两位数乘法速算技巧.docx

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两位数乘法速算技巧

两位数乘法速算技巧

两位数乘法速算口诀：

两位数乘法速算口诀一般口诀：

首位之积排在前，首尾交叉积之和十倍再加尾数积。

如37x64=1828+（3x4+7x6）x10=2368

1、首同尾互补，首位乘以大一数，尾数之积后面接。

如：

23×27=621

2、尾同首互补，首位之积加上尾，尾数之积后面接。

87×27=2349

3、首位差一尾数互补者，大数首尾平方减。

如76×64=4864

4、末位皆一者，首位之积接着首位之和，尾数之积后面接。

如：

51×21=“几十一乘几十一”速算特殊：

用于个位是1的平方，如21×21=441

5、首同尾不同，一数加上另数尾，整首倍后加上尾数积。

23×25=575

1）首位皆一者，一数加上另数尾，十倍加上尾数积。

17×19=323----“十几乘十几”速算包括了十位是1（即11~19）的平方，如11×11=121----“十几平方”速算

2）首位皆二者，一数加上另数尾，廿倍加上尾数积。

25×29=725----“二十几乘二十几”速算

3）首位皆五者，廿五接着尾数积，百位再加尾数之和半。

57×57=3249----“五十几乘五十几”速算

4）首位皆九者，八十加上两尾数，尾补之积后面接。

95×99=9405----“九十几乘九十几”速算

5）首位是四平方者，十五加上尾，尾补平方后面接。

46×46=2116----“四十几平方”速算

6）首位是五平方者，廿五加上尾，尾数平方后面接。

51×51=2601----“五十几平方”速算

6、互补乘以叠数者，首位加一乘以叠数头，尾数之积后面接。

37×99=3663

7、末位是五平方者，首位加一乘以首，尾数之积后面接。

如65×65=4225----“几十五平方”速算

8、某数乘以一一者，首尾拉开，首尾之和中间站。

如34×11=33+44=374

9、某数乘以十五者，原数加上原数的一半后后面加个0（原数是偶数）或小数点往后移一位。

如151×15=2265，246×15=3690

10、一百零几乘一百零几，一数加上另数尾，尾数之积后面接。

如108×107=11556

11、俩数差2者，俩数平均数平方再减去一。

如49x51=50x50-1=2499

12、几位数乘以几位九者，这个数减去（位数前几位的数＋1）的差作积的前几位，末位与个位补足几个0。

1）一个数乘9：

这个数减去（个位前几位的数＋1）的差作积的前几位，末位与个位补足104×9=36想：

个位前是0,4－（0＋1）＝3,末位是10－4＝6合起来是36783×9＝7047想个位前是78,783－（78＋1）＝704,末位是10－3＝7合起来是7047

2）一个数乘99：

这个数减去（十位前几位的数＋1），末两位凑100：

14×99＝14－（0＋1）＝13,100－14＝861386158×99＝158－（1＋1）=156,100－58=42156427357×99=7357－（73＋1）=7283100－57=43728343

