,则CC′= ;
(2)将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置,使点E落在AB上,则△ECD绕点C旋转的度数= ;
(3)将△ECD沿直线翻折到图(4)的位置,ED′与AB相交于F,求证:
AF=FD′。
40.已知:
点O至△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB=OC。
(1)如图40
(1),若点O在边BC上,求证:
AB=AC;
(2)如图
(2),若点O在△ABC的内部,求证:
AB=AC;
(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?
请画图表示。
41.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是( )
A. 两个锐角相等 B. 两条边对应相等
C. 一条边与一个锐角对应相等 D. 斜边与一个锐角对应相等
42.如图43,AD是△ABC的中线,E、F分别在AB、AC上,且DE⊥DF,则( )
A. BE+CF>EF B. BE+CF=EF
C. BE+CF<EF D. BE+CF与EF的大小关系不确定
43.如图44,在△ABC中,E、D分别是边AB、AC上的点,BD、CE交于F,AF的延长线交BC于H点,若∠1=∠2,AE=AD,则图中的全等三角形共有( )对。
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
44.如图45,将△ABC绕着C点按顺时针方向旋转20°,B点落在B′点位置,A点落在A′点位置,若AC⊥A′B′,则∠BAC= 。
45.如图46,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4。
将矩形ABCD沿AC折叠,则重叠部分△AFC的面积为 。
46.如图47,设正△ABC的边长为2,M是AB边上的中点,P是BC边上的任意一点,PA+PM的最大值和最小值分别记为s和t,则s2-t2= 。
47.如图48,D为等边△ABC内一点,DB=DA,BF=AB,∠DBF=∠DBC,则∠BFD的度数为 °。
48.如图49,在△ABC和△A′B′C′中,CD、C′D′分别是∠ACB、A′C′B′的角平分线,且CD=C′D′,AB=A′B′,∠ADC=∠A′D′C′。
你能判断△ABC与△A′B′C′全等吗?
如果能,请给出证明;如果不能,请说明理由。
49.如图50,△ABC是正三角形,△A1B1C1的三条边A1B1、B1C1、C1A1交△ABC各边于C2、C3、A2、A3、B2、B3,已知A2C3=C2B3=B2A3,且C2C32+B2B32=A2A32,请你证明:
A1B1⊥C1A1。
提示:
如图过A3作A3M∥C1A1,过B3作B3M∥AB。
连结C2M、A2M。
△MB3C2为正三角形。
四边形MC2C3A2是平行四边形
有MA22+A3M2=A2A32
A3M⊥A2M
A1B1⊥C1A1。
50.如图51,点C在线段AB上,DA⊥AB,EB⊥AB,FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB,∠AFB=51°,求∠DFE的度数。
提示:
连结AE、BD
△ABE≌△FCA △ABD≌△CFB
△AEF △BDF都等腰直角三角形。
51.如图52,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,求五边形ABCDE的面积。
提示:
旋转△AED至△ABF处。
△ACF≌△ACD
图52
52.如图53,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,交CD于K,交BC于E,F是BE上的一点,且BF=CE。
求证:
FK∥AB。
提示:
过E作EG⊥AB于G。
△CKF≌△EGB
∠CFK=∠B
53.已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°),它的3个项点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上。
求△ABC直角边长的最大可能值。
解:
注:
其中
,为韦达定理:
当
时,一元二次方程有两个实数根;当
时,一元二次方程有一个实数根;当
,一元二次方程无实数根。
54.如图54,AA′、BB′、CC′交于点O,且AA′=BB′=CC′=1,∠AOC′=∠BOA′=∠COB′=60°。
求证:
(1)S△AOC′+S△BOA′+S△COB′<
;
(2)S△AOC′、S△BOA′、S△COB′中至少有一个不大于
。
证明:
(1)延长C′C至D,取CD=C′O,延长BB′至E,取B′E=BO。
则△ODE为正三角形
在ED上取EF=OA′,连接B′F、CF。
则△EB′F≌△OBA′,△CDF≌△C′OA
S△EOD=
∴S△AOC′+S△BOA′+S△COB′<
。
(2)假设S△AOC>
、S△BOA′>
、S△COB>
。
记OA=
,OB=
,OC=
,则根据余弦定理求面积公式,有:
整理后:
三式相乘
。
而
,故
。
矛盾。
因此,题目结论成立。
55.如图55,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形,则四边形AEFD的面积为 。
56.如图56,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,∠MDN=60°,则△AMN的周长= 。
57.如图57,已知四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,求证:
BC+DC=AC。
58.如图58,ABCDEF为一正六边形,问:
风筝形ABCF的面积是正六边形面积的几分这几?
59.如图59,△ABC中阴影面积占总面积的分数是多少?
60.如图60,一个等腰直角三角形XYZ外接于正方形PQRS。
三角形XYZ的面积是
。
请问:
正方形PQRS的面积是多少?
61.如图61,三个正六边形大小相同。
X、Y、Z表示六边形中阴影部分的面积。
下面哪一个说法正确?
( )
A. X等于Y,但不等于Z B. X等于Z,但不等于Y
C. Y等于Z,但不等于X D. X等于Y,也等于Z
E. X、Y、Z不相同
62.如图62,ABCDEF是一个面积为60的正六边形。
请问:
风筝形状ABCE的面积是多少?
63.如图63,外面的等边三角形面积为1,A、B、C三点位于三条边的
位置上。
请问等边△ABC的面积是多少?
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