数学选修22第一章导数及其应用练习题.docx

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数学选修22第一章导数及其应用练习题

第一章　导数及其应用

1．1　变化率与导数

1．1.1　变化率问题1．1.2　导数的概念

1．已知函数f（x）＝2x2－4的图象上一点（1，－2）及邻近一点（1＋Δx，－2＋Δy），则

等于（　　）．

A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2（Δx）2

2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是（　　）．

A．4B．4.1C．0.41D．3

3．如果某物体的运动方程为s＝2（1－t2）（s的单位为m，t的单位为s），那么其在1.2s末的瞬时速度为（　　）．

A．－4.8m/sB．－0.88m/sC．0.88m/sD．4.8m/s

4．已知函数y＝2＋

，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________.

5．已知函数y＝

，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.

6．利用导数的定义，求函数y＝

＋2在点x＝1处的导数．

7．已知函数y＝f（x）＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为（　　）．

A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44

8．设函数f（x）可导，则

等于（　　）．

A．f′

（1）B．3f′

（1）C.

f′

（1）D．f′（3）

9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．

10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．

11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．

12．（创新拓展）已知f（x）＝x2，g（x）＝x3，求满足f′（x）＋2＝g′（x）的x的值．

1.1.3　导数的几何意义

1．已知曲线y＝

x2－2上一点P

，则过点P的切线的倾斜角为（　　）．

A．30°B．45°C．135°D．165°

2．已知曲线y＝2x3上一点A（1,2），则A处的切线斜率等于（　　）．

A．2B．4C．6＋6Δx＋2（Δx）2D．6

3．设y＝f（x）存在导函数，且满足

＝－1，则曲线y＝f（x）上点（1，f

（1））处的切线斜率为（　　）．

A．2B．－1C．1D．－2

4．曲线y＝2x－x3在点（1,1）处的切线方程为________．

5．设y＝f（x）为可导函数，且满足条件

＝－2，则曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线的斜率是________．

6．求过点P（－1,2）且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M（1,1）处的切线平行的直线．

7．设函数f（x）在x＝x0处的导数不存在，则曲线y＝f（x）（　　）．

A．在点（x0，f（x0））处的切线不存在B．在点（x0，f（x0））处的切线可能存在

C．在点x0处不连续D．在x＝x0处极限不存在

8．函数y＝－

在

处的切线方程是（　　）．

A．y＝4xB．y＝4x－4C．y＝4x＋4D．y＝2x－4

9．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p的值为________．

10．已知曲线y＝

－1上两点A

、B（2＋Δx，－

＋Δy），当Δx＝1时割线AB的斜率为________．

11．曲线y＝x2－3x上的点P处的切线平行于x轴，求点P的坐标．

12．（创新拓展）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P（1,1），Q（2，－1），且在点Q处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．

1．2　导数的计算

1．2.1　几个常用函数的导数

1．2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

第1课时　基本初等函数的导数公式

1．已知f（x）＝x2，则f′（3）（　　）．

A．0B．2xC．6D．9

2．f（x）＝0的导数为（　　）．

A．0B．1C．不存在D．不确定

3．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于（　　）．

A．1B．2C．3D．4

4．设函数y＝f（x）是一次函数，已知f（0）＝1，f

（1）＝－3，则f′（x）＝________.

5．函数f（x）＝

的导数是________．

6．在曲线y＝x3＋x－1上求一点P，使过P点的切线与直线y＝4x－7平行．

7．设f0（x）＝sinx，f1（x）＝f0′（x），f2（x）＝f1′（x），…，fn＋1（x）＝fn′（x），n∈N，则f2010（x）＝（　　）．

A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx

8．下列结论

①（sinx）′＝－cosx；②

′＝

；③（log3x）′＝

；④（lnx）′＝

.