3）一个数乘999：

可以依照上面的方法进行推理：

这个数减去（百位前几位的数＋1），末三位凑100011234×999＝11234-（11+1）＝11222，末三位是1000-234＝766，

1.乘以11：

分一分，加一加

2.乘以15：

双数，加半添0；单数，减1，加半，添5

3.乘以25：

除以4后，余数相应

4.乘以99：

减个1，添补数

5.十几乘以十几：

尾乘尾，明加，暗加，添尾数

6.二十几乘以二十几：

尾乘尾，明加，翻一翻，暗加，添尾数

7.三十几乘以三十几：

尾乘尾，明加，乘以3，暗加，添尾数

8.四十几乘以四十几：

尾乘尾，明加，翻两翻，暗加，添尾数

9.五十几乘以五十几：

尾乘尾，明加，添0折半，暗加，添尾数

10.九十几乘以九十几：

减补数，补乘补

11.头同尾补：

头*（头+1），尾*尾

12.头补尾同：

头*头+同，尾*尾

13.一同一补：

同*（头+1），尾*尾

14.姐妹相乘：

用大数，头自乘减1，尾自乘改补数

15.几十一乘以几十一：

乘一乘，加一加，添个1

16.几十几乘以十几：

尾乘尾，前头*后尾，明加，暗加，添尾数

17.尾同头没补：

（头+头）*同，头*头，暗加，尾*尾，暗加几个十

18.一同没补：

（头+尾）*同，头*头，暗加，尾*尾，暗加几个十

19.一同一同：

同*同*2，头*头，暗加，尾*尾，暗加几个十

20.没同没补：

前头*后尾+前尾*后头，头*头，暗加，尾*尾，暗加几个十

原理：

设两位数分别为10A+B，10C+D,其积为S,根据多项式展开：

　　S=（10A+B）×（10C+D）=10A×10C+B×10C+10A×D+B×D，而所谓速算，就是根据其中一些相等或互补（相加为十）的关系简化上式，从而快速得出结果。

　　注：

下文中“--”代表十位和个位，因为两位数的十位相乘得数的后面是两个零，请大家不要忘了，前积就是前两位,后积是后两位,中积为中间两位，满十前一,不足补零.

　　A.乘法速算

　　一．前数相同的：

　　1.1.十位是1,个位互补,即A=C=1,B+D=10,S=（10+B+D）×10+A×B

　　方法：

百位为二，个位相乘，得数为后积，满十前一。

　　例：

13×17

　　13+7=2--（“-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）

　　3×7=21

　　-----------------------

　　221

　　即13×17=221 

　　.十位是1,个位不互补,即A=C=1,B+D≠10,S=（10+B+D）×10+A×B

　　方法：

乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一。

　　例：

15×17

　　15+7=22-（“-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）

　　5×7=35

　　-----------------------

　　255

　　即15×17=255 

　　.十位相同,个位互补,即A=C,B+D=10,S=A×（A+1）×10+A×B

　　方法:

十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积

　　例：

56×54

　　（5+1）×5=30-- 

　　6×4=24

　　----------------------

　　3024

　　.十位相同,个位不互补,即A=C,B+D≠10,S=A×（A+1）×10+A×B

　　方法:

先头加一再乘头两，得数为前积，尾乘尾，的数为后积，乘数相加，看比十大几或小几，大几就加几个乘数的头乘十，反之亦然

　　例：

67×64

　　（6+1）×6=42

　　7×4=28

　　7+4=11

　　11-10=1

　　4228+60=4288

　　----------------------

　　4288

　　方法2：

两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。

　　例：

67×64

　　6×6=36--

　　（4+7）×6=66-

　　4×7=28

　　----------------------

　　4288

　　二、后数相同的：

　　.个位是1，十位互补即B=D=1,A+C=10S=10A×10C+101

　　方法：

十位与十位相乘，得数为前积，加上101.。

　　--8×2=16-- 

　　101

　　-----------------------

　　1701

　　.<不是很简便>个位是1，十位不互补即B=D=1,A+C≠10S=10A×10C+10C+10A+1

　　方法：

十位数乘积，加上十位数之和为前积，个位为1.。

　　例：

71×91

　　70×90=63-- 

　　70+90=16- 

　　1

　　----------------------

　　6461

　　个位是5，十位互补即B=D=5,A+C=10S=10A×10C+25

　　方法：

十位数乘积，加上十位数之和为前积，加上25。

　　例：

35×75

　　3×7+5=26-- 

　　25

　　----------------------

　　2625

　　<不是很简便>个位是5，十位不互补即B=D=5,A+C≠10S=10A×10C+525

　　方法：

两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两十位数的和与个位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。

　　例:

75×95

　　7×9=63-- 

　　（7+9）×5=80- 

　　25

　　----------------------------

　　7125

　　.个位相同，十位互补即B=D,A+C=10S=10A×10C+B100+B2

　　方法：

十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方。

　　例：

86×26

　　8×2+6=22-- 

　　36

　　-----------------------

　　2236

　　.个位相同，十位非互补

　　方法：

十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方，再看看十位相加比10大几或小几，大几就加几个个位乘十，小几反之亦然

