连续时间系统的频域分析.docx

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连续时间系统的频域分析

第四章连续时间系统的频域分析

第三章中借助于傅里叶级数、傅里叶积分变换对周期及非周期信号的频谱进行了讨论。

利用上面讨论所得结论，本章将对LTI系统进行频域分析。

LTI系统的频域分析法是一种变换域分析法，即把时域中求解响应问题通过傅里叶级数或傅里叶变换转换到频域之中，求解后再回到时域，从而得到最终结果。

采用傅里叶变换的方法对系统进行分析的目的，一方面是使一些系统分析问题得以简化，而更重要的是接受一种变换的方法，真正体会时频变换在分析LTI系统中是一种不可替代的有效方法，有了这种方法使得许多有实际意义的物理过程变得可能。

4.1系统函数

由LTI系统的时域分析可知，当输入信号为，系统单位冲激响应为时，其系统零状态响应。

由傅里叶变换的时域卷积定理，对上式两端同时取傅里叶变换可有

（4.1）

其中，，。

由（4.1）式可定义系统函数为

（4.2）

（4.2）式说明是频率的函数，故又称之为系统的频率响应函数。

一般情况下，是一个复函数，因此可有

（4.3）

其中，为系统的响应幅度与激励幅度之比，称之为幅频特性函数，而则描述了系统响应与激励的相位关系，称之为相频特性函数。

由（4.2）系统函数的定义式可知，系统函数反映系统自身的特性。

它由系统结构及参数来决定，而与系统的外加激励及系统的初始状态无关。

随着激励信号与待求响应的关系不同，在电路分析中将有不同的涵义。

它可以是阻抗函数、导纳函数、电压比或电流比。

频域系统函数的求解方法主要有

（1）当给定激励与零状态响应时，根据定义求，即

（2）当已知系统单位冲激响应时，

（3）当给定系统的电路模型时，用相量法求。

（4）当给定系统的数学模型（微分方程）时，用傅里叶变换法求。

图4.1

例4.1试求图4.1（a）中以为响应时的系统函数。

解图4.1（a）所示电路对应的频域电路模型如图4.1（b）所示。

根据相量分析法

例4.2已知描述系统的微分方程为，求系统函数。

解对原微分方程两边取傅里叶变换，并根据时域微分性质，可得

所以

例4.3已知系统单位冲激响应，求系统函数。

解因为，所以可有

由单边指数信号的傅里叶变换对，可得系统函数为

图4.2LTIRC相量电路

例4.4LTIRC相量电路如图4.2所示，求该电路的系统函数，并绘出幅频特性及相频特性曲线。

解这是典型的RC低通滤波电路。

可以通过求解系统函数，分析其幅度、相位随频率的变化规律，从而得到通低频、阻高频信号的结论。

设电路图中的为激励相量，为响应相量。

按（4.2）式该电路的系统函数为

其幅度特性函数为

相频特性函数为

相应的幅频特性曲线如图4.3（a）所示，相频特性曲线如图4.3（b）。

由此结果可以看出越大，越小。

这说明信号通过此电路时，高频信号被截止，而低频信号通过，故称此为低通滤波电路。

4.2系统对非正弦周期信号的响应