其中正确的有（　　）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

9．曲线y＝

在点Q（16,8）处的切线的斜率是________．

10．曲线y＝

在点M（3,3）处的切线方程是________．

11．已知f（x）＝cosx，g（x）＝x，求适合f′（x）＋g′（x）≤0的x的值．

12．（创新拓展）求下列函数的导数：

（1）y＝log4x3－log4x2；

（2）y＝

－2x；（3）y＝－2sin

（2sin2

－1）．

第2课时　导数的运算法则及复合函数的导数

1．函数y＝

的导数是（　　）．

A.

B.

C.

D.

2．已知f（x）＝ax3＋3x2＋2，若f′（－1）＝4，则a的值为（　　）．

A.

B.

C.

D.

3．已知f

＝

，则f′（x）等于（　　）．

A.

B．－

C.

D．－

4．若质点的运动方程是s＝tsint，则质点在t＝2时的瞬时速度为________．

5．若f（x）＝log3（x－1），则f′

（2）＝________.

6．过原点作曲线y＝ex的切线，求切点的坐标及切线的斜率．

7．函数y＝（x－a）（x－b）在x＝a处的导数为（　　）．

A．abB．－a（a－b）C．0D．a－b

8．当函数y＝

（a>0）在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝（　　）．

A．aB．±aC．－aD．a2

9．若f（x）＝（2x＋a）2，且f′

（2）＝20，则a＝________.

10．函数f（x）＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为________．

11．曲线y＝e2x·cos3x在（0,1）处的切线与直线L的距离为

，求直线L的方程．

12．（创新拓展）求证：

可导的奇函数的导函数是偶函数．

1.3　导数在研究函数中的应用

1．3.1　函数的单调性与导数

1．在下列结论中，正确的有（　　）．

（1）单调增函数的导数也是单调增函数；

（2）单调减函数的导数也是单调减函数；

（3）单调函数的导数也是单调函数；

（4）导函数是单调的，则原函数也是单调的．

A．0个B．2个C．3个D．4个

2．函数y＝

x2－lnx的单调减区间是（　　）．

A．（0,1）B．（0,1）∪（－∞，－1）

C．（－∞，1）D．（－∞，＋∞）

3．若函数f（x）＝x3－ax2－x＋6在（0,1）内单调递减，则实数a的取值范围是（　　）．

A．a≥1B．a＝1C．a≤1D．0

4．函数y＝ln（x2－x－2）的递减区间为________．

5．若三次函数f（x）＝ax3＋x在区间（－∞，＋∞）内是增函数，则a的取值范围是________．

6．已知x>1，证明：

x>ln（1＋x）．

7．当x>0时，f（x）＝x＋

的单调递减区间是（　　）．

A．（2，＋∞）B．（0,2）C．（

，＋∞）D．（0，

）

8．已知函数y＝f（x）的导函数f′（x）＝ax2＋bx＋c的图象

如图所示，则y＝f（x）的图象可能是（　　）．

9．使y＝sinx＋ax为R上的增函数的a的范围是________．

10．已知f（x）＝x2＋2xf′

（1），则f′（0）＝________.

11．已知函数f（x）＝x3＋ax＋8的单调递减区间为（－5,5），求函数y＝f（x）的递增区间．

12．（创新拓展）求下列函数的单调区间，并画出大致图象：

（1）y＝x＋

；　

（2）y＝ln（2x＋3）＋x2.

1.3.2　函数的极值与导数

1．下列函数存在极值的是（　　）．

A．y＝

B．y＝x－ex

C．y＝x3＋x2＋2x－3D．y＝x3

2．函数y＝1＋3x－x3有（　　）．

A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3

C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3

3．函数f（x）的定义域为R，导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）（　　）．

A．无极大值点，有四个极小值点

B．有三个极大值点，两个极小值点

C．有两个极大值点，两个极小值点

D．有四个极大值点，无极小值点

4．设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是________．

5．已知函数y＝

，当x＝________时取得极大值________；当x＝________时取得极小值________．

6．求函数f（x）＝x2e－x的极值．

7．函数f（x）＝2x3－6x2－18x＋7（　　）．

A．在x＝－1处取得极大值17，在x＝3处取得极小值－47

B．在x＝－1处取得极小值17，在x＝3处取得极大值－47

C．在x＝－1处取得极小值－17，在x＝3处取得极大值47

D．以上都不对

8．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是（　　）．

A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9x

C．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9x

9．函数f（x）＝x3＋3ax2＋3（a＋2）x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．

10．函数y＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．

11．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时函数有极大值3，

（1）求a，b的值；

（2）求函数y的极小值．

12．（创新拓展）设函数f（x）＝

x3＋bx2＋cx＋d（a>0），且方程f′（x）－9x＝0的两个根分别为1,4.