　　例：

73×43

　　7×4+3=31

　　9

　　7+4=11

　　3109+30=3139

　　-----------------------

　　3139

　　.个位相同，十位非互补速算法2

　　方法：

头乘头，尾平方，再加上头加尾的结果乘尾再乘10

　　例：

73×43

　　7×4=28

　　9

　　2809+（7+4）×3×10=2809+11×30=2809+330=3139

　　-----------------------

　　3139

　　三、特殊类型的：

　　、一因数数首尾相同，一因数十位与个位互补的两位数相乘。

　　方法：

互补的那个数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补。

　　例：

66×37

　　（3+1）×6=24-- 

　　6×7=42 

　　----------------------

　　2442

　　、一因数数首尾相同，一因数十位与个位非互补的两位数相乘。

　　方法：

杂乱的那个数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补，再看看非互补的因数相加比10大几或小几，大几就加几个相同数的数字乘十，反之亦然

　　例：

38×44

　　（3+1）*4=12

　　8*4=32

　　1632

　　3+8=11

　　11-10=1

　　1632+40=1672

　　----------------------

　　1672

　　、一因数数首尾互补，一因数十位与个位不相同的两位数相乘。

　　方法：

乘数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补，再看看不相同的因数尾比头大几或小几，大几就加几个互补数的头乘十，反之亦然