在电路分析中，已详尽讨论了正弦周期信号作用电路的稳态响应。

现在的问题是，若一个非正弦周期信号激励于系统，其响应如何？

根据第三章讨论可知，周期信号可以分解为一系列谐波分量之和。

线性电路在周期信号激励下产生的响应，按线性性质是激励信号中每个谐波分量分别单独作用时产生响应分量的叠加。

而每个谐波分量都是单一频率的正弦波，且存在于至之间，同时由于时间的增长而引起的系统的暂态已过去，系统处于稳定状态。

此外，考虑信号从进入系统之前系统处于零状态。

由此分析可以确定，当非正弦周期信号作用于线性电路时，其响应可通过相量法和叠加定理综合求得。

例4.5LTIRL电路如图4.4（a）所示，已知，，激励信号的波形如图4.4（b）所示，求稳态响应（求到三次谐波为止）。

图4.4LTIRL电路及其输入信号的波形

解由4.4（b）图可知激励信号的周期为，基波角频率。

将激励信号进行傅里叶级数展开可有

此式说明，可以将看成是一个直流分量和奇次谐波分量所组成激励源，这相当于把无穷多个电压源串联作用于电路上，如图4.4（c）所示。

因为周期信号的频谱具有收敛性，其能量主要集中在低频分量上，所以计算傅氏级数时只需计算前几项即可。

进一步确定系统函数，

利用叠加定理，让各次谐波分量单独作用并求其响应相量。

当时，

则响应（直流分量）为

当时，

则一次谐波分量所对应的稳态响应相量为

当时

则三次谐波分量所对应的稳态响应相量为

以此类推可求出各次谐波分量所对应的稳态响应相量。

而作为各次谐波分量的稳态响应相量的时域表达式分别为

将各次谐波分量的时域响应相加得该电路的稳态响应为

4.3系统对非周期信号的响应

非周期信号通过线性系统的响应与周期信号有所不同。

由于非周期信号对系统的激励是有确定时间的，所以对于零状态系统，其响应只含零状态响应，其中既有稳态分量，也有随时间衰减的暂态分量。

若系统初状态不为零，则其响应还应包含零输入响应分量。

本节重点讨论零状态系统对非周期信号的响应。

由时域分析可知，当线性时不变系统的单位冲激响应为，激励为时，系统的零状态响应

（4.4）

将上式两端取傅里叶变换，并利用其时域卷积定理可得

（4.5）

即系统零状态响应的频谱函数等于系统函数与激励的频谱函数之乘积。

在求得后，则可利用

（4.6）

求得系统时域响应。

例4.6某线性时不变系统的冲激响应，求激励信号时系统的零状态响应。

解因

由（4.5）式可知系统零状态响应的频谱函数为

将用部分分式展开得

进行反变换，可得

从上例可知，利用傅里叶变换求系统的零状态响应时，必须首先求得激励的频谱函数和频域系统函数，然后可求出零状态响应的频谱函数。

这样从频谱改变的观点来解释激励与响应波形的差异,物理概念比较清楚，反映了系统本身是一个信号处理器。

它依照自身的系统函数的特性对输入信号的频谱进行处理，使得输出响应的频谱为。

但是傅里叶变换分析法求反变换一般比较困难，因此频域分析的目的通常不是由此求系统时域响应，而重点是在频域分析信号的频谱和系统的带宽，以及研究信号通过系统传输时对信号频谱的影响等。