（1）当a＝3且曲线y＝f（x）过原点时，求f（x）的解析式；

（2）若f（x）在（－∞，＋∞）内无极值点，求a的取值范围．

1．3.3　函数的最大（小）值与导数

1．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是（　　）．

A．0B.

C.

D.

2．函数f（x）＝x3－3ax－a在（0,1）内有最小值，则a的取值范围为（　　）．

A．0≤a<1B．0

C．－1

3．设f（x）＝x（ax2＋bx＋c）（a≠0）在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是（　　）．

A．（a，b）B．（a，c）C．（b，c）D．（a＋b，c）

4．函数y＝x＋2cosx在区间

上的最大值是________．

5．函数f（x）＝sinx＋cosx在x∈

的最大、最小值分别是________．

6．求函数f（x）＝x5＋5x4＋5x3＋1在区间[－1,4]上的最大值与最小值．

7．函数y＝

＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是（　　）．

A．－

B．－

C．－4D．－

8．已知函数f（x）＝2x3－6x2＋m（m为常数）在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为（　　）．

A．－37B．－29C．－5D．－11

9．函数f（x）＝

，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________．

10．如果函数f（x）＝x3－

x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f（x）在[－1,1]上的最小值是________．

11．已知函数f（x）＝－x3＋3x2＋9x＋a.

（1）求f（x）的单调递减区间；

（2）若f（x）在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

12．（创新拓展）已知函数f（x）＝x2e－ax（a>0），求函数在[1,2]上的最大值．

1.4　生活中的优化问题举例

1．如果圆柱截面的周长l为定值，则体积的最大值为（　　）．

A.

3πB.

3πC.

3πD.

3π

2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为（　　）．

A．2πr2B．πr2C．4πrD.

πr2

3．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R（x）＝

则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（　　）．A．150B．200C．250D．300

一、填空：

4．有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x＝________.

5．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．

17、细胞学说的建立被誉为19世纪自然科学的三大发现之一。

6．如图所示，已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．

24、目前，我国的航天技术在世界上占有相当重要的位置。

“长征四号”运载火箭的顺利发射，载人飞船“神舟”五号和“神舟”六号和“神舟”七号也已经发射成功，“嫦娥”一号探月卫星又发射成功。

答：

如水资源缺乏，全球气候变暖，生物品种咖快灭绝，地球臭氧层受到破坏，土地荒漠化等世界性的环境问题。

7．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（　　）．A.

B.

C.

D．2

8．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是（　　）．

六年级下册科学复习资料A.

cm2B．4cm2C．3

cm2D．2

cm2

9．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大．

10．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．

答：

当月球运行到地球和太阳的中间，如果月球挡住了太阳射向地球的光，便发生日食。

11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2＋

）x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．

（1）试写出y关于x的函数关系式；

（2）当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

答：

月相从新月开始，然后是峨眉月、上弦月、满月、下弦月、峨眉月。

18、大多数生物都是由多细胞组成的，但也有一些生物，它们只有一个细胞，称为单细胞生物。

如草履虫、变形虫、细菌等。

14、大我数地区的自来水水源取自水库、湖泊或河流。

自来水是主要的饮用水，饮用水源受到污染，会直接影响我们的身体健康。

12．（创新拓展）如图所示，在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？

最大容积是多少？

1、放大镜为什么能放大物体的图像呢？

我们注意到它的特点了吗？

（P3）