　　例：

46×75

　　（4+1）*7=35

　　6*5=30

　　5-7=-2

　　2*4=8

　　3530-80=3450

　　----------------------

　　3450

　　、一因数数首比尾小一，一因数十位与个位相加等于9的两位数相乘。

　　方法：

凑9的数首位加1乘以首数的补数，得数为前积，首比尾小一的数的尾数的补数乘以凑9的数首位加1为后积，没有十位用0补。

　　例：

56×36

　　10-6=4

　　3+1=4

　　5*4=20

　　4*4=16

　　---------------

　　2016

　　、两因数数首不同，尾互补的两位数相乘。

　　方法：

确定乘数与被乘数，反之亦然。

被乘数头加一与乘数头相乘，得数为前积，尾乘尾，得数为后积。

再看看被乘数的头比乘数的头大几或小几，大几就加几个乘数的尾乘十，反之亦然

　　例：

74×56

　　（7+1）*5=40

　　4*6=24

　　7-5=2

　　2*6=12

　　12*10=120

　　4024+120=4144

　　---------------

　　4144

　　、两因数首尾差一，尾数互补的算法

　　方法：

不用向第五个那么麻烦了，取大的头平方减一，得数为前积，大数的尾平方的补整百数为后积

　　例：

24×36

　　3>2

　　3*3-1=8

　　6^2=36

　　100-36=64

　　---------------

　　864

　　、近100的两位数算法

　　方法：

确定乘数与被乘数，反之亦然。

再用被乘数减去乘数补数，得数为前积，再把两数补数相乘，得数为后积（未满10补零，满百进一）

　　例：

93×91

　　100-91=9

　　93-9=84

　　100-93=7

　　7*9=63

　　---------------

　　8463

　　Ｂ、平方速算

　　一、求11～19的平方

　　同上，乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一

　　例：

17×17

　　17＋7=24-

　　7×7=49

　　---------------

　　289

　　三、个位是5的两位数的平方

　　同上，十位加1乘以十位，在得数的后面接上25。

　　例：

35×35

　　（3+1）×3=12--

　　25

　　----------------------

　　1225 

　　四、十位是5的两位数的平方

　　同上，个位加25，在得数的后面接上个位平方。

　　例：

53×53

　　25+3=28--

　　3×3=9

　　----------------------

　　2809

　　四、21～50的两位数的平方

　　求25～50之间的两数的平方时，记住1~25的平方就简单了,11～19参照第一条,下面四个数据要牢记：

　　21×21=441

　　22×22=484

　　23×23=529

　　24×24=576 

　　求25～50的两位数的平方，用底数减去25，得数为前积，50减去底数所得的差的平方作为后积，满百进1，没有十位补0。

　　例：

37×37

　　37-25=12--

　　（50-37）^2=169 

　　--------------------------------

　　1369

　　Ｃ、加减法

　　一、补数的概念与应用

　　补数的概念：

补数是指从10、100、1000……中减去某一数后所剩下的数。

　　例如10减去9等于1，因此9的补数是1，反过来，1的补数是9。

　　补数的应用：

在速算方法中将很常用到补数。

例如求两个接近100的数的乘法或除数，将看起来复杂的减法运算转为简单的加法运算等等。

　　Ｄ、除法速算

　　一、某数除以5、25、125时

　　1、被除数÷5

　　=被除数÷（10÷2）

　　=被除数÷10×2

　　=被除数×2÷10 

　　2、被除数÷25

　　=被除数×4÷100

　　=被除数×2×2÷100

　　3、被除数÷125

　　=被除数×8÷1000

　　=被除数×2×2×2÷1000

　　在加、减、乘、除四则运算中除法是最麻烦的一项，即使使用速算法很多时候也要加上笔算才能更快更准地算出答案。

因本人水平所限，上面的算法不一定是最好的心算法 

　　其它

　　由速算大师史丰收经过10年钻研发明的快速计算法，是直接凭大脑进行运算的方法，又称为快速心算、快速脑算。

这套方法打破人类几千年从低位算起的传统方法，运用进位规律，总结26句口诀，由高位算起，再配合指算，加快计算速度，能瞬间运算出正确结果，协助人类开发脑力，加强思维、分析、判断和解决问题的能力，是当代应用数学的一大创举。

　　这一套计算法，1990年由国家正式命名为“史丰收速算法”，现已编入中国九年制义务教育《现代小学数学》课本。

联合国教科文组织誉之为教育科学史上的奇迹，应向全世界推广。

　　史丰收速算法的主要特点如下：

　　⊙从高位算起，由左至右 

　　⊙不用计算工具 

　　⊙不列计算程序 

　　⊙看见算式直接报出正确答案 

　　⊙可以运用在多位数据的加减乘除以及乘方、开方、三角函数、对数等数学运算上 

　　速算法演练实例 

　　ExampleofRapidCalculationinPractice 

　　○史丰收速算法易学易用，算法是从高位数算起，记着史教授总结了的26句口诀（这些口诀不需死背，而是合乎科学规律，相互连系），用来表示一位数乘多位数的进位规律，掌握了这些口诀和一些具体法则，就能快速进行加、减、乘、除、乘方、开方、分数、函数、对数…等运算。