例4.6图4.5所示电路。

若激励电压，试求两种电路的零状态响应，并从频谱的观点对其结果进行解释。

解　　

对图4.5（a）所示电路，由电路分析理论可得

式中为电路时间常数。

响应频谱为

所以

对于图4.5（b）所示电路，可得

所以

图4.6示出了和的波形及其频谱，以及传输函数的幅频特性。

由图4.6可知，在通过系统后，低频分量受到削弱，并失去了冲激线谱，而高频分量几乎不变。

高频分量的存在意味着输出波形会和输入波形一样地产生突变；冲激线谱的失去使变为连续谱，这意味着输出波形是一个脉冲，因而最终必衰减到零。

在通过系统后，其高频分量受到抑制，但低频分量几乎不变，并含有冲激。

在频域中，处的冲激表明在时域中含有平均值，因而当时，仍有一定数值。

而高频分量失去较多，表明时域中波形不能急剧变化。

因此输出波形只能逐渐地上升到稳态值。

4.4信号无失真传输条件

通信中的传输应有两个任务：

其一是将信号原样从甲方传到乙方（不失真）；其二是将信号改变后进行传送。

采用哪种传输，要取决于通信自身的要求及其制取不同的通信系统。

一般来说，输入信号通过通信系统后，其输出信号都会发生变化。

在通信系统中出现信号失真主要体现在两个方面，即幅度失真和相位失真。

在通信系统中，传送语言及音乐信号时，为了保证声音不失真，重要的是使信号中各频率分量的幅度保持相对不变，因为人耳对各频率分量间的相位变化不很敏感。

当传送图像信号时，保持各频率分量间的相位关系，则是保证图像不失真的决定性条件。

需要提醒注意的是，这是所说的信号失真是一种线性失真，不会在传输过程中产生新的频率分量。

4.4.1无失真概念

对于一个线性系统，一般要求能够无失真地传输信号。

信号的无失真传输，从时域来说，就是要求系统输出响应的波形应当与系统输入激励信号的波形完全相同，而幅度大小可以不同，时间前后可有所差异，即

（4.7）

式中为与无关的实常数，称为波形幅度衰减的比例系数；为延迟时间。

这样，虽然输出响应的幅度有系数倍的变化，而且有时间的滞后，但整个波形的形状不变，举例示意于图4.7。

4.4.2无失真传输条件

若要保持系统无失真传输信号，从频域分析，可对式（4.7）两边取傅里叶变换，并利用其时移性，有

由于

所以无失真传输的系统函数为

（4.8）

即

因此，无失真传输系统在频域应满足两个条件：

（1）系统的幅频特性在整个频率范围内应为常数，即系统的通频带为无穷大；

（2）系统的相频特性在整个频率范围内应与成正比，即，如图4.8所示。

若对式（4.8）取傅里叶反变换，则可知系统的冲激响应为

（4.9）

该式表明，一个无失真传输系统，其单位冲激响应仍为一个冲激函数，不过在强度上不一定为单位1，位置上也不一定位于处。

因此，式（4.9）从时域给出了无失真传输系统的条件。

无失真传输系统的幅频特性应在无限宽的频率范围内保持常量，这是不可能实现的。

实际上，由于所有信号的能量总是随频率的增高而减少，因此，系统只要有足够大的频宽，以保证包含绝大多数能量的频率分量能够通过，就可以获得较满意的传输质量。

例4.7要使图4.9（a）所示电路为一个无失真传输系统，试确定和的值，激励为正弦稳态函数。

解图4.9（a）电路的频域模型如图4.9（b）所示。

由相量法可得

故系统函数

若该电路为一个无失真传输系统，则应满足式（4.8），即

可见，当时，可满足此条件，即

所以

4.5理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应

由4.4节所讨论的无失真传输系统的条件可知这种要求是比较苛刻的，对于实际系统而言很难满足这个条件。

所以，一般都会根据系统不同的功能，适当将此条件放宽。

理想低通滤波器就是放宽无失真条件下的一种理想系统。

4.5.1理想低通滤波器的冲激响应

理想低通滤波器是实际滤波器的理想化模型。

该系统函数可表示为

（4.10）

其频率特性曲线如图4.10所示。

图4.10理想低通滤波器的频率特性

由式（4.10）及图4.10可以看到理想低通滤波器的截止频率为。

其幅频特性要求，在截止频率范围内，即在通带范围内，它的传输系数的模量为一个常数，高于截止频率的那些信号将被滤掉。

同时相应的相频特性要求在通带内与频率呈线性正比关系。

显然理想低通滤波器的系统函数要比无失真传输系统的条件得到了放宽。

作为理想低通滤波器的单位冲激响应与其系统函数的关系是一对傅里叶变换，即

由傅里叶反变换定义式可有

（4.11）

由式（4.11）的结果可知，对于理想低通滤波器而言，输入的是单位冲激信号，如图4.11（a）所示，而输出的单位冲激响应则是抽样信号，如图4.11（b）所示。

显然该系统为失真系统。

此外，由式（4.11）及图4.11都可以看到，该系统在时，，这说明该系统在输

入没有进入系统之前，就已经有响应了。

所以理想低通滤波器是非因果系统，是物理不可实现的系统。

尽管如此，由于理想低通滤波器的频率特性比较简单，且实际系统的频率特性较为接近理想低通滤波器的频率特性，故近似采用该系统的频率特性，从而实现对实际系统的逐步修正、完善。

4.5.2理想低通滤波器的阶跃响应

设理想低通滤波器的阶跃响应为，它与系统的冲激响应满足关系式，将理想低通滤波器的冲激响应的结果代入该式中有

令，则上式可为

（4.12）

其中，为正弦积分函数

该函数具有以下性质：

（1）为奇函数，即；

（2）取自变量的极限，可有；

（3）。

作为理想低通滤波器的输