　　□本文针对乘法举例说明 

　　○速算法和传统乘法一样，均需逐位地处理乘数的每位数字，我们把被乘数中正在处理的那个数位称为「本位」，而从本位右侧第一位到最末位所表示的数称「后位数」。

本位被乘以后，只取乘积的个位数，此即「本个」，而本位的后位数与乘数相乘后要进位的数就是「后进」。

　　○乘积的每位数是由「本个加后进」和的个位数即-- 

　　□本位积=（本个十后进）之和的个位数 

　　○那么我们演算时要由左而右地逐位求本个与后进，然后相加再取其个位数。

现在，就以右例具体说明演算时的思维活动。

　　（例题）被乘数首位前补0，列出算式：

　　7536×2=15072 

　　乘数为2的进位规律是「2满5进1」 

　　7×2本个4，后位5，满5进1，4+1得5 

　　5×2本个0，后位3不进，得0 

　　3×2本个6，后位6，满5进1，6+1得7 

　　6×2本个2，无后位，得2 

　　在此我们只举最简单的例子供读者参考，至于乘3、4……至乘9也均有一定的进位规律，限于篇幅，在此未能一一罗列。

常用速算口诀（三则）

（一）十几与十几相乘

十几乘十几，

方法最容易，

保留十位加个位，

添零再加个位积。

证明：

设m、n为1至9的任意整数，则

（10＋m）（10＋n）

＝100＋10m＋10n＋mn

＝10〔10＋（m＋n）〕＋mn。

例：

17×l6

∵10＋（7＋6）＝23（第三句），

∴230＋7×6＝230＋42＝272（第四句），

∴17×16＝272。

（二）十位数字相同、个位数字互补（和为10）的两位数相乘

十位同，个位补，

两数相乘要记住：

十位加一乘十位，

个位之积紧相随。

证明：

设m、n为1到9的任意整数，则

（10m＋n）〔10m＋（10－n）〕

＝100m（m＋1）＋n（10－n）。

例：

34×36

∵（3＋1）×3＝4×3＝12（第三句），

个位之积4×6＝24，

∴34×36＝1224。

（第四句）

注意：

两个数之积小于10时，十位数字应写零。

（三）用11去乘其它任意两位数

两位数乘十一，

此数两边去，

中间留个空，

用和补进去。

证明：

设m、n为1至9的任意整数，则

（10m＋n）×（10＋1）＝100m＋10（m＋n）＋n。

例：

36×ll

∵306＋90＝396，

∴36×11＝396。

注意：

当两位数字之和大于10时，要进到百位上，那么百位数数字就成为m＋1，

如：

84×11

∵804＋12×10＝804＋120＝924，

∴84×11＝924。

两位数乘法速算口诀一般口诀：

首位之积排在前，首尾交叉积之和十倍再加尾数积。

如37x64=1828+（3x4+7x6）x10=2368

1、同尾互补，首位乘以大一数，尾数之积后面接。

如：

23×27=621

2、尾同首互补，首位之积加上尾，尾数之积后面接。

87×27=2349

3、首位差一尾数互补者，大数首尾平方减。

如76×64=4864

4、末位皆一者，首位之积接着首位之和，尾数之积后面接。

如：

51×21=1071

------“几十一乘几十一”速算特殊：

用于个位是1的平方，如21×21=441

5、首同尾不同，一数加上另数尾，整首倍后加上尾数积。

23×25=575

速算1），首位皆一者，一数加上另数尾，十倍加上尾数积。

17×19=323----“十几乘十几”速算包括了十位是1（即11~19）的平方，如11×11=121----“十几平方”

速算2）首位皆二者，一数加上另数尾，廿倍加上尾数积。

25×29=725----“二十几乘二十几”

速算3）首位皆五者，廿五接着尾数积，百位再加尾数之和半。

57×57=3249----“五十几乘五十几”

速算4）首位皆九者，八十加上两尾数，尾补之积后面接。

95×99=9405----“九十几乘九十几”

速算5）首位是四平方者，十五加上尾，尾补平方后面接。

46×46=2116----“四十几平方”

速算6）首位是五平方者，廿五加上尾，尾数平方后面接。

51×51=2601----“五十几平方”

6、互补乘以叠数者，首位加一乘以叠数头，尾数之积后面接。

37×99=36637、末位是五平方者，首位加一乘以首，尾数之积后面接。

如65×65=4225----“几十五平方”

8、某数乘以一一者，首尾拉开，首尾之和中间站。

如34×11=33+44=3749、某数乘以十五者，原数加上原数的一半后后面加个0（原数是偶数）或小数点往后移一位。

如151×15=2265，246×15=3690

10、一百零几乘一百零几，一数加上另数尾，尾数之积后面接。

如108×107=11556

11、俩数差2者，俩数平均数平方再减去一。

如49x51=50x50-1=2499

12、几位数乘以几位九者，这个数减去（位数前几位的数＋1）的差作积的前几位，末位与个位补足几个0。

1）一个数乘9：

这个数减去（个位前几位的数＋1）的差作积的前几位，末位与个位补足104×9=36想：

个位前是0,4－（0＋1）＝3,末位是10－4＝6合起来是36783×9＝7047想个位前是78,783－（78＋1）＝704,末位是10－3＝7合起来是7047

2）一个数乘99：

这个数减去（十位前几位的数＋1），末两位凑100：

14×99＝14－（0＋1）＝13,100－14＝861386158×99＝158－（1＋1）=156,100－58=42156427357×99=7357－（73＋1）=7283100－57=43728343

3）一个数乘999：

可以依照上面的方法进行推理：

这个数减去（百位前几位的数＋1），末三位凑100011234×999＝11234-（11+1）＝11222，末三位是1000-234＝766，

看了电视上举例讲到的“一分钟速算口诀”，觉得